河北省邯郸市武安西寺庄乡中学高一数学理下学期期末试题含解析

河北省邯郸市武安西寺庄乡中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断正确的是 （　  　） A．当时,有3个零点;当时,有2个零点  B．当时,有4个零点;当时,有1个零点  C．无论为何值,均有2个零点  D．无论为何值,均有4个零点 参考答案： B 2. 如果向量满足，且，则的夹角大小为（　　） A．30° B．45° C．75° D．135° 参考答案： B 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题． 【分析】求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘积，由题意两向量的模已知，故由两向量的垂直这个条件求出两个向量的内积即可． 【解答】解：由题意故，即 故两向量夹角的余弦值为= 故两向量夹角的取值范围是45° 故选B 【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题． 3. 一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有下列结论： ①AB⊥EF； ②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD.其中正确的是(　　) A．①②         B．③④       C．②③        D．①③ 参考答案： D 4. f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　) A．3          B．1            C．－1           D．－3 参考答案： D 5. 在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（   ）. A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【详解】画出图像如下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.故选C. 【点睛】本小题主要考查向量加法运算，考查平行四边形的几何性质，属于基础题. 6. 一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为（　　） A． B． C．2 D．4 参考答案： A 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】本题先要把原几何体画出来，再求出棱锥的高PO=，它就是正视图中的高，而正视图的底边就等于BC=2，由三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：由题意可知，原几何体如上图，其中，OE=1，PE=，在RT△POE中，PO=， 故所得正视图为底边为2，高为的三角形， 故其面积S= 故选A 7. 设函数f（x）=ln（x+）+x3（﹣1＜x＜1），则使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（　　） A．（0，）    B．（﹣∞，）  C．（，） D．（﹣1，） 参考答案： A ∵ ，定义域关于原点对称， ∴f(x)是奇函数，而 时，f(x)递增， 故 时，f(x)递增，故f(x)在 递增， 若 ，则，解得 ，故选A．   8. 已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案. 【详解】函数的值域为 即 ，图象在同一周期内过两点 故答案选C 【点睛】本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力. 9. 如图,中，点同时从点出发，分别沿,运动，相遇时运动停止。已知,运动的速度是的两倍，则的最大值是(   ) A．    B．   C．    D． 参考答案： A 略 10.  设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （  ）   （A）   （B）   (C)     (D) 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x=，y=，则3x2﹣5xy+3y2的值是         ． 参考答案： 289 【考点】方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的化简求值． 【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】由已知利用分母有理化求出x=5﹣2，y=5+2，由此能求出3x2﹣5xy+3y2的值． 【解答】解：∵x==（）2=5﹣2， y==（）2=5+2， ∴3x2﹣5xy+3y2=3（x+y）2﹣11xy =3×102﹣11（5﹣2）（5+2） =289． 故答案为：289． 【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根式性质、分母有理化、完全平方式的合理运用． 12. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（﹣1）=1且f（x）＜2恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣4，0] 【考点】二次函数的性质． 【分析】f（x）＜2可化为ax2+ax﹣1＜0．讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求． 【解答】解：∵f（﹣1）=1，∴a﹣b+1=1，∴b=a， f（x）＜2可化为ax2+ax﹣1＜0 当a=0时，﹣1＜0恒成立，故满足条件； 当a≠0时，对于任意实数x，不等式ax2﹣ax﹣1＜0恒成立 则，解得﹣4＜a＜0 综上所述，﹣4＜a≤0 故答案为：（﹣4，0]． 13. 若，是方程的两个根，且，则    ． 参考答案： 14. 函数y=|log2x|﹣10﹣x的零点个数是　    　． 参考答案： 2 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用． 【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象一目了然． 【解答】解：函数y=|log2x|﹣10﹣x的零点个数，就是方程|log2x|﹣10﹣x=0的根的个数， 得|log2x|=10﹣x， 令f（x）=|log2x|，g（x）=10﹣x， 画出函数的图象，如图： 由图象得：f（x）与g（x）有2个交点， ∴方程|log2x|﹣10﹣x=0解的个数为2个， 故选答案为：2 【点评】本题考查了函数根的存在性问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道基础题． 15. 已知非零向量，，若且，则               ． 参考答案： 由题意，即，所以向量反向， 又由，所以，即， 所以，即，所以.   16. 计算           ． 参考答案：   17. 已知向量，若对任意的，恒成立，则必有（    ）． A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 将不等式平方得到关于二次不等式，二次恒成立，则 ，化简计算得到答案. 【详解】因为恒成立， 两边平方化简得:对任意的恒成立， 又， 则， 即， 所以， 所以， 即， 故选:C． 【点睛】本题考察了向量的计算，恒成立问题，二次不等式，将恒成立问题转化为是解题的关键. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f(x)＝x2－2－1(－3≤x≤3)． （1）证明：f(x)是偶函数； （2）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； （3）求函数的值域． 参考答案： 解析：（1）定义域为{ x│－3≤x≤3}，关于原点对称．(1分) 因为f(－x)＝(－x)2－2－1＝x2－2－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，(2分) 所以f(x)是偶函数．(3分) （2）当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2．(4分) 所以f(x)＝(5分) 函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1，0，[0，1]，[1，3]．(6分) f(x)在区间[－3，－1]，[0，1]上为减函数，在[－1，0，[1，3]上为增函数．(7分) （3）当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；(9分) 当－3≤x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2．(11分) 故函数的值域为[－2，2]．(12分) 19. (本题满分12分) 在等差数列中，，． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求数列的前项和．   参考答案： 解：(1)设数列的公差为   ∵  ∴3 ∴  ∴d=   …………4分；      ∴．……6分 (2)∴         ∴……① ∴……②     ………8分 20. 据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面． （1）试计算出图案中球与圆柱的体积比； （2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积. 参考答案： （1）；（2）圆锥体积，表面积 【分析】 （1）由球的半径可知圆柱底面半径和高，代入球和圆柱的体积公式求得体积，作比得到结果；（2）由球的半径可得圆锥底面半径和高，从而可求解出圆锥母线长，代入圆锥体积和表面积公式可求得结果. 【详解】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为 球的体积；圆柱的体积 球与圆柱的体积比为： （2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为 圆锥的母线长： 圆锥体积： 圆锥表面积： 【点睛】本题考查空间几何体的表面积和体积求解问题，考查学生对于体积和表面积公式的掌握，属于基础题.   21. 已知函数． （I）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值． 参考答案： 【考点】正弦函数的图象． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（I）由条件利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期． （Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间． （Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值，以及此时相应的x值． 【解答】解：（I）对于函数，它的最小正周期为 ． （II）令，求得，即． 所以 函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）． （III）∵，∴，即 ． 所以函数f（x）的最小值是，此时，． 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 22. 已知函数（且）是定义在上的奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的值域； （Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）∵是上的奇函数，∴ 即：. 整理可得. （注：本题也可由解得，但要验证过） （Ⅱ）在上递增，∵， ∴函数的值域为. （Ⅲ）由可得， . 当时，. 令，则有， 函数在上为增函数，∴. ∴. 故实数的取值范围为.