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1、2 矩阵在初等变换下的标准形矩阵也可以有初等变换定义 3 下面的三种变换叫做 矩阵的初等变换：(1) 矩阵的两行（列）互换位置；(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 ；c(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 倍， 是一个多项式.)()(和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第行的 倍加到第 行上得j)(i 行行列列 jijiPji1)(1)(. 仍用 表示由单位矩阵经过第 行第 行互换位置所得的初等矩阵，用),(jiPij表示用非零常数 乘单位矩阵第 行所得的初等矩阵.同样地，对一个cc的 矩阵 作一次初等变换就相当于在 的左边乘上相应 的初ns)(A)(As
2、等矩阵；对 作一次初等列变换就相当于 在的右边乘上相应的 的n初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有.)(,)(,)()(,(),( 1111 jiPjiciPijiPji由此得出初等变换具有可逆性：设 矩阵 用初等变换变成 ，这AB相当于对 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 就)(A )(变回 ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 可用初等变换变回 .)(BA定义 4 矩阵 称为与 等价，如果可以经过一系列初等变换将)()(化为 .)(A)(B等价是 矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：(!) 反身性：每一个 矩阵与它自身等价.(2) 对称性：若 与 等价，则 与
3、等价.)(AB)(A(3) 传递性：若 与 等价， 与 等价，则 与 等)(C)(C价.应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 与 等价的充要条件为有)(AB一系列初等矩阵 ，使tlQP,2121. (2)tlBA 21)()(这一节主要是证明任意一个 矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.引理 设 矩阵 的左上角元素 ，并且 中至少有一个元)( 0)(1a)(A素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 等价的矩阵 ，它的左上B角元素也不为零，但是次数比 的次数低.)(1定理 2 任意一个非零的 的 矩阵 都等价于下列形式的矩阵ns)(A,0)()(21 rdd其中 是首项系数为 1 的多项式，且),21)(,ridri.),2,(|(1ridii 这个矩阵称为 的标准形.)A例 用初等变换化 矩阵232211)( A为标准形.
