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1、1矩阵论复习题第一部分 证明题1 求 Frobenius 矩阵 02101ncA 的特征多项式 和最小多项式。()fI答案： （1） ，见修订版 ch0 例 2.5110nncc（2） 最小多项式就是其特征多项式。2 设 ，求证 的任一根 满足110()nnfcc ()fmiax,1ax)iic提示：用上题和盖氏圆盘定理3 设矩阵 为 Hermite 矩阵，满足()nijAaC1(,2)niijjan证明 正定。提示：由圆盘定理证明 的特征值全大于零。A4 证明矩阵2nnnnn2)1()(143643221213212 A（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。提示：利用圆盘定理。见修订
2、版 ch4 例题 4.65 设 是非奇异矩阵，证明：存在多项式 ，使得 。A()g1()Ag提示：用 Hamilton-Cayley 定理。6 设 ，证明 与 有相同的非零特征值。,mnnmCBAB方法一：证明 （设 ）见修订版 ch0 定理 2.9nIImn方法二：直接用特征值的定义证明。，要说明()(0,)()()AB07 证明 Sylvester 不等式rank()r()rank()min(rak),()npBAA提示：见修订版 ch0 定理 3.12。注：还可用其他方法。8 证明： rank()1(0,)TnAC的最小多项式是 ，讨论 何时可对角化。2tr)mA提示： （1）满秩分解，
3、 （2）可对角化 最小多项式没有重根9 设初等矩阵3，THIuv0,nRuv求 的 Jordan 标准形。H答案：当 时，0Tvu1THJvu当 时，0Tvu11HJ注（1） 12det TnHvu（2）Householder 矩阵 的行列式为(1)Idet1H(3) 可逆 ， ，Tvu1TvTu10 证明 分解的“唯一性” 。QR（1）设 ，则 的 QR 分解 几乎是唯一的。即如果 有两个 QRnmAmnnAQRA分解式 和 ，则 ，其中 。也就是，分解因子除,Ddiag(1)相差一个对角元为 的对角矩阵外是唯一的。1（2）设 为非奇异矩阵，当限制 的 分解式中 的对角元为正数时，则分解是唯
4、一的。11 设 是可逆矩阵，如果矩阵 满足 ，则 是可逆矩阵。AB1AB412 设 是 阶实对称正定矩阵，证明()ijAan12nAa提示：方法一： 再递推11 110n nTTnAaa 方法二： 用 Cholesky 分解再递推211110TTTlallALL1a13 设 为 阶的 Hermite 矩阵，其特征佂 ，证明对任意非零向量 有n12n nxCHxA提示：如果 是实对称正定矩阵，这是线性代数常见题。证法是一样的。A14 ，证明：mnC2, ,axmaxij iji iAn提示：由 2范数的定义证明。见修订版 ch4 最后15 设 是非奇异矩阵， 是方程组 的一个近似解， 是其精确解
5、，记残向量Axbxx，则rbxcond()rAx这里所用的矩阵范数与向量范数是相容的。提示：见修订版 ch4 最后。16 证明 Schur 不等式：设 是矩阵 的 个特征值，则,nCAn,21 An211iijFija其中等号成立的充分必要条件是 正规矩阵。提示：书上的定理。517 设 的 SVD 为mnrARrTOAUV验证 1Tr18 设 的 SVD 由上题给出， 的列向量记为 ， 的列向量记为nmrCAU(1,2)ium V，则(1,2)iv（1） nrn vvx,span0N( 21（2） muAy)R19 设 ，证明 ，从而再证明mnrArak()nIr(),nnIyR是 的通解。0
6、x提示：由 的 SVD 表达式证明20 证明 是极小化问题 唯一的最小 F 范数解。AFmnRXIAmni提示 记 ，则1212,XxIe 221mn mFxeAxe21 设 均为 阶实对称矩阵，且 是正定的，试证明，存在非奇异矩阵 使BA, BP且IPT),(21nTdiagA其中 为 相对于 的广义特征值（即 ）ni,21A niii RxB0提示：这是众所周知的同时（合同）对角化问题，一般参考书都有，网上应该能找到。22 证明任何 阶实方阵必有下面极因子分解612ASQ其中 是正交矩阵， 都是半正定矩阵Q12,S提示：用 SVD 证。23 对于向量 ，如果 ，令 Householder
7、变换 为,()nR2H（ ）THI2则 。H提示：直接验证。24 证明准对角矩阵 （ 为方阵）的最小多项式等于其诸对角块的最小多1diag(,)sA iA项式的最小公倍式。提示：见修订版 ch3 定理 5.225 证明 AttAtdee第二部分 计算题1、 设 413062A（1）求 的初等因子组；（2）求 的 标准形 ；JordanJ（3）求可逆矩阵 满足PA1（4）计算 ，Atesi()t答案：见修订版 ch3 例 4.9。2613Atttett72、 设微分方程组， ，0d()xAt502613801x（1）求 的最小多项式 ；AAm（2）求 te（3）求该方程组的解。答案：（1） ；（
8、2） ；（3）)1()A 1408362Att tet12()96ttxe3、讨论矩阵级数 的收敛性，若收敛，求其和kk1634答案：书上例题4、(1)设 为常数矩阵， Tnxx).,(21是向量变量，且 ，求 。()ijnAa AxfT)(df(2)设 是给定的常向量， 是矩阵变量，求 和1234(,)T 42)(ijXT()Xd()X答案：书上例题5、对下面矛盾方程组 bAx1 2 4321xx（1）求 的满秩分解 ；AFG8（2）由满秩分解计算 ；A（3）求该方程组的最小 2范数最小二乘解 （或求最小二乘通解） 。LSx答案：（1） ， （不唯一）10F10G（2） ；（3） ；54270A64215bAxLS6、求 的 LU 分解。361247580A答案：修订版 ch6 的例题7、分别用 Gram-Schmidt 正交化方法和 Householder 方法求矩阵 的 QR 分解A021A答案：修订版 ch6 例 2.28、 已知 的 SVDA012010T求 。A
