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河北省沧州市第十三中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若圆锥的高扩大为原来的3倍,底面半径缩短为原来的,则圆锥的体积( )
A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的2倍 D. 不变
参考答案:
A
【分析】
设原来的圆锥底面半径为,高为,可得出变化后的圆锥的底面半径为,高为,利用圆锥的体积公式可得出结果.
【详解】设原来的圆锥底面半径为,高为,该圆锥的体积为,
变化后的圆锥底面半径为,高为,
该圆锥的体积为,变化后的圆锥的体积缩小到原来的,
故选:A.
【点睛】本题考查圆锥体积的计算,考查变化后的圆锥体积的变化,解题关键就是圆锥体积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.
2. 函数的零点所在的大致区间 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C. (2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
3. (5分)下列说法正确的是()
A. 幂函数的图象恒过(0,0)点
B. 指数函数的图象恒过(1,0)点
C. 对数函数的图象恒在y轴右侧
D. 幂函数的图象恒在x轴上方
参考答案:
C
考点: 幂函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用对数函数、指数函数、幂函数的性质,对四个结论依次进行分析判断,能求出结果.
解答: 幂函数y=xa中,当a<0时,它的图象不过(0,0)点,故A错误;
指数函数的图象恒过(0,1)点,故B错误;
由对数函数的性质知对数函数的图象恒在y轴右侧,故C正确;
幂函数y=xa中,当a=1时,y∈R,故D错误.
故选:C.
点评: 判断一个命题为真命题时,要给出严格的证明;判断一个命题为假命题时,只需举出一个反例即可.
4. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
对于A,由于函数 在 上是增函数,故满足条件;
对于B,由于函数 是常函数函数,故不满足条件;
对于C,由于函数 在 上是减函数,故不满足条件;
对于D,由于函数 在 上是减函数,故不满足条件,故选A.
5. 若不等式的解集是,则不等式的解集是( ).
A. B. C. [-2,3] D. [-3,2]
参考答案:
D
【分析】
先由题意求出,再代入不等式,求解,即可得出结果.
【详解】因为不等式的解集是,
所以,解得,
所以不等式可化为,即,
解得.
故选D
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法,熟记三个二次之间的关系即可,属于基础题型.
6. 平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】两条平行直线间的距离.
【分析】先把两条直线方程中对应未知数的系数化为相同的,再代入两平行直线间的距离公式进行运算.
【解答】解:∵两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离是,5x+12y+3=0即10x+24y+6=0,
∴两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是.
故选:C.
7. =
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 若loga2<logb2<0,则a,b满足的关系是( )
A.1<a<b B.1<b<a C.0<a<b<1 D.0<b<a<1
参考答案:
D
【考点】对数值大小的比较.
【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】利用对数函数的性质求解.
【解答】解:∵loga2<logb2<0=loga1,
∴0<a<1,0<b<1,
∵2>1,要使logb2<0
∴0<b<1
∵loga2<logb2<0,
∴a>b,且0<a<1,
∴0<b<a<1.
故选:D.
【点评】本题考查两个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数的性质的合理运用.
9. (5分)已知函数f(x)=ex﹣x2+8x,则在下列区间中f(x)必有零点的是()
A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2)
参考答案:
B
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 构造函数g(x)=ex,h(x)=x2﹣8x,画出图象判断,交点个数,运用特殊函数值判断区间.
解答: ∵函数f(x)=ex﹣x2+8x,
令g(x)=ex,h(x)=x2﹣8x,
画出图象判断交点1个数.
∵g(0)=1,h(0)=0,
g(﹣1)=e﹣1,h(﹣1)=9,
∴g(0)>h(0),g(﹣1)<h(﹣1),
∴交点在(﹣1,0)内,
即函数f(x)=ex﹣x2+8x,则在下列区间中f(x)必有零点的是(﹣1,0)
故选:B
点评: 本题考查了构造函数,运用图象的交点问题求解有关的函数的零点,画出图象判断,利用特殊函数值判断即可.
10. 设向量,不共线,,,,若,,三点共线,则实数的值为().
A.-1或2 B.-2或3 C.2或-3 D.1或-2
参考答案:
C
∵,,,
∴,
,
∵,,三点共线,
∴与共线,
∴,化简得,即,
∴或.
故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 三角形ABC中,如果A=60o,C=45o,且a=,则c= 。
参考答案:
略
12. 已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a= ,b= .
参考答案:
,0。
13. 已知,则的值为_________.
参考答案:
14. 在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,则BD= .
参考答案:
2+
【考点】余弦定理.
【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB,AC,把已知条件代入整理,根据BC=3BD推断出CD=2BD,进而整理 AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB,代入整理,最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD.
【解答】用余弦定理求得
AB2=BD2+AD2﹣2AD?BDcos135°
AC2=CD2+AD2﹣2AD?CDcos45°
即 AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②
又BC=3BD
所以 CD=2BD
所以 由(2)得AC2=4BD2+2﹣4BD(3)
因为 AC=AB
所以 由(3)得 2AB2=4BD2+2﹣4BD (4)
(4)﹣2(1)
BD2﹣4BD﹣1=0
求得 BD=2+
故答案为:2+
15. 对于函数,若,则称为的“不动点”;若,则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,.
()设函数,则集合__________,__________.
()__________.(用,,填空)
参考答案:
(),;()
(),解得,
∴;
,解得,
∴.
()若,显然成立;若,设,
则,,
∴,
∴.
16. 在正项等比数列{ }中,,则 =_______.
参考答案:
3,
略
17. 不等式的解集为_________________;
参考答案:
(2,+∞)
【分析】
根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式.
【详解】时,原不等式可化为,,∴;
时,原不等式可化为,,∴.
综上原不等式的解为.
故答案为.
【点睛】本题考查解绝对值不等式,解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号,然后求解.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分) 已知数列为等差数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求证数列是等比数列,并指出公比的大小.
参考答案:
解. (Ⅰ)∵数列为等差数列,设公差为 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
由,得,
∴ ┈┈┈┈┈┈┈5分
┈┈┈┈┈┈6分
(Ⅱ)∵,∴ ┈┈┈┈9分
∴数列是公比为9的等比数列 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分
19. 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单价就降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过600件.
(1)设一次订购x件,服装的实际出厂单价为p元,写出函数p=f(x)的表达式;
(2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用;二次函数在闭区间上的最值.
【专题】应用题.
【分析】(1)根据题意,函数为分段函数,当0<x≤100时,p=60;当100<x≤600时,p=60﹣(x﹣100)×0.02=62﹣0.02x.
(2)设利润为y元,则当0<x≤100时,y=60x﹣40x=20x;当100<x≤600时,y=(62﹣0.02x)x﹣40x=22x﹣0.02x2,分别求出各段上的最大值,比较即可得到结论.
【解答】解:(1)当0<x≤100时,p=60;
当100<x≤600时,
p=60﹣(x﹣100)×0.02=62﹣0.02x.
∴p=
(2)设利润为y元,则
当0<x≤100时,y=60x﹣40x=20x;
当100<x≤600时,y=(62﹣0.02x)x﹣40x=22x﹣0.02x2.
∴y=
当0<x≤100时,y=20x是单调增函数,当x=100时,y最大,此时y=20×100=2 000;
当100<x≤600时,y=22x﹣0.02x2=﹣0.02(x﹣550)2+6 050,
∴当x=550时,y最大,此时y=6 050.
显然6050>2000.
所以当一次订购550件时,利润最大,最大利润为6050元.
【点评】本题考查分段函数,考查函数的最值,解题的关键是正确写出分段函数的解析式,属于中档题.
20. 已知函数
(1)解关于不等式;
(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)答案不唯一,具体见解析.(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)将原不等式化为,分类讨论可得不等式的解.
(Ⅱ)若则;若,则参变分离后可得在恒成立,利用基本不等式可求的最小值,从而可得的取值范围.
【详解】(Ⅰ) 即,
,(ⅰ)当时,不等式解集为;
(ⅱ)当时,不等式解集为;
(ⅲ)当时,不等式解集为,
综上所述,(ⅰ)当时,不等式解集;
(ⅱ)当时,不等式解集为;
(ⅲ)当时,不等式解集为 .
(Ⅱ)对任意的恒成立,即恒成立,即对任意的,恒成立.
①时,不等式为恒成立,此时;
②当时,,
, , ,
当且仅当时,即,时取“”, .
综上 .
【点睛】含参数的一元二次不等式,其一般的解法是:先考虑对应的二次函数的开口方向,再考虑其判别式的符号,其次在判别式于零的条件下比较两根的大小,最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解.含参数的不等式的恒成立问题,优先考虑参变分离,把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题,后者可用函数的单调性或基本不等式来求.
21.
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