河北省沧州市第十三中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析

河北省沧州市第十三中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（    ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 参考答案： A 【分析】 设原来的圆锥底面半径为，高为，可得出变化后的圆锥的底面半径为，高为，利用圆锥的体积公式可得出结果. 【详解】设原来的圆锥底面半径为，高为，该圆锥的体积为， 变化后的圆锥底面半径为，高为， 该圆锥的体积为，变化后的圆锥的体积缩小到原来的， 故选：A. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，考查变化后的圆锥体积的变化，解题关键就是圆锥体积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 2. 函数的零点所在的大致区间            （    ） A.(0,1)             B.(1,2)         C. (2,3)      D.(3,4) 参考答案： B 3. （5分）下列说法正确的是（） A． 幂函数的图象恒过（0，0）点 B． 指数函数的图象恒过（1，0）点 C． 对数函数的图象恒在y轴右侧 D． 幂函数的图象恒在x轴上方 参考答案： C 考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用对数函数、指数函数、幂函数的性质，对四个结论依次进行分析判断，能求出结果． 解答： 幂函数y=xa中，当a＜0时，它的图象不过（0，0）点，故A错误； 指数函数的图象恒过（0，1）点，故B错误； 由对数函数的性质知对数函数的图象恒在y轴右侧，故C正确； 幂函数y=xa中，当a=1时，y∈R，故D错误． 故选：C． 点评： 判断一个命题为真命题时，要给出严格的证明；判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可． 4. 下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是(　　) A．     B．     C．       D． 参考答案： A 对于A，由于函数 在 上是增函数，故满足条件； 对于B，由于函数 是常函数函数，故不满足条件； 对于C，由于函数 在 上是减函数，故不满足条件； 对于D，由于函数 在 上是减函数，故不满足条件，故选A.   5. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（   ）. A. B. C. [-2，3] D. [-3，2] 参考答案： D 【分析】 先由题意求出，再代入不等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，解得， 所以不等式可化为，即， 解得. 故选D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基础题型. 6. 平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0的距离是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】两条平行直线间的距离． 【分析】先把两条直线方程中对应未知数的系数化为相同的，再代入两平行直线间的距离公式进行运算． 【解答】解：∵两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离是，5x+12y+3=0即10x+24y+6=0， ∴两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是． 故选：C． 7. = A．             B．          C．             D． 参考答案： D 8. 若loga2＜logb2＜0，则a，b满足的关系是（　　） A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1 参考答案： D 【考点】对数值大小的比较． 【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】利用对数函数的性质求解． 【解答】解：∵loga2＜logb2＜0=loga1， ∴0＜a＜1，0＜b＜1， ∵2＞1，要使logb2＜0 ∴0＜b＜1 ∵loga2＜logb2＜0， ∴a＞b，且0＜a＜1， ∴0＜b＜a＜1． 故选：D． 【点评】本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用． 9. （5分）已知函数f（x）=ex﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（） A． （﹣2，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1） D． （1，2） 参考答案： B 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 构造函数g（x）=ex，h（x）=x2﹣8x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间． 解答： ∵函数f（x）=ex﹣x2+8x， 令g（x）=ex，h（x）=x2﹣8x， 画出图象判断交点1个数． ∵g（0）=1，h（0）=0， g（﹣1）=e﹣1，h（﹣1）=9， ∴g（0）＞h（0），g（﹣1）＜h（﹣1）， ∴交点在（﹣1，0）内， 即函数f（x）=ex﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（﹣1，0） 故选：B 点评： 本题考查了构造函数，运用图象的交点问题求解有关的函数的零点，画出图象判断，利用特殊函数值判断即可． 10. 设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）． A．－1或2 B．－2或3 C．2或－3 D．1或－2 参考答案： C ∵，，， ∴， ， ∵，，三点共线， ∴与共线， ∴，化简得，即， ∴或． 故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 三角形ABC中，如果A=60o，C=45o，且a=,则c=         。 参考答案： 略 12. 已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1，2a]，则a=      ，b=       . 参考答案： ，0。 13. 已知，则的值为_________． 参考答案： 14. 在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=　　． 参考答案： 2+ 【考点】余弦定理． 【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理 AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD． 【解答】用余弦定理求得 AB2=BD2+AD2﹣2AD?BDcos135° AC2=CD2+AD2﹣2AD?CDcos45° 即 AB2=BD2+2+2BD  ①AC2=CD2+2﹣2CD   ② 又BC=3BD 所以 CD=2BD 所以 由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3） 因为  AC=AB 所以 由（3）得 2AB2=4BD2+2﹣4BD  （4） （4）﹣2（1） BD2﹣4BD﹣1=0 求得 BD=2+ 故答案为：2+ 15. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （）设函数，则集合__________，__________． （）__________．（用，，填空） 参考答案： （），；（） （），解得， ∴； ，解得， ∴． （）若，显然成立；若，设， 则，， ∴， ∴． 16. 在正项等比数列{ }中，，则 ＝_______. 参考答案： 3, 略 17. 不等式的解集为_________________； 参考答案： (2,+∞) 【分析】 根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式． 【详解】时，原不等式可化为，，∴； 时，原不等式可化为，，∴． 综上原不等式的解为． 故答案为． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分） 已知数列为等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证数列是等比数列，并指出公比的大小． 参考答案： 解. (Ⅰ)∵数列为等差数列,设公差为    ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 由,得,  ∴                                   ┈┈┈┈┈┈┈5分         ┈┈┈┈┈┈6分 (Ⅱ)∵,∴          ┈┈┈┈9分 ∴数列是公比为9的等比数列   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 19. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． （1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式； （2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值． 【专题】应用题． 【分析】（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x． （2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论． 【解答】解：（1）当0＜x≤100时，p=60； 当100＜x≤600时， p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x． ∴p= （2）设利润为y元，则 当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x； 当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2． ∴y= 当0＜x≤100时，y=20x是单调增函数，当x=100时，y最大，此时y=20×100=2 000； 当100＜x≤600时，y=22x﹣0.02x2=﹣0.02（x﹣550）2+6 050， ∴当x=550时，y最大，此时y=6 050． 显然6050＞2000． 所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元． 【点评】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题． 20. 已知函数 （1）解关于不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解. （Ⅱ）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围. 【详解】（Ⅰ） 即， ，（ⅰ）当时，不等式解集为； （ⅱ）当时，不等式解集为； （ⅲ）当时，不等式解集为， 综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集； （ⅱ）当时，不等式解集为； （ⅲ）当时，不等式解集为 . （Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立. ①时，不等式为恒成立，此时；   ②当时，， ， ， ， 当且仅当时，即，时取“”, . 综上 . 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求. 21.