湖南省衡阳市祁东县官家嘴中学高二数学理模拟试题含解析

湖南省衡阳市祁东县官家嘴中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直线与平面、、满足∥，，则有（    ）     A．∥且    B．⊥且  C．⊥且∥  D．∥且⊥ 参考答案： B 略 2. “”是“”的（   ）条件 A．充分不必要       B．充要        C. 必要不充分      D．既不充分也不必要 参考答案： C 得不到，比如无意义，，根据对数函数在定义域上是增函数，则，由于是增函数,可得到，“”是“”的必要不充分条件，故选C.   3. l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（　　） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 参考答案： A 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可． 【解答】解：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立， 若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故p是q的充分条件，但不是q的必要条件， 故选：A． 4. 如果命题“”为假命题，则（    ）   A．均为假命题   B．中至少有一个真命题 C．均为真命题  D．中只有一个真命题 参考答案： D 5. 已知点，点在圆：上运动，则直线斜率的取值范围是（   ） A.    B. C.      D. 参考答案： B 6. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（  ）　　　　　　　　　　　　　　　　   A． B． C．D. 参考答案： D 略 7. 已知命题 ，，则（   ） A.，     B.， C.，         D. ， 参考答案： B 8. 已知命题p：抛物线方程是x=4y2，则它的准线方程为x=1，命题q：双曲线的一个焦点是（0，3），其中真命题是（　　） A．p B．￢q C．p∧q D．p∨q 参考答案： D 【考点】双曲线的标准方程；复合命题的真假；抛物线的标准方程． 【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得P为假命题，由双曲线标准方程分析可得q为真命题，进而结合复合命题的性质依次分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，分析2个命题， 对于命题p，抛物线方程是x=4y2，即y2=x，其准线方程为x=﹣，故命题P为假命题； 对于命题q，双曲线的方程，即﹣=1，焦点在y轴上，且c==3，坐标为（0，3），命题q为真命题； 分析选项可得：A、命题P为假命题； B、命题q为真命题，命题q为假命题； C、命题P为假命题，命题q为真命题，则p∧q为假命题； D、命题P为假命题，命题q为真命题，则p∨q为真命题； 故选：D． 9. 已知点分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（  ） (A)        (B)        (C)       (D) 参考答案： B 10. 函数在区间和内分别为（　　） （Ａ）增函数，增函数 （Ｂ）增函数，减函数 （Ｃ）减函数，增函数 （Ｄ）减函数，减函数 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数   ▲   . 参考答案： 2 12. 若公差为2的等差数列的前9项和为81，则          ． 参考答案： 17  13. 若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝________. 参考答案： 略 14. 在下列命题中，不是公理的是(　　) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 参考答案： A 15. 函数y=x＋( x>1)的最小值是            .-- 参考答案： 5 16. 观察下列等式: 照此规律， 第n个等式可为                                               . 参考答案： 略 17. （坐标系与参数方程） 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为           . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由． 参考答案： 【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程． 【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程． （2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解． 【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0， 依题意可得：， 解得：a2=3，b=1， ∴椭圆的方程为． （2）假设存在这样的值． ， 得（1+3k2）x2+12kx+9=0， ∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 则 而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4， 要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0）， 当且仅当CE⊥DE时， 则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0， ∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③ 将②代入③整理得k=， 经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E． 【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 19. 已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行． （Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．   参考答案： 解：（Ⅰ）由，可得． 由题设可得     即 解得，．所以．                      (5) （Ⅱ）由题意得， 所以． 所以函数的单调递增区间为，.   略 20. 设x＞0，y＞0，z＞0， （Ⅰ）比较与的大小； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：． 参考答案： 【考点】综合法与分析法(选修）． 【分析】（Ⅰ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小． （Ⅱ）利用（Ⅰ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可． 【解答】（Ⅰ）∵，∴． （Ⅱ）由（1）得． 类似的，，（7分） 又； ∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx． ∴=（12分） 【点评】本题考查综合法与分析法，解题的关键是根据（I）类比出一个条件作为证明的前提．再利用综合法证明，正确理解综合法与分析法的原理与作用，顺利解题很关键． 21. （14分）已知椭圆C：，的离心率为，A、B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求△POQ的面积的最大时直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）根据离心率为，，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程； （Ⅱ）方法一：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去y，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论． 方法二：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去x，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，解得， 所以椭圆的方程为．… （Ⅱ）方法一：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣1，则… 当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程， 得（4k2+1）x2+8k2x+4（k2﹣1）=0，两个根为x1，x2，，… 则（k≠0）， 又原点到直线l的距离d=，… 所以（k≠0） =… 所以，当直线l的方程为x=﹣1时，△POQ面积最大．… 方法二：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣1，则．… 当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程，得，两个根为y1，y2，△＞0恒成立，，…… ∴ =… 所以，当直线l的方程为x=﹣1时，△POQ面积最大．… 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键． 22. （12分）把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列. （1）           43251是这个数列的第几项？ （2）           这个数列的第96项是多少？ （3）           求这个数列的各项和. 参考答案： ⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类 第一类：以5打头的有： =24 第二类：以45打头的有： =6 第三类：以435打头的有： =2………………………………2分 故不大于43251的五位数有：（个） 即43251是第88项.…………………………………………………………………4分 ⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项， 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个， 所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分 ⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A·10000……………………………………………………………10分 同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以这个数列各项和为： （1+2+3+4+5）·A·（1+10+100+1000+10000） =15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分