2022-2023学年湖南省郴州市英杰高级中学高一数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省郴州市英杰高级中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 集合M={(x,y)|y=,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则M∩N等于                         A.{(1,0)}         B.{y|0≤y≤1}           C.{1,0}             D. 参考答案： A y=表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0).   2. 函数 =,的最小正周期为 A． B． C． D． 参考答案： C 3. 若a，b∈R且ab≠0，则成立的一个充分非必要条件是（　　） A．a＞b＞0 B．b＞a C．a＜b＜0 D．ab（a﹣b）＜0 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】a，b∈R且ab≠0，则?|a|＜|b|，即可判断出结论． 【解答】解：a，b∈R且ab≠0，则?|a|＜|b|， 因此成立的一个充分非必要条件是a＜b＜0． 故选：C． 4. 设，则使幂y=xa为奇函数且在（0，+）上单调递减的α值的个数为 (     ) A. 1         B. 2           C. 3         D. 4 参考答案： B 5. 已知，且，则等于    A．              B．             C．              D． 参考答案： D 6. 下列命题中，错误的命题是（    ） A、平行于同一直线的两个平面平行。 B、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交。 C、平行于同一平面的两个平面平行。 D、一条直线与两个平行平面所成的角相等。 参考答案： A A项中平行于同一直线的两个平面可能平行还可能相交 7. 下列函数中，最小正周期不是的是（       ） A. B. C. D. 参考答案： C 8. 为得到函数的图象,只需将函数的图象（   ） A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 参考答案： C 略 9. f（x）=lnx+x﹣2的零点在下列哪个区间内（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题． 【分析】利用根的存在定理分别判断端点值的符合关系． 【解答】解：因为f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2+2﹣2＞0， 所以函数f（x）=lnx+x﹣2的零点所在的区间为（1，2）． 故答案为 B． 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反． 10. 在等差数列{an}中，a3=0，a7﹣2a4=﹣1，则公差d等于（　　） A．﹣2 B． C．2 D．﹣ 参考答案： D 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵a3=0，a7﹣2a4=﹣1， ∴a1+2d=0，a1+6d﹣2（a1+3d）=﹣1， ∴a1=1，d=﹣， 故选：D． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=　   　． 参考答案： 3 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值 【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，）， 得 =2a，a= ∴y=f（x）= ∴f（9）=3． 故答案为：3． 12. 不等式的解集为_________________. 参考答案： ； 略 13. （4分）从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为       ． 参考答案： 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 分割补形法． 分析： 先根据题目所给的几何体的三视图得出该几何体的直观图，然后计算该几何体的体积即可． 解答： 解：由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示： 该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角， ∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去窃取的直三棱锥的体积， ∴V=1﹣=． 故答案为：． 点评： 本题主要以有三视图得到几何体的直观图为载体，考查空间想象能力，要在学习中注意训练才行． 14. 若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则的取值范围是　　． 参考答案： （，） 【考点】余弦定理；等差数列的通项公式． 【分析】用a，c表示出b，根据钝角三角形得出的范围，将表示成的函数，根据的范围得出的范围． 【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴b=． ∵△ABC是钝角三角形，∴c2＞a2+b2，即c2＞a2+，∴3c2﹣5a2﹣2ac＞0． 即3（）2﹣2﹣5＞0，解得＞． 又a+b＞c，即a+＞c，∴＜3． ∴===． 令，则，f（t）=+=t+， f′（t）=1﹣，∴当＜t＜3时，f（t）为增函数， ∴当t→时，→=，当t→3时，→， ∴＜＜． 故答案为：（，）． 15. （4分）已知奇函数y=f（x）满足当x≥0时，f（x）=2x+x﹣a，则f（﹣1）=        ． 参考答案： ﹣2 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先根据f（0）=0求出a的值，然后根据奇函数的性质，将f（﹣1）转化为f（1）的函数值． 解答： 解：因为f（x）是奇函数，且在x=0时有定义，所以f（0）=1﹣a=0，所以a=1． 所以x≥0时，f（x）=2x+x﹣1，所以f（1）=2． 所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2． 故答案为﹣2． 点评： 本题综合考查了函数的奇函数的性质，体现转化思想在解题中的作用． 16. 已知，，则等于     . 参考答案： 略 17. 已知函数f(x)满足，则f(x)的解析式为________ 参考答案： 【分析】 由已知可得f（）2f（x），联立两式消去f（），解方程组可得． 【详解】∵ ∴f（）2f（x）， 联立两式消去f（）， 可得f（x）= 故答案为f（x）= 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求函数的对称轴和对称中心. 参考答案： （1）          令，得， ∴单调递增区间为：， 令，得， ∴单调递减区间为：， （2）令，得， ∴对称轴方程为：. 令，得， ∴对称中心为：. （注：单调区间写开区间不扣分；不写扣1分） 19. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=2，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{an}的通项公式； （2）化简bn=2，然后根据等比数列的前n项和公式即可求数列{bn}的前n项和Tn． 解答： 解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列． ∴a32=a1a7， 即（a1+2d）2=a1（a1+6d）， 化简得d=a1，d=0（舍去）． ∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1． （2）∵bn=2an=2n+1，∴b1=4，． ∴{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴Tn==2n+2﹣4． 点评：本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，以及等比数列前n项和的计算，要求熟练掌握相应的公式． 20. （12分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点． （1）求实数k的值及函数y=f1（x）的解析式： （2）将y=f1（x）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，若2f1（x+﹣3}）﹣g（x）≥1对任意的x＞0恒成立，试求实数m的取值范围． 参考答案： 考点： 反函数；函数的图象与图象变化． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： （1）根据题意，把点A的坐标代入函数y=f（x）中，求出k的值，得f（x），从而求出y=f1（x）； （2）根据图象平移，得函数y=g（x）的解析式，化简不等式2f1（x+﹣3}）﹣g（x）≥1，利用函数的性质，结合分离常数法，即可求出关于m的不等式的解集． 解答： （1）∵函数f（x）=3x+k（k为常数）， 且A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点； ∴32+k=﹣2k， 解得k=﹣3； ∴f（x）=3x﹣3， ∴函数y=f1（x）=log3（x+3）； （2）将y=f1（x）=log3（x+3）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象， ∴y=g（x）=log3x； ∵2f1（x+﹣3）﹣g（x）≥1， 即2log3（x+﹣3+3）﹣log3x≥1， ∴log3≥1； 即≥3对任意的x＞0恒成立， ∴x+≥3， 即2+m≥（3﹣x）x； ∵x＞0，设函数t=（3﹣x）x， ∴t=﹣x2+3x=﹣+≤； ∴m+2≥， 解得m≥﹣； ∴实数m的取值范围[﹣，+∞）． 点评： 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用分离常数法求函数最值的问题，考查了解不等式的问题，是综合性题目． 21. 已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．求sinθ和cosθ的值． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量垂直的关系，以及三角函数的公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵与互相垂直，则， 即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得， 又，∴． （2）∵，，∴， 则， ∴cosφ=． 22. （本小题满分14分）经市场调研，某超市一种玩具在过去一个月（按30天）的销售量（件）与价格（元）均为时间x（天）的函数，且销售量近似满足，价格近似满足。 （1）试写出该种玩具的日销售额y与时间x（，）的函数关系式； （2）求该种玩具的日销售额y的最大值。 参考答案： 解：（1）由题意，得           ……………………………………6分 （2）当，时，，而，又，所以当时，；                  ……………………10分 当，时，，则函数在(20,30]上单调递增，所以当时，。…………13分 综上所述，当时，该种玩具的日销售额的最大值为1408元。……………………14分