2023年江苏省南京市第七中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为
（A） （B）1 （C） （D）
参考答案：
C
本题主要考查了抛物线的定义，合理转化充分利用定义是解题的关键，难度中等。设A、B两点到准线的距离分别为、，则，则AB中点到准线的距离，故AB中点到轴的距离为。
2. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为
A. B. C. D.
参考答案：
D
设, 则，
，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.
3. 已知集合 ( )
参考答案：
A
4. 已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．
【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，
例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；
或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；
故前者不是后者的充分条件；
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；
由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
故选B．
5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
参考答案：
A
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（）2，
∴R=，
∴球的表面积为4π?（）2=．
故选：A．
6. 定义在[0，1]上的函数满足，且当 时，等于 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为
A．＜x＜1 B．x＞且x≠1 C． x＞1 D． 0＜x＜1
参考答案：
B
解：因为，解得x＞且x≠1．由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，
T logx(2x3＋x2－x)＞logx2T 或．解得0＜x＜1或x＞1．
所以x的取值范围为x＞且x≠1．
8. 函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】函数的图象．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，
∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D
9. 若a=log23，b=log3，c=3﹣2，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=log23＞1，b=log3＜0，c=3﹣2∈（0，1），
∴a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10. i是虚数单位，+i=( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答： 解：∵+i=+i==．
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数．
（ii）女学生人数多余教师人数．
（iii）教师人数的两倍多余男学生人数．
①若教师人数为，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
参考答案：
设男学生，女学生，教师人数分别为，，．
由题意，建立方程组．
，【注意有文字】
①当时，由方程组解出，
故此时女学生最多有人．
②设小组总人数为，
∵由上述方程组可得，
即最小为才能满足条件，
此时，，
故，
即小组人数最少为人．
12. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．
参考答案：
21π
由题意得，得到，取AB中点为D，
SB中点为M，得到为二面角的平面角，
由题意可知，设三角形ABC的外心为，
则，球心为过点M的面ABS的垂线与过点
O’的面ABC的垂线的交点，在四边形中，可求出，
所以，所以球的表面积。
13. 已知函数，若，使得，则m的取值范围是________.
参考答案：
14. 已知变量x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 ；
参考答案：
6
15. 函数f(x)=Asin((A,为常数，A>0，
,|<)的部分图象如图所示,
则f(0)的值是_______.
参考答案：
略
16. 5000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为
参考答案：
500
17. 已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a= ．
参考答案：
考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．
专题：计算题．
分析：分别计算出（ax+1）5的展开式中x2的系数和的展开式中x3的系数，利用它们相等，建立方程关系，进行求解即可．
解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，
与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，
∴10a2=5，
即a2=，解得a=．
故答案为：．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设数列的首项R），且，
（Ⅰ）若；
（Ⅱ）若，证明：；
（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.
参考答案：
（Ⅰ）解：因为
所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4）
所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1）
所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4）
所以a5=a4－3=a ……4分
（Ⅱ）证明：当
所以， ……6分
②当
所以，
综上， ……8分
（Ⅲ）解：①若
因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …10分
②若
因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …12分
③若，
因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 ……13分
综上，若0
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