江苏省常州市晋陵中学高一数学理月考试卷含解析

江苏省常州市晋陵中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一对夫妇有两个孩子，已知其中一个孩子是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】条件概率与独立事件． 【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计． 【分析】记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，分别求出A、B的结果个数，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式求解即可 【解答】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}． 记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（女，女）}． 于是可知 P（A）=，P（AB）=． 问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式， 得P（B|A）=== 故选D． 【点评】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：P（B|A）=，等可能事件的概率的求解公式：P（M）=（其中n为试验的所有结果，m为基本事件的结果） 2. 关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|＞a2﹣3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是（　　） A．1＜a＜2 B． C．a＜1或a＞2 D．a≤1或a≥2 参考答案： B 【考点】R4：绝对值三角不等式． 【分析】由题意可得|x﹣1|﹣|x﹣3|＞a2﹣3a的解集非空，根据绝对值的意义求得|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值为2，可得2＞a2﹣3a，由此求得实数a的取值范围． 【解答】解：关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|＞a2﹣3a的解集为非空数集， 则a2﹣3a＜（|x﹣1|﹣|x﹣3|）max即可， 而|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值是2， ∴只需a2﹣3a﹣2＜0，解得：＜a＜， 故选：B． 3. 三个不相等的实数a，b，c成等差数列，且a，c，b成等比数列，则等于（　　） A．           B．           C．2              D．4 参考答案： D 略 4. 设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为(　　) A．2n－1                        B．2n－1－1 C．2n－n－2                     D．2n＋1－n－2 参考答案： D 5. 已知，，则=(      ) A．          B．              C．                 D． 参考答案： D 略 6. 已知函数，则的值是（ ）。 A.               B. C.               D. 参考答案： C 7. 等差数列{an}和{bn}，它们的前n项之和分别为Sn和Tn，若=，则的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】8F：等差数列的性质． 【分析】由等差数列{an}与{bn}的性质和前n项和公式可得：，代入若=求值． 【解答】解：由等差数列{an}与{bn}的性质和前n项和公式可得： ===， ∵， ∴===， 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握公式． 8. 已知函数． 若f（x）在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（2，3] B．（2，3） C．（2，+∞） D．（1，2） 参考答案： A 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】根据对数函数以及一次函数的性质求出a的范围即可． 【解答】解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1， 又f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数， ∴a＞2，并且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0， 所以2＜a≤3， 故选：A． 9. 等比数列的前项和为，已知,，则=（    ） A.            B.            C.            D. 参考答案： C 10. 实数x，y满足|x|﹣log2=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】由题意可得y=（）|x|=，即可得到函数的图象． 【解答】解：∵实数x，y满足|x|﹣log2=0， ∴log2=|x|， ∴=2|x|， ∴y=（）|x|=， 故选：B 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点在直线上，则的最小值为           参考答案： 12. （5分）若||=1，||=，（﹣）?=0，则与的夹角为         ． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 通过已知求出与的数量积，在由数量积的定义解答． 解答： ||=1，||=，（﹣）?=0，则，所以 所以与的夹角的余弦值为：cosθ==；所以θ=； 故答案为：． 点评： 本题考查了向量的数量积公式的运用，属于基础题． 13. 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于__________． 参考答案： 见解析 解：，设， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∴在是取最小． 14. 设已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则___________. 参考答案： 略 15. （4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，﹣2），B（1，﹣3，1）），点 M在y轴上，且｜MA｜=｜MB｜，则M的坐标是 ． 参考答案： （0，﹣1，0） 考点： 空间两点间的距离公式． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 设出点M（0，y，0），由｜MA｜=｜MB｜，建立关于参数y的方程，求y值即可． 解答： 设设M（0，y，0），由｜MA｜=｜MB｜， 可得，即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1． M的坐标是（0，﹣1，0）． 故答案为：（0，﹣1，0）． 点评： 本题考点是点、线、面间的距离计算，空间两点距离公式的应用，考查计算能力． 16. 将函数y=x+2的图象按=(6,－2)平移后，得到的新图象的解析为_____________ 参考答案：  y = x－8 17. （5分）函数f （x）=的单调递增区间为        ． 参考答案： ，k∈Z 考点： 对数函数的定义域；余弦函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： 利用复合函数的单调性的规律：同增异减将原函数的单调性转化为t的单调性，利用三角函数的单调性的处理方法：整体数学求出单调区间． 解答： ∵y=log0.5t为减函数， 所以函数f （x）=的单调递增区间为即为 单调减区间 且 令 解得 故答案为  （k∈Z） 点评： 本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，，，. （1）求b、c的值； （2）求的值. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）利用余弦定理，代入已知条件即可得到关于的方程，解方程即可； （2），根据正弦定理即可求出. 【详解】（1）∵，，， ∴由余弦定理，得， 即 ∴，. （2）在△ABC中，由，得， 由正弦定理有：，即， ∴. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题. 19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 参考答案： 【考点】HX：解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC=， ∴C=； （Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?， ∴（a+b）2﹣3ab=7， ∵S=absinC=ab=， ∴ab=6， ∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC的周长为5+． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 20. 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量） 共有100个数据，将数据分组如右表： （1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）估计纤度落在中的频率及纤度小于的频率是多少？ （3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．           分组 频数 合计                         参考答案： 分组 频数 频率 4 0.04 25 0.25 30 0.30 29 0.29 10 0.10 2 0.02 合计 100 1.00     （2）纤度落在中的频率约为， 纤度小于1.40的频率约为． （Ⅲ）总体数据的众数：1.40        中位数：1.408 平均数: ． 21. （9分）已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围； 参考答案： （Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以 ，即．因为为整数，故． 故所求圆的方程为． …………………………………4分 （Ⅱ）把直线即．代入圆的方程，消去整理，得 ． 由于直线交圆于两点，故． 即，由于，解得． 所以实数的取值范围是．…………………………………………9分 22. 在三角形中，角及其对边满足： . (1)求角的大小；(2)求函数的值域. 参考答案： (1)由条件得： ， 所以，， 又，所以，，因为，所以， 所以，又，所以. (2)在三角形中，，故. 因为，所以. 所以，. 所以，函数的值域为.