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1、1第九章 力学量本征值问题的代数解法91） 在 8.2 节式（21）中给出了自旋（ ）与轨迹角动量（ ）耦合成总角动量 的波函数 ，这相当21ljjlm于 的耦合。试由 8.2 节中式（21）写出表 9.1（a）中的 CG 系数 21,21sjl j21解：8.2 节式（21a） （21b）: 21),0( 21mllj jjlm112lmYl（21a） 21,2, jjmjjYjjlj21jljlm1lmYll（21b） 21,2),0( 21 jjmjjYjjlljjl此二式中的 相当于 CG 系数中的 ，而 , 。1j2sj 21,1j因此， （21a）式可重写为jm2 2121jmjj
2、 2121111 mjjjj（21a） 211212112),21( jjmjjjlja对照 CG 系数表，可知：当 , 时 ，1j 221112jjmj而 时，2221112jmjmj对于 的（21b）式，有 1jlj 21111,2jjj21111,jmjmj92）设两个全同粒子角动量 ，耦合成总角动量 ，21jjJ（1）JMj22121 jmjmJ利用 系数的对称性，证明CGJMjjJjp221由此证明，无论是 Bose 子或 Fermi 子， 都必须取偶数证：由式（1） ， JMj21121212jmjmj把 , 21m12211jjJ利用 系数的对称性 CG2121 jmjmj M(
3、2) Jjj对于 Fermi 子， 半奇数， 奇数，但要求 ，jj 12p即要求 ，所以 必须为偶数。12Jj J， （ 情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此maxjJj2max0,3,j可验证：态 的总数为 。 。JMj21j12120jJj对于 Bose 子， 整数， 偶数，但要求 12p即 ，故 也必须为偶数12Jj 0,2,j93）设原子中有两个价电子，处于 能级上，按 耦合方案，nlELS3， ， （总角动量）L21s21JL证明： （a） 必为偶数；（b） 。当 时， （偶） ； 时， ， 可以为奇，J, 0sLJ1s1,LJJ也可以为偶。证： 自旋的耦合： ，211s).(反
4、 对 称 ， 单 态对 称 ， 三 重 态s轨迹角动量的耦合： ，ll1 .0,1,lL其中 偶是对称态， 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以L时，0s.0,2,l时，11在两种情况下， 都为偶数，但sLsJ,对于 ， 偶；0J， 。11,可以为奇，也可以为偶J讨论本题结论与题 92 有无矛盾？（按 耦合方案，似乎 必为偶数） 。提示：在本题中，若用 耦合来分jJ j析， ？是否只有一个 值？两种耦合方案得出的态数是否相等？jj94）大小相等的两个角动量耦合成角动量为 的态 ， 证明 的几率却相等，00jzzj21jj,1,即 。12j提示：利用 （P235
5、，式（23） ）120jmjmj证：Dirac 符号表示，有 ，jJMj10（1）JMj211 212mJj在本题的情况下， ， ， 。jj210m令21则（1）成为 （2）0mj其中 即为耦合表象中的态 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数CG 系数，其模即表示jm体系处于 态时，测得 取值 （同时 取值 ， 取 各可能值）的几率。0zj1zJ2jj,1,由提示， （3）jjmj4（4）120 jmj即，对于给定的 所合成的态 ， 的几率与 的具体取值无关，皆j21 0jzzj21jj,1, m为 。21j95）设 ，在 态下，证明（取 ）J21jm21 1，01yxyxjj1221jjmjz
6、 12jjjjz zjm1证：（参剖析，8.68 等）96）在 表象(以为 基矢) 中， 的子空间的维数为 3，求 在此三维空间中的矩阵表示，再利zL,2l1l xL用矩阵方法求出 的本征值和本征态x解：在 表象中， 的子空间中的基矢为 ， 。由于z,21l lm1,01 jmjjJjx 2mjjJj 1。1x对于本题，以上方式中 ， ， ，ljxLJzzLJ不难求得 011101 xxxxxmxL。21001010xxxx L在此三维空间中的矩阵表示为 表象xLz,5（1）012xL设 的本征值为 ，本征矢为 ，则本征方程为xLcba（2）0210cba此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值： ,012. （3）1,0将 代入（2） ，可得1， ， 。ba02cba0cb由此得 ，2c1 c归一化 ，取 。12b2b（4）12 1同理，将 分别代入（2） ，可求得,0； 。 1 2012316
