浙江省台州市温岭横山中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

浙江省台州市温岭横山中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=1，c=2，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】HR：余弦定理． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，由余弦定理可得2b2﹣b﹣6=0，解得b的值，利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵a=1，c=2，，sinC==， ∴由余弦定理可得： =，整理可得：2b2﹣b﹣6=0， ∴解得：b=2或﹣（舍去）， ∴S△ABC=absinC==． 故选：C． 2. 已知是非零向量且满足 则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形   D．等边三角形 参考答案： B 3. 设某高中的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论不正确的是 A.具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 C.若该高中某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该高中某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 参考答案： D 略 4. 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图7－2－2所示，则该三棱锥的体积是(　　) A．1 cm3       B．2 cm3      C．3 cm3  D．6 cm3 参考答案： A 略 5. 已知集合M={x|16﹣x2≥0}，集合N={y|y=|x|+1}，则M∩N=（　　） A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2} 参考答案： C 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可． 【解答】解：由M中16﹣x2≥0，即即（x﹣4）（x+4）≤0，解得﹣4≤x≤4，即M={x|﹣4≤x≤4}， 集合N={y|y=|x|+1}=[1，+∞）， 则M∩N={x|1≤x≤4} 故选：C 6. 已知实数满足，则的最大值为(     ) 8             6              5                  1 参考答案： A 略 7. 设集合则实数   的取值范围是                                                （    ） A.                   B.    C.                D. 参考答案： C 8. 已知某公司生产的一种产品的质量(单位：克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（   ） （附：若服从，则，） A．3413件         B．4772件       C．6826件       D．8185件 参考答案： D 9. 若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】把函数式f（x）=sin2x+cos2x化积为f（x）=sin（2x+），然后利用三角函数的图象平移得到y=sin（2x+﹣2φ）．结合该函数为偶函数求得φ的最小正值． 【解答】解：∵由f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）， ∴把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）． ∵所得图象关于原点对称，则﹣2φ=kπ，k∈Z． ∴当k=0时，φ有最小正值是． 故选：A． 10. 已知f(x)＝|ln x|，若 ，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是(    )．      A．f(c)>f(b)>f(a) B．f(a)>f(c)>f(b)    C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(b)>f(a)>f(c) 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题p：?x∈R，x2＞x﹣1，则?p为　　． 参考答案： ?x∈R，x2≤x﹣1 略 12. 高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为        ． 参考答案： 20 略 13. 在中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则         参考答案： 略 14. 若实数满足，则的最大值是            . 参考答案： 2 略 15. 把正方形沿对角线折成直二面角，则与平面所成角为          ， 参考答案： 略 16. 直线l与椭圆相交于P，Q两点，若（O为坐标原点），则以O点为圆心且与直线l相切的圆方程为          ． 参考答案： 直线与椭圆相交于两点，若（为坐标原点） 不妨设直线为：. 则有：. 由，可得，解得. 所以此时为：. 则以点为圆心且与直线相切的. 故答案为：.   17. 复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为　　． 参考答案： 4 分析： 化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值． 解答： 解：=． ∵复数是纯虚数 ∴，解得：a=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）[来#源:中教%&*网~] 某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）. （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间； （２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 参考答案： 解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有   期中均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为 易知，为减函数，为增函数.注意到 于是 （1）当时， 此时   ， 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得 .由于 . 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为. （2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则 . 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于 此时完成订单任务的最短时间大于. （3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知， 当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为，大于. 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 19.    已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．     （I）求直线l2的方程；     （II）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．   参考答案： (1)y′＝2x＋1.直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－，所以直线l2的方程为y＝－x－.(2)解方程得所以直线l1和l2的交点的坐标为(，－)．l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(－，0)．所以所求三角形的面积为S＝×＝. 20. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。 参考答案： （1）, (2) 知识点：轨迹方程的求法;斜率的取值范围;分类讨论思想. 解析 ：解：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为 。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S： （2）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：        ① 与双曲线T： ② 因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。 的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③ （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得 该方程有唯一实数解的充要条件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得，解方程⑤得. 综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集. 思路点拨：(1)先求直线AB、AC、BC的方程，在求出点到AB、AC、BC的距离依次为d1，d2，d3．由此能求出点的轨迹方程． (2)点P的轨迹包含圆：与双曲线：．△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，解得．设的方程为．再分情况讨论能够求出直线的斜率的取值范围． 21. （15分）（2015?嘉兴一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN= （Ⅰ）求证：MN∥平面PDC； （Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值． 参考答案： 【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【专题】： 空间位置关系与距离；空间向量及应用． 【分析】： （Ⅰ）在正三角形ABC中，BM=2，在△ACD中，由M为AC中点，DM⊥AC，可得AD=CD，又∠CDA=120°，可得DM=，得到．在等腰直角三角形PAB中，可得，得到，MN∥PD．再利用线面平行的判定定理即可证明． （Ⅱ）由∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，可得AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，可得B（4，0，0），，，P（0，0，4）．由（Ⅰ）可知，=为平面PAC的法向量，设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），利用，可得平面PBC的一个