2022年陕西省咸阳市彬县第二中学高二数学理期末试卷含解析

2022年陕西省咸阳市彬县第二中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直线L平行于平面，直线，则L与直线的位置关系是（     ） A、 L∥a       B、L与异面     C、L与相交   D、L与没有公共点   参考答案： D 略 2. 如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为(　　) A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 参考答案： C 3. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，其中焦距为2 c，长轴长为2 a，当放在点A处的小球被击出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，小球经过的路程是（   ） （A）4 a     （B）2 ( a – c )     （C）2 ( a + c )      （D）以上答案均有可能 参考答案： D 4. 设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平的，有以下四个命题： ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ   ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β ③若m∥n，n?α，则m∥α    ④若m⊥α，m∥β，则α⊥β 其中正确命题的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 参考答案： B 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑． 【分析】①根据面面平行的性质进行判断， ②根据线面垂直和面面垂直的性质和判定定理进行判断， ③根据线面平行的判定定理进行判断， ④根据线面垂直，线面平行和面面垂直的性质进行判断． 【解答】解：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ，成立，故①正确， ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β或m∥β或m?β，故②错误， ③若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，故③错误， ④若m⊥α，m∥β，则α⊥β成立，故④正确， 故正确是①④， 故选：B． 【点评】本题主要考查与空间直线和平面平行或垂直的命题的真假的判断，要求熟练掌握空间线面，面面平行或垂直的性质定理和判定定理． 5. 椭圆+=1的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】先根据椭圆的标准方程得出：长轴长，短轴长，进而根据椭圆a，b，c的关系a2=b2+c2可表示出c，再由e=得到答案 【解答】解：∵椭圆+=1， ∴a=5，b=4 ∴c=3 ∴e== 故选：D． 6. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为 A.1               B.2                   C.3                   D.4 参考答案： D 略 7. 符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（　　） A．a=1，b=，A=30° B．a=1，b=2，c=3 C．b=c=1，B=45° D．a=1，b=2，A=100° 参考答案： C 【考点】解三角形． 【专题】综合题． 【分析】利用已知选项的条件，通过正弦定理，组成三角形的条件，判断能不能组成三角形，以及三角形的个数． 【解答】解：对于A、a=1，b=，A=30°三角形中B可以是45°，135°，组成两个三角形． 对于B、a=1，b=2，c=3组不成三角形． 对于D、a=1，b=2，A=100°组不成三角形． 对于C、b=c=1，B=45°显然只有一个三角形． 故选C． 【点评】本题是基础题，考查三角形的基本性质，注意正弦定理的应用，大角对大边，小角对小边，常考题型． 8. 已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（　　） A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2} B．{x|x＜﹣或x＞﹣} C．{x|﹣＜x＜﹣} D．{x|﹣3＜x＜﹣2} 参考答案： C 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再代入不等式bx2﹣5x+a＞0求解集即可． 【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}， ∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3， ∴， 解得a=﹣1，b=﹣6； ∴不等式bx2﹣5x+a＞0为﹣6x2﹣5x﹣1＞0， 即6x2+5x+1＜0， 解得﹣＜x＜﹣； ∴不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是{x|﹣＜x＜﹣}． 故选：C． 9. 函数的导数是 A．   B．   C．   D． 参考答案： A 略 10. 已知抛物线y2=8x的焦点与椭圆+y2=1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），从而求离心率． 【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0）； 故c=2，b=1，a=； 故e==； 故该椭圆的离心率为； 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知某圆锥体的底面半径r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是　　． 参考答案： 36π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长，利用弧长公式计算展开图的半径即圆锥的母线长，代入公式计算得出面积． 【解答】解：圆锥的底面积S底=π×32=9π， 圆锥侧面展开图的弧长为2π×3=6π， ∴圆锥侧面展开图的扇形半径为=9． 圆锥的侧面积S侧==27π． ∴圆锥的表面积S=S底+S侧=36π． 故答案为：36π． 12. 一半球的体积是18 π，则此半球的内接正方体的表面积是           。 参考答案： 36 13. 已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是         ．（用区间表示） 参考答案： 14. 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______（填入所有可能的几何体前的编号） ①三棱锥   ②四棱锥   ③三棱柱   ④四棱柱   ⑤圆锥   ⑥圆柱 参考答案：   ①②③⑤          15. 已知函数f（x）=13﹣8x+x2，且f′（a）=4，则实数a的值　　． 参考答案： 3 【考点】63：导数的运算． 【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x），又由f′（a）=4，可得2a﹣8=4，解可得a的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）=13﹣8x+x2， 则其导函数f′（x）=2x﹣8， 若f′（a）=4，则有2a﹣8=4， 解可得a=3； 故答案为：3． 16. 在平面几何里，已知的两边互相垂直，且，则边上的高；拓展到空间，如图，三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且,则点到面的距离 参考答案： 17. 设：关于的不等式的解集为，：函数的定义域为，如果和有且仅有一个正确，则的取值区间是                    . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知椭圆：与抛物线：有相同焦点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当△面积最大时，求直线的方程． 参考答案： （Ⅰ）由于抛物线的焦点为，得到，又得到． （Ⅱ）思路一：设，，      直线的方程为即且过点 ， 切线方程为 由，设直线的方程为，联立方程组 由，消整理得 设，，应用韦达定理 得，由点到直线的距离为,应用基本不等式等号成立的条件求得 思路二：，由已知可知直线的斜率必存在，设直线 由消去并化简得 根据直线与抛物线相切于点．得到，． 根据切点在第一象限得；由∥，设直线的方程为 由，消去整理得， 思路同上． 试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为， ，又 椭圆方程为．               （Ⅱ）（法一）设，，      直线的方程为即且过点 ， 切线方程为                            因为，所以设直线的方程为， 由，消整理得         ，解得     ① 设，，则 ∴                 直线的方程为， 点到直线的距离为                    ，                由①，    （当且仅当即时，取等号） 最大 所以，所求直线的方程为：．              （法二），由已知可知直线的斜率必存在， 设直线 由    消去并化简得 ∵直线与抛物线相切于点． ∴，得．                 ∵切点在第一象限． ∴                                               ∵∥ ∴设直线的方程为 由，消去整理得，      ，解得． 设，，则 ， ． 又直线交轴于 10分 当，即时，．       所以，所求直线的方程为．                    12分 考点：1．椭圆、抛物线标准方程及几何性质；2．直线与圆锥曲线的位置关系． 19. 已知直线，圆 （1）判断直线和圆的位置关系； （2）若直线和圆相交，求相交弦长最小时的值. 参考答案： 解：（1）直线， 即为， 则直线经过直线与的交点         而，所以点在圆的内部，所以直线和圆相交； （2）假设直线和圆相交于点，由相交弦长公式，其中为圆心到直线的距离，有公式可知， 当最大时，相交弦长最小，而由（1）知， 直线过定点,所以，即，又，所以， 20. （10分）已知原命题为“若a＞2，则a2＞4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假。 参考答案： 原命题为“若a＞2，则a2＞4”正确  …1分 逆命题：  错误 …4分   否命题：错误  …7分 逆否命题：正确  …10分 21. (12分)已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值． 参考答案： （1）设，依题意得          … ………2分 解得                  …….3分 椭圆的方程为     … ……….4分 （2）①当AB       …… …5分 ②当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为 ， 由已知得   … …..6分 代入椭圆方程，整理得   ……… 7分                  当且仅当时等号成立， 此时… 10分 ③当    … ……..11分 综上所述：， 此时面积取最大值 …… 12分 22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ=，θ∈[0，2π），直线l为参数，t∈R） （1）求曲线C和直线l的普通方程； （2）设直线l和曲线C交于A、B两点，求|AB|的值． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）曲线C：ρ=，θ∈[0，2π），化为2ρ﹣ρcosθ=3，可得4ρ2=（3+ρcosθ）2，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，可得直角坐标方程．可由