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2022年江西省宜春市高级中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,是R上的增函数,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知向量,满足,,,则( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
参考答案:
A
【分析】
由,求出,代入计算即可。
【详解】由题意,则.
故答案为A.
【点睛】本题考查了向量的数量积,考查了学生的计算能力,属于基础题。
3. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}(x≥0),则f(x)的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
【考点】函数的最值及其几何意义.
【专题】计算题.
【分析】在同一坐标系内画出三个函数y=10﹣x,y=x+2,y=2x的图象,以此作出函数f(x)图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值.
【解答】解:10﹣x是减函数,x+2是增函数,2x是增函数,令x+2=10﹣x,x=4,此时,x+2=10﹣x=6,如图:
y=x+2 与y=2x交点是A、B,y=x+2与 y=10﹣x的交点为C(4,6),
由上图可知f(x)的图象如下:
C为最高点,而C(4,6),所以最大值为6.
故选:C
【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过题意得出f(x)的简图.
4. 一个直径为8的大金属球,熔化后铸成若干个直径为2的小球,如果不计损耗,可铸成小球的个数为( )
A.4 B.8 C.16 D.64
参考答案:
D
5. (5分)在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:
①对所求出的回归直线方程作出解释;
②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求线性回归方程;
④求相关系数;
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
如果根据可形性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是()
A. ①②⑤③④ B. ③②④⑤① C. ②④③①⑤ D. ②⑤④③①
参考答案:
D
考点: 可线性化的回归分析.
专题: 常规题型.
分析: 首先收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图的形状,判断线性关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后对所求出的回归直线方程作出解释.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
解答: 对两个变量进行回归分析时,
首先收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;根据所搜集的数据绘制散点图.
观察散点图的形状,判断线性关系的强弱,
求相关系数,写出线性回归方程,
最后对所求出的回归直线方程作出解释;
故正确顺序是②⑤④③①
故选D.
点评: 本题考查可线性化的回归分析,考查进行回归分析的一般步骤,是一个基础题,这种题目若出现在大型考试中,则是一个送分题目.
6. 若定义运算a⊕b=,则函数f(x)=log2x⊕的值域是( )
A.[0,+∞) B.(0,1] C.[1,+∞) D.R
参考答案:
A
考点:对数的运算性质.
专题:计算题;新定义.
分析:先由定义确定函数f(x)的解析式,再根据函数的定义域和单调性求函数的值域
解答:解:令,即log2x<﹣log2x
∴2log2x<0
∴0<x<1
令,即log2x≥﹣log2x
∴2log2x≥0
∴x≥1
又∵
∴
当0<x<1时,函数单调递减,∴此时f(x)∈(0,+∞)
当x≥1时,函数f(x)=log2x单调递增,∴此时f(x)∈[0,+∞)
∴函数f(x)的值域为[0,+∞)
故选A
点评:本题考查解对数不等式以及对数函数的值域,求对数函数的值域要注意函数的单调性.属简单题
7. 已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6
参考答案:
B
8. (5分)设函数f(x)=,若f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
C
考点: 根的存在性及根的个数判断.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由题意可得bc的方程组,解之可得bc的值,令f(x)=x化为方程组解之可得.
解答: 由f(﹣4)=f(0)可得16﹣4b+c=c,解之可得b=4,
再由f(﹣2)=﹣2可得4﹣2b+c=﹣2,解之可得c=2,
故f(x)=,令f(x)=x可得
,或,
解之可得x=3,或x=﹣1,或x=﹣2
故选C
点评: 本题考查根的存在性及个数的判断,涉及待定系数法求二次函数的系数,属中档题.
9. 一个正项等比数列中,,则( )
(A)20 (B)15 (C)10 (D)5
参考答案:
B
略
10. 已知,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:,得,即,而故选择C.
考点:三角恒等变换中的求值.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f(x)是定义在[m,4m+5]上的奇函数,则m= ,当x>0时,f(x)=lg(x+1),则当x<0时,f(x)= .
参考答案:
﹣1;﹣lg(1﹣x).
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称,可得m+4m+5=0,即可求出m的值;
当x<0时,﹣x>0,由已知表达式可求得f(﹣x),由奇函数的性质可得f(x)与f(﹣x)的关系,从而可求出f(x).
【解答】解:由于奇函数的定义域必然关于原点对称,由已知必有m+4m+5=0,得m=﹣1.
∵f(x)是R上的奇函数,当x<0时,﹣x>0,
∴f(﹣x)=lg(﹣x+1)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣lg(1﹣x),x<0,
故答案为:﹣1,﹣lg(1﹣x).
【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质,属基础题
12. 有下列五个命题:
① 函数的图像一定过定点;
② 函数的定义域是,则函数的定义域为;
③ 已知=,且,则;
④ 已知且,则实数;
⑤ 函数的单调递增区间为.
其中正确命题的序号是__________.(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①④
略
13. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为________
参考答案:
略
14. 如果全集,,,那么= ▲ .
参考答案:
15. 定义在实数集R上的函数,如果存在函数(A、B为常数),使得对一切实数都成立,那么称为函数的一个承托函数。给出如下四个结论:
①对于给定的函数,其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
②定义域和值域都是R的函数不存在承托函数;
③为函数的一个承托函数;
④为函数的一个承托函数。
其中所有正确结论的序号是____________________.
参考答案:
①③
16. 函数的值域为___________.
参考答案:
17. 对于任意实数a,b,定义min设函数f(x)=﹣x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是__________.
参考答案:
1
考点:对数函数图象与性质的综合应用.
专题:数形结合.
分析:分别作出函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象,结合函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象可知,在这两个函数的交点处函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值.
解答:解:∵x>0,∴f(x)=﹣x+3<3,g(x)=log2x∈R,分别作出函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象,
结合函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象可知,
h(x)=min{f(x),g(x)}的图象,
在这两个函数的交点处函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值.
解方程组得,
∴函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是1.
故答案是1.
点评:数形结合是求解这类问题的有效方法.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)已知二次函数的图像与轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为,
(1)当,时,求出不等式的解;(2)若,且当时,恒有,求出不等式的解(用表示);(3)若,且不等式对所有恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)当,时,,的图像与轴有两个不同交点,,设另一个根为,则,, --------2分
则 的解集为 . --------3分
(2)的图像与轴有两个交点,,设另一个根为,则
又当时,恒有,则, --------5分
∴的解集为 --------7分
(3) ,∴,又∵,∴, --------9分
要使,对所有恒成立,则
当时,=2 当时,=-2
当时,,对所有恒成立 --------12分
从而实数的取值范围为 --------14分
19. (本小题满分12分)(普通班学生做)已知函数()的最小值正周期是.
(1)求的值;
(2)求函数的最大值,并且求使取得最大值的的集合.
参考答案:
(1)
由题设,函数的最小正周期是,可得,所以.
(2)由(1)知,.
当,即时,取得最大值1,
所以函数的最大值是,此时的集合为.
20. 已知函数,
(1)当时,求的值;
(2)证明函数在上是减函数,并求函数的最大值和最小值.
参考答案:
(1)(2),
本试题主要是考查了函数的解析式的运用,以及函数单调性的证明。
(1))根据解析式将x=2代入关系式中得到x的值。
(2)设定义域内任意两个变量,然后作差,变形定号,下结论即可。
解:(1)当时,
(2)设任意,且,
则=
,且,
,
21. 如图所示,在直角坐标系中,点是反比例函数的图象上一点,轴的正半轴于点,是的中点;一次函数的图象经过、两点,并将轴于点若
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)观察图象,请直接写出在轴的右侧,当时,的取值范围.
参考答案:
解:作AE⊥y轴于E
∵ ∴ OD.AE=4
∴AE=4
∵AB⊥OB,且C为OB的中点,
将A(4,2)和D(0,-2)代入得解之得:
∴
(2)在y轴的右侧,当时,0<x<2
22. (本题满分12分)已知x∈R.
(1) 求函数f (x)的最小正周期和单调增区间.
(2) 函数f (x)的图象可以由函数y=sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
参考答案:
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