2022年北京北小营中学 高一数学理期末试题含解析

2022年北京北小营中学 高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.     21. 已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为. A． B． C．   D． 参考答案： C 2. 在△ABC中，，BC边上的高等于,则 A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：设边上高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D． 【考点】正弦定理 【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解． 3. 已知，，则与的夹角（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 参考答案： C 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】常规题型． 【分析】利用向量的多项式乘法展开，利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式，求出向量夹角的余弦，利用向量夹角的范围，求出向量的夹角． 【解答】解：设两个向量的夹角为θ ∵ ∴ ∴9+16×3+12×4cosθ=33 ∴ ∵θ∈[0，π] ∴θ=120° 故选C． 【点评】求向量的夹角问题一般应该先求出向量的数量积，再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意夹角的范围，求出夹角． 4. 设，那么 A、 B、 C、 D、 参考答案： B 5. ，，tan56°的大小关系是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先化简，再利用函数的单调性比较和的大小即得解. 【详解】由题得， 因为函数在单调递增， 所以. 故得. 故选： 【点睛】本题主要考查诱导公式和正切函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 下列四种说法正确的个数有（   ） ①若A，B，C为三个集合，满足，则一定有； ②函数的图像与垂直于x轴的直线的交点有且仅有一个； ③若,则； ④若函数f(x)在[a，b]和[b，c]都为增函数，则f(x)在[a，c]为增函数. A. 1个       B. 2个        C. 3 个       D. 4个 参考答案： C 7. 已知，则_____________。 参考答案：   8. 已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是 A.   B. C.       D. 参考答案： B 9. 已知，则（    ） A．         B．       C．3       D．－3 参考答案： D 10. （4分）点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（） A． B． C． 2 D． 参考答案： C 考点： 点到直线的距离公式． 专题： 计算题． 分析： 把点P（﹣2，1）直接代入点到直线的距离公式进行运算． 解答： 解：由点到直线的距离公式得，点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于 =2， 故选 C． 点评： 本题考查点到直线的距离公式的应用，要注意先把直线的方程化为一般式． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=17，则f（5）=　　． 参考答案： ﹣13 【考点】函数奇偶性的性质．  【专题】计算题． 【分析】根据所给函数的结构，构造新函数g（x）=ax7﹣bx5+cx3，利用其奇偶性求解． 【解答】解：令g（x）=ax7﹣bx5+cx3该函数是奇函数， 所以f（﹣5）=g（﹣5）+2=17，因此g（﹣5）=15， 所以g（5）=﹣15， 所以f（5）=g（5）+2=﹣15+2=﹣13， 故答案为：﹣13． 【点评】本题考察函数奇偶性的应用，题目本身所给函数不具有奇偶性，但将其中含自变量部分拆出后具有奇偶性，利用这一点将该类问题解决． 12. 如图是函数   的图象，则其解析式是          . 参考答案： 13. 已知函数是奇函数，则             . 参考答案： -1 当时，， ∵函数为奇函数， ∴， 即 ， ∴， ∴． ∴． 答案：   14. 若α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），则sin2α的值为　　． 参考答案： ﹣1 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或 cosα+sinα的值，从而求得sin2α的值． 【解答】解：∵α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），∴cos2α=2sin（+α）， ∴（cosα+sinα）?（cosα﹣sinα）=（cosα+sinα）， ∴cosα+sinα=0，或cosα﹣sinα=（不合题意，舍去）， ∴α=，∴2α=，∴sin2α=sin=﹣1， 故答案为：﹣1． 15. （5分）函数f（x）=的定义域是          ． 参考答案： （1，+∞） 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，求解x的取值集合得答案． 解答： 要使原函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1． ∴函数f（x）=的定义域是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）． 点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题． 16. 幂函数的图象过点，那么的值为          ． 参考答案： 设幂函数的解析式为，∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴，故答案为.   17. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，那么当x=0时，f（x）=　　； 当x＜0时，f（x）=　　． 参考答案： 0;﹣x2+x+1. 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】由奇函数的定义得出f（0）=0；由x＞0时，f（x）的解析式，结合函数的奇偶性，求出x＜0时的解析式． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（﹣0）=﹣f（0）， 即f（0）=0； 当x＜0时，﹣x＞0， f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）﹣1=x2﹣x﹣1； 又∵f（﹣x）=﹣f（x）， ∴﹣f（x）=x2﹣x﹣1， ∴f（x）=﹣x2+x+1． 故答案为：0，﹣x2+x+1． 【点评】本题考查了求函数解析式的问题以及函数奇偶性的应用问题，解题时应灵活应用函数的奇偶性进行解答，是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…[80,90),[90,100]. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率. 参考答案： （1）0.006；（2）0.4；（3） 试题分析：（1）在频率分面直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求a；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4;（3）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 试题解析：（1）因为，所以……..4分) （2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4………8分 （3）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为; 受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为 19. 某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数，为自然对数的底数. （1）判断函数是增函数还是减函数； （2）把表示成原子数的函数. 参考答案： （Ⅰ）由已知可得 因为是正常数，，所以，即， 又是正常数，所以是关于的减函数 （Ⅱ）因为，所以，所以，即（其中）. 20. 如图，在平行四边形中，边所在直线方程为, （1）求直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程；（3）若， 求平行四边形的面积。             参考答案：       21. （本题10分）已知函数的最大值为，最小值为. （1）求的值； （2）已知函数，当时求自变量x的集合. 参考答案： ⑴ ，； …………4分 ⑵由⑴知：ks5u …………6分   …………8分 对应x的集合为…………10分 22. 已知方程. （1）若此方程表示圆，求的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线相交于两点，且(为坐标原点)求的值； （3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程. 参考答案： （3）设圆心为则： 半径 圆的方程为.