矩阵可逆的判别方法

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1、 矩阵可逆的若干判别方法学院：数学与数量经济学院 班级：数学与应用数学 1 班 姓名：黄新菊 学号：1250411025内容摘要：学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质，可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。并且还可以物理、经济等各种问题。有重要的理论和实践意义。所以，研究、学习矩阵

2、可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。关键词：矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。导言：高等代数已经学了差不多两个学期。自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。我在图书馆查了很长时间的资料，并且还

3、上网百度浏览了很多有关的网页。希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。正文矩阵可逆的若干判别方法首先介绍一些下面要用性质及定义。有关矩阵的逆的定义：定义 1： 级方阵 称为可逆的，如果有 n 级方阵 B，使得 AB=BA=E， nA这里 E 是级单位矩阵. 即称 A 可逆，B 为 A 的逆。 ( )1定义 2：设 矩阵中元素 的代数余子式，矩阵aAnnn.212112 ij 称为 的伴随矩阵。AAnnn.212112*定义 3：矩阵 是可逆的充分必要条件是 非退化，而。)0(*1d定义 4：数域 P 上的 nn 矩阵 称为非退化

4、的，如果 ；A0A否则称为退化的。定义 5：矩阵的三种初等行（列）变换： 互换某两行（列）的位置； 用非零的数乘某一行（列） ； 把某一行（列）的倍数加到另一行（列） 。有关矩阵的逆的性质:性质 1: ;A11性质 2: ;B性质 3: ;k11性质 4: ;A性质 5:矩阵 A 与它的伴随矩阵 具有相同的可逆性.即 A 可逆*1矩阵可逆的若干判别方法 定义判别法设对于 阶方阵 A,如果存在 n 阶方阵 B 满足条件 AB=E 且 BA=E,就称 A 可逆，并且称nB 为 A 的逆，记 B= 。1这种方法可以直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵是可逆的。此种方法大多适用于简单矩阵

5、和一些非具体矩阵的判断。eg： =1 10 1,求 1. 解：取矩阵 ，1 10 1由于 1 10 11 10 1=1 00 1， 1 10 11 10 1=1 00 1。即 1=1 10 1 矩阵行列式判别法矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 是方阵且 （非退化） 。|0annn.212112 .212112annneg：A= 2 2 31 1 01 2 1，判断 是否可逆。解：由于 则 A 可逆。|=| 2 2 31 1 01 2 1|=10. 秩判别法n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是矩阵 A 的秩为 n. (r(A)=n）.eg：设矩阵 A= ，判断矩阵可逆。762413解：由 知，

6、矩阵 A 为 3 阶矩阵，其秩也为 3. 30210则矩阵 A= 可逆。762413 伴随矩阵判别法矩阵 是可逆的充分必要条件是 非退化，而AA。)0(1*d证明：当 ，由 可知，A 可逆，且 。Ed*1 Ad*1 反过来，如果 A 可逆，那么有 使 ，两边取行列式，得1EA1. 因为 即 A 非退化。11E0即是求可逆矩阵的公式。)(*deg：A= 2 2 31 1 01 2 1，判断 是否可逆。求 1.解：由于 。|=| 2 2 31 1 01 2 1|=10.=1 4 31 5 31 6 4则，1=1= 1 4 31 5 31 6 4 初等变换判别法对矩阵 A 施行初等行（列）变换得到的

7、矩阵 B，则 B 可逆。可推知 A 可逆。因为初等行列变换是等价变换，即不会改变 A 的秩，所以 A 和 B 秩相同，故 A 与 B 有相同的可逆性。从而 B 可逆可推知 A 可逆。求矩阵的逆矩阵的方法 ( ) 初等行 变换 (1)() 初等列 变换 (1) 初等矩阵判别法是可逆的充分必要条件是 A 可以表示成一些初等矩阵的乘积：AQs.321根据举例设 ，求 。01241解： 213104230411230014 2080141021420110于是 21341A上面给出用初等行变换的方法求出矩阵的逆矩阵。当然，同样可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵来求出矩阵的逆矩阵。 线性方程组判别法

8、齐次线性方程组 即 AX=0（A 为该方程.0;0.2122121xaxannn n组的系数矩阵）只有零解。即 A 可逆。 非齐次线性方程组 即 AX=0（A 为该方.;.21 22212 11bxaxannnn n程组的系数矩阵）有唯一解。即 A 可逆。证明：， 齐次线性方程组的系数矩阵为 ，用 分别annn.212112 n.,21代表矩阵各列， 。则齐次线性方程组可以写)(21,.jjjaTj 成向量形式 且只有零解，则 01 nxx 0.21xn从而 线性无关，且 线性无关的充分必要条件是 A 可逆。n.,21 n.,21 非齐次线性方程组的系数矩阵为 ，用aAnnn.212112分别

9、代表矩阵各列， 。则齐次n.,21 )1(,jjjTj 线性方程组可以写成向量形式 由 知，nxx.21 0A为 的一组基，则每一 都可以写成n.,21 n.21的线性组合的形式，则 由 唯一确定。即方程组有唯n,.21一解。反过来，若方程组有唯一解，则必然有 0A则矩阵 A 可逆。 特征值判别法nn 矩阵 A 可逆，即矩阵 A 的特征值全部不为零。证明:充分性：因为所有特征值全不为零，而所以特征值之积等于 ，故 ，从而 A 可A0逆。必要性:假设 nn 的矩阵 A 的特征多项式为，则，根据根与系数的关系，可知所有特征值之积等于 ，又由 A 可逆，知 ，故所有特征值全不为零。0eg:矩阵 A=

10、 ，用特征值的方法判断矩阵是否可逆。0 2 12 0 31 3 0解：特征方程式|=| 2 12 31 3 |=(1)2（ +2）则，由于 时，特征值 .|=0 1=1， 2=1， 3=2那么没有特征值为 0，则矩阵可逆。 多项式判别法nn 矩阵 A 可逆，即有特征多项式 f（x） ，满足 f（A）=0，且常数项不为零。 标准形判别法n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是矩阵 A 的标准形是 .()证明：任何一个矩阵都可经过 行或列变换化成标准的对角阵。那么，如果 n 阶方阵 A初 等可逆，那么 A 的矩阵的秩只能为 n，即标准形一定为单位矩阵。反过来，如果矩阵的标准形是 ，即 阶单位矩阵，则矩

11、阵 A 的秩为 ，故 A 可逆。()结语判断矩阵的可逆性，一定不止上上面所述的十种，而根据这些方法，我们已经可以解决一些常见有关矩阵和矩阵的逆的问题，对于学习高等代数有关矩阵的部分有着很大的作用。希望老师在课堂授课时多提及这类问题的研究思想方向，帮助我们更好的理解矩阵和矩阵的逆。并且，应该好好学习高等代数，不管以后要不要考研究生，高等代数作为一门基础数学学科，是高等学校数学类本科生的重要必修课程，特别是数学专业。学好高等代数为以后的学习一定大有裨益。所以，要常思考，常动手计算。参考文献 王萼芳,石生明修订。高等代数M. ( 第三版).北京: 高等教育出版社。 李星，李宏伟修订。高等代数学习指导与习题解析。华中科技大学出版社。 丘维声修订。高等代数 。中国水利水电出版社。 阳庆节修订。高等代数简明教程。中国人民大学出版社。 张禾瑞、郝炳修订。 高等代数习题指导书 （第三版）学习指导。