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1、矩阵指数函数的性质与计算PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION指导教师姓名： 申请学位级别：学士论文提交日期：2 014 年 6 月 8 日摘 要矩阵函数是矩阵理论的重要组成部分，而矩阵函数中的一个最重要的函数就是矩阵指数函数，它广泛地应用于自控理论和微分方程。本文深入浅出地介绍了矩阵指数函数，并进一步探讨如何借助矩阵指数函数分析相关问题。文章以齐次线性微分方程组求解基解矩阵为出发点引出矩阵指数函数的概念，证明求解矩阵指数函数就是求解齐次线性微分方程组的基解矩阵，然后得到矩阵指数函数的一些基本性质。本文的重点是讨论矩阵
2、指数函数的五种计算方法。其中，前三种方法广泛适用于各种矩阵，虽然计算过程复杂程度不同，但都需要计算矩阵特征值，如遇高阶矩阵或复特征值，则特征值的计算会变得异常麻烦。后两种方法较特殊，虽然缺乏普适性，只能计算特殊矩阵的指数函数，但却避过了特征值计算，简化了运算过程。最后，本文具体阐述矩阵指数函数在微分方程求解中的应用。关键词：矩阵指数函数； Jordon 标准形； 微分方程组ABSTRACTMatrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a spe
3、cial and important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function
4、analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous
5、linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is differe
6、nt, in complexity, all of them need to compute the matrix eigenvalues. The calculation on high-order matrix or complex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operati
7、on process instead of calculating eigenvalues, but their shortcomings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality.Key words: Matrix exponential function; Jordon normal fo
8、rm; Differential equations目 录1 前言 .11.1 矩阵（Matrix ）的发展与历史 .11.2 本文的主要内容 .22 预备知识 .33 矩阵指数函数的性质 .73.1 矩阵指数 .73.1.1 关于级数 的收敛性 .70!kAt3.1.2 矩阵指数 e的性质 .83.1.3 常系数线性微分方程基解矩阵 .103.2 矩阵指数函数的性质 .103.2.1 矩阵函数 .103.2.2 矩阵指数函数的性质 .114 矩阵指数函数的计算方法 .174.1 矩阵指数函数的一般计算方法 .174.1.1 HamiltonCayley 求解法 .174.1.2 微分方程系数
9、求解法 .214.1.3 Jordon 块求解法 .234.2 矩阵指数函数的特殊计算方法 .264.2.1 矩阵指数函数展开法 .274.2.2 Laplace 变换法 .274.3 矩阵指数函数方法比较 .285 矩阵指数函数在微分方程中的应用 .306 总结 .33参考文献 .34致谢 .35天津科技大学 2014 届本科生毕业论文01 前言1.1 矩阵（Matrix ）的发展与历史在数学中，矩阵（Matrix）是很常用的工具，虽然 Matrix 亦有“子宫，或者控制中心的母体，孕育生命的地方”此类含义，然而矩阵却与生物没有太大的关联，矩阵（Matrix）是指在二维空间里的数据纵横分布形
10、成的表格，最先起源于方程组的各项系数和常数所组成的方阵。矩阵的系统概念首先被英国的著名数学家凯利提出。实际上，虽然矩阵（Matrix）这个概念诞生于 19 世纪，矩阵本身却有着非常古老的历史，早在很久以前就已发现幻方以及古老的拉丁方阵等关于矩阵方面相关研究记录。在我们平时遇到的相关问题中，在解决线性方程方面问题的时候都会用到矩阵，在古代中国，也有很多类似于矩阵方面研究载，在魏晋的刘徽所编著的数学巨著九章算术中，就已经提到了怎样求解线性方程组增广矩阵。书理用类似分离系数法的方法来表示线性方程组，在其一行乘以一个非零实数、把其中一行中和另一行相减等运算技巧，类似现在矩阵变换里面的初等变换。然而由于当时世界各地并没有系统的矩阵研究，也没有相关概念，所以仅仅以线性方程内的表示方法为标准和相关的处理方式记录在书中。在正常的逻辑中，矩阵系统这个概念应该在行列式之前被提出，但是在实际的数学历史中却正好相反。在对行列式研究的体系
