2023年广西壮族自治区桂林市市全州县第三中学高三数学理模拟试题含解析

2023年广西壮族自治区桂林市市全州县第三中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若0＜b＜a＜1则下列结论不一定成立的是(     ) A．＜ B．＞ C．ab＞ba D．logba＞logab 参考答案： D 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据指数函数和对数函数的单调性即可判断． 【解答】解：∵0＜b＜a＜1， ∴＜，＞，故A，B成立 ab＞aa=bb＞ba，故C成立， logba＜logbb=1=logaa＜logab，故D不成立， 故选：D． 【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性和不等式的性质，属于基础题． 2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，则角A，B的大小分别为                         （    ）        A．                 B． C．                 D． 参考答案： 答案：C 3. 已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+?=0有实根，则与的夹角的取值范围是（　　） A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π] 参考答案： B 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】令判别式△≥0可得≤，代入夹角公式得出cos＜＞的范围，从而得出向量夹角的范围． 【解答】解：∵关于x的方程x2+||x+?=0有实根， ∴||2﹣4≥0， ∴≤， ∴cos＜＞=≤=， 又0≤＜＞≤π， ∴＜＞≤π． 故选B． 4. 已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．2π B．π C．π D． +4 参考答案： C 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】几何体的直观图为圆柱与圆锥的组合体的一半，由图中数据可得该几何体的体积． 【解答】解：几何体的直观图为圆柱与圆锥的组合体的一半， 由图中数据可得，该几何体的体积为=， 故选C． 5. 如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性． 【专题】计算题． 【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值． 【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称． ∴∴由此易得． 故选A 【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题． 6. 复数的共轭复数是（   ） A．             B．            C．          D． 参考答案： B 7. 函数f（x）=lg（3x﹣1）的定义域为（　　） A．y=lnx B．（0，+∞） C．R D．（，+∞） 参考答案： D 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数f（x）的解析式是对数函数，真数大于0，列出不等式求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵函数f（x）=lg（3x﹣1）， ∴3x﹣1＞0， 解得x＞； ∴函数f（x）的定义域为（，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目． 8. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向左平移个单位                    B．向右平移个单位 C．向左平移个单位                    D．向右平移个单位 参考答案： A 略 9. 实数x，y满足，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（　　） A．（1，0） B．（0，﹣2） C．（0，0） D．（2，2） 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2y﹣3x得y=x+， 平移直线y=x+由图象可知当直线y=x+经过点A时， 直线y=x+的截距最小，此时z最小， 由，解得， 即A（1，0）， 则z=2y﹣3x取得最小值的最优解（1，0）， 故选：A． 10. 复数在复平面上对应的点的坐标是          A．              B．               C．              D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知二元一次方程组的增广矩阵是，若该方程组无解，则实数的值为___________． 参考答案： -2 略 12. 以线段AB：为直径的圆的方程为          参考答案： 13. 若函数在上存在唯一的满足，那么称函数是上的“单值函数”.已知函数是上的“单值函数”，当实数取最小值时，函数在上恰好有两点零点，则实数的取值范围是_        ． 参考答案： 14. 若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________． 参考答案： 15. 已知，则函数的零点的个数为       ． 参考答案： 5 16. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。 设 (x0),则的最大值为__________ （A） 4            （B） 5        （C） 6       （D） 7 参考答案： 6 17. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是          ． 参考答案： 【知识点】函数奇偶性、单调性的应用.    B3  B4   解析：因为当x≥0时，f（x）=，所以f(x)是的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2] ，因为函数2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以2x+1有最大值2a+5,所以. 【思路点拨】先根据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数，然后把命题转化为对任意x∈[a，a+2],a 2x+1恒成立问题求解. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数在处存在极值。 (1)求实数的值； (2)函数的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在轴上，求实数的取值范围； (3)当时，讨论关于的方程的实根个数。 参考答案： （1）a=1，b=0  （2）   （3）见解析 （1）当时， 因为函数在处存在极值，所以  解得 (2) 由（1）得 根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.   若，则 由是直角得，，即，  即.此时无解； 若，则. 由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即. 同理有，即=0，   . 因为函数在上的值域是  ∴实数的取值范围是 （3）由方程，知，可知0一定是方程的根， ∴仅就时进行研究：方程等价于  构造函数 对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分， 当时取得最大值，其值域是； 对于部分，函数，由，知函数在上单调递增. ∴①当或时，方程有两个实根； ②当时，方程有三个实根； ③当时，方程有四个实根 19. 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列. （1）若，且成等比数列，求数列{an}的通项公式an； （2）在（1）的条件下，数列{an}的前n和为Sn，设，若对任意的，不等式恒成立，求突数的最小值: （3）若数列{an}中有两项可以表示位某个整数的不同次冪，求证:数列{an}中存在无穷多项构成等比数列. 参考答案： （1）的通项公式．（2）实数的最小值为． （3）有等比数列，其中． 本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。 （1）因为因为又因为是正项等差数列，故，利用等差数列的某两项可知其通项公式的求解。 （2）因为，可知其的通项公式，利用裂项求和的思想得到结论。 （3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以， 设其中是数列的项，是大于1的整数， 分析证明。 （1）因为又因为是正项等差数列，故 所以，得或(舍去) ， 所以数列的通项公式．………………………………………………4分 （2） 因为， ， 　　， 令，则， 当时，恒成立， 所以在上是增函数，故当时，，即当时，， 要使对任意的正整数， 不等式恒成立， 则须使， 所以实数的最小值为．…………………………10分 （3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以， 设其中是数列的项，是大于1的整数，， 令，则， 故是的整数倍，对的次幂， 所以，右边是的整数倍． 所有这种形式是数列中某一项， 因此有等比数列，其中． …………………………16分 20. （12分）设函数,且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为, (Ⅰ)求的值 (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值 参考答案： 21. 在平面直角坐标系xoy中，设P（x，y）是椭圆上的一个动点． （1）写出椭圆的参数方程； （2）求S=x+y的最大值． 参考答案： 【考点】椭圆的参数方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程． 【分析】（1）根据椭圆的标准方程写出它的参数方程． （2）根据S=x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+），再利用正弦函数的值域求得S=x+y的最大值． 【解答】解：（1）∵P（x，y）是椭圆上的一个动点，令x=cosθ，则y=sinθ， 故椭圆的参数方程为 ． （2）由于S=x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+），故S=x+y的最大值为2． 【点评】本题主要考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，辅助角公式，正弦函数的最值，属于基础题． 22. 设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值． （2）设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明ex＞x2﹣2ax+1． 【解答】（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=ex﹣2，x∈R． 令f′（x）=0，得x=ln2． 于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，ln2） ln2 （ln2，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 单调递减 2（1﹣ln2+a） 单调递增 故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2）， 单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值， 极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln