《矩阵理论第一二章 典型例题(key)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵理论第一二章 典型例题(key)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、矩阵理论第一二章 典型例题一、 判断题 1 , An为 阶 实 对 称 矩 阵 ， nRx对 中 的 列 向 量 ， T|xA定 义 |x则 为 向 量( )的 范 数 .提示：因为非负性不成立，故结论错误。2 设 是矩阵 A 的特征值，则 . An为 阶 Hermit矩 阵 ， 12,n 21|nmiA( )提示： 为 阶 rit矩 阵 2 212|(,)|HmnmUdiagU.212|(,)|ndiag 1ni3. 如果 ，且 ， , 则 . ( )mnAC0(HA2|An提示： 为幂等矩阵 的特征值为 0 或 1。又 , 0A秩 )=秩 11 是 的特征值02|max()Himax()i
2、=14. 若设 ，则 . ( )nxR212|xn提示： ， 21221|x 1|niix1|niix21/(|)niix2|n5. 设 的奇异值为 ，则 . ( )mnAR12n 221|niA6. 设 ，且有某种算子范数 ，使得 ，则 ,C|1|()|EA其中 E 为 n 阶单位矩阵. ( )提示： 111()()()EAEA11()()EAEA1| |1|1|()|7. 设 (其中，E 为 n 阶单位矩阵， )，则 2HAu 2|1nuC且 2|mAn( )提示： ()(2)HHE2HHAEu 4uuE2|()mtrAn8. 设 为正规矩阵，则矩阵的谱半径 . ( )nC2()|rA9.
3、设 可逆， ，若对算子范数有 ，则 可逆. nB1|BA( )10. 设 A 为 矩阵，P 为 m 阶酉矩阵, 则 PA 与 A 有相同的奇异值. ( )11. 设 ，且 A 的所有列和都相等，则 . ( )nC()r12. 如果 ，则 是向量范数. ( )12(,) TnxxC1|inx13. 设 则矩阵范数 与向量的 1-范数相容. ( )nm14、设 是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有 , 其中 为单位ACA1II矩阵. ( )二、 设 ， ，证明:mn,|ax|ijijn(1) 为矩阵范数 ; (2) 为与向量 2-范数相容.|A|A三、 试证：如果 A 为 n 阶正规矩阵，且
4、和 ，其中， ，那么 x 与xAyy 正交.证： A 为 n 阶正规矩阵 HU AxHUxxU x1(,)Tn设 ,0ii时 yHyy y ,0ii时()xy0,HUHxy,xy四、 (1) 设 为严格对角占优矩阵， ，其中(1)nAC12(,)nDdiaga为 A 的对角元，E 为 n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数 使得(1,2)ia |.rED(2) 设 , 为任意给定的正数， 为矩阵的谱半径。证明：至少存在一nC()rA个矩阵范数 使得 |A|().r五设矩阵 U 是酉矩阵, , 证明: 的所有特征值 满足不等式12diag(,)n U. |maxi ii i六. 设 是 上的相容的矩
5、阵范数, 矩阵 都是 n 阶可逆矩阵, 且 及|anC ,BC1|aB都小于或等于 1, 证明: 对任意矩阵1| nA|ba定义了 上的一个相容的矩阵范数. nC七设 是可逆矩阵, 是 的一个特征值, 对于任意的算子范数 , 证明 .AA|1|A八. 设 是 Hermite 矩阵 ，且 的特征值 ，证明矩阵()HA12n的 Rayleigh 商恒等于 .1九已知 中的两种矩阵算子范数 与 , 对于任意矩阵 , 验nC | a|b nAC证|abA是 中的相容矩阵范数. nC十设矩阵 的非零奇异值为 ( ), 求证mnr12,r 01|().rFiA十一. 设矩阵 可逆, 矩阵范数 是 上的向量
6、范数 诱导出的算子范数, 令nAC|nC|v, 证明 : ()Lx. |11|max()|invvyLA证明: 根据算子范数的定义, 有 , |1()|x,1100 |1|10|maxa|mini()|iyA yyyAAL 结论成立.十二. 设矩阵 为单纯矩阵, 证明: 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定nC矩阵 , 使得 为 Hermite 矩阵.nHA证明: (充分性) , , .(0)x,(0,)HHHxxRxAR(必要性) 为单纯矩阵 , 所以 ,11, ) niPDdiag令 , 则 为 Hermite 矩阵.HPHHA十三. (1) 设矩阵 , 则()ijna,|max|ijijAn是矩阵范数.(2) 设 , 矩阵 ，求 .,nxypqCHxpyq,y,pq其 中 2|mA
