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1、宁夏大学硕士学位论文两类三角插值问题的研究姓名：金钰申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：侯象乾20060301宁夏大学硕士学位论文中文摘要摘要本学位论文主要讨论修正的三角插值多项式和一类反周期函数的插值问题第二章为了改善Lagrange插值多项式的收敛性，我们利用一点修正和两点修正构造出两类不同的三角多项式算子Wn(f；r，2)和日，(，；r，z)，证明了这两类算子分别对每个以2为周期的连续的偶函数和奇函数，p)都能在全实轴上一致收敛，并且讨论了其逼近度第三章通过用积分多项式算予P(，)代替微分多项式算子P(D)。讨论了以，r为周期的反周期函数插值及反周期函数的2一周期(0，Pff)插值
2、，得到了解存在的条件。并给出了对应条件下解的显式表达式关键词：三角插值， 修正， 逼近， 偶函数， 奇函数，积分算子(0，P(功，反周期函数，高阶差分一II塞圣查耋璧圭兰堡篓兰! i 茎圣塑茎AbstractThe this mainly discusses the interpolation problem for modified trigonometric interpolation polynchmial andone kindoftrigonometricinterpolationofanti-periodicfunctionInthe secondchapter,inorderto
3、improve the convergence order ofLagrange interpolation polynomial，one point and two point modifiedmethod are used to onnst】uct which two kinds of trigonometric interpolation operator H，n(，；r$)andk(，；r，2)，proved that they convergence uniformly on the whole real axis for continuous cven and oddfunctio
4、nwith 2periodicanddiscussedtheapproximationorderInthethirdchapter,byusingtheintegerpolynomial operator P(，)replacing the differential polynomial operator P(D)，the(0，P(j)lacunaryanti-periodic trigonometric interpolation and the 2-periodic(0，P(聊lacunarantiperiodic trigonomctric interpolation ate smdic
5、dthe condition of the solution a”obtained,and the explicit expression is gotin the corresponding conditionKey Words：trigonometric interpolation，approximation,even function，odd function,trigonometric(0，P(聊interpolation，anti-periodic function,higher-orderdifferenceIII独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取
6、得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名： 时间：抽0年9玛oH关于学位论文使用授权的说明本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的论文在解密后应遵守此规定)研究生签名：垒筵
7、导师签名：垩差篁丝时间：j，碑争月o日时间： D年中月tO日宁夏大学硕士学位论文第章前言第一章前言函数逼近论的发展已超过了百年的时间，它已经成为现代数学的重要分支自1859年Chebyshev提出最佳逼近的特征定理和1885年Weierstrass II，a建立了关于连续函数可以用多项式逼近的定理以来，函数逼近论作为-fl独立的学科开始发展上世纪在Jackson，SNBemstein以及前苏联逼近论学派的工作者I“1的一系列深刻工作推动了逼近论的蓬勃发展，使逼近论的思想和方法渗透了几乎所有学科1983年沈燮昌在文献(7】对函数逼近论的发展史做了一个较为详尽的总结和概括，其中指出函数逼近论不仅研
8、究实函数域上的多项式逼近问题，而且还研究其他函数诸如有理函数、指数函数、无理函数、逐段多项式的最佳逼近问题以及复数域上各种函数系的逼近和最佳逼近问题前人所作的工作明确了函数逼近论的研究目标就是用简单可计算函数对一般函数的逼近。并进一步考虑这种逼近程度和如何刻画逼近函数本身的特性函数的插值逼近研究的是如何构造一个函数(如代数多项式、三角多项式、指数型整函数等)使之在节点处与被插函数(甚至包括其导函数)的值一致并且研究这种函数对被插值函数的各种逼近性质插值问题是计算数学中的一个基本问题，同时它也是一个十分经典的数学问题插值概念最早是在公元544610年间由我国数学家刘焯首先提出的，1983年函数逼
9、近论专家沈燮昌在文献8，9】对多项式插值给出了综述，而著名数学家JSzabados和E Vertesi的专著Interpolation ofFunctions(world Scientific。1990)对插值理论近40年来的进展作了总结近年来我国著名学者谢庭藩，周颂平，刘永平，孙燮华，何甲兴等人对三角插值逼近做出了许多创造性的工作本学位论文第二章主要构造并研究了两类三角插值多项式，使它们分别对每个以2丌为周期的连续的偶函数或奇函数，(z)都能在全实轴上一致收敛，且达到最佳收敛阶上世纪60年代以来，ASharma，AKVarmaJSzabados等著名数学家对缺项插值包括三角多项式和整函数插值
10、进行了大量的研究，给出了一系列插值算子正则性的充要条件，例如1101 6】，我国著名学者刘永平。孙燮华，王梅英等人也在近年做出一系列出色的工作，如【l蛐4】我的学位论文在第三章受文献【37，38】的启发，通过用积分多项式算予P(J)代替微分多项式算子P(O)，研究了反周期函数三角插值问题宁夏大学硕士学位论文第二章修正的三角插值多项式第二章修正的三角插值多项式随着现代科学技术发展的需要，函数逼近理论的研究已经成为逼近论和计算数学的研究热点之一用代数和三角多项式来逼近函数是数值逼近中十分有效的工具，而Lagrange插值多项式在数值逼近中占有更为重要位置，并且在自然科学和工程技术中的应用也是十分广
11、泛的，但是Lagrange插值多项式并非对所有的连续函数都一致收敛由于其在实际应用中的重要性，所以如何改善其收敛性就成了研究的主要内容，由文献【25可以知道，前苏联数学家SNBernstein用三种不同的方法改善其收敛性，具体方法如下：(1)适当的提高Lagrange插值多项式的次数，构造出一致收敛的插值多项式(2)加权平均Lagrange插值基函数，构造出一致收敛的插值多项式(3)修正些Lagrge插值条件，构造出一致收敛的插值多项式SNBemstein于1930年在哈尔科夫召开的4全苏数学代表大会”上提出了著名的SNBemstein问题：对任意的连续函数，(z)和(1A2)，能否构造出一个
12、次数M(M)的插值多项式，在给定的N个点处等于，(z)，且当noo函数一致收敛到，缸)?为解决这个问题，SNBemstein 1261给出了上述第三种方法构造了一个多项式算子Q。(，；z)该算子对每个连续函数f(x)都一致收敛1993年朱来义在文献【27研究了这个算子的收敛阶，指出Q。(，；$)对于连续函数f(x)的收敛阶没有达到最佳，而且容易证明Q。(，；)的收敛阶不会超过三为了迸一步改善其结果，许多学者傲了大量的工作(如文献28，29J)，使该问题得到了较好的解决1996年何甲兴用不同的方法构造了一个三角插值多项式很好的解决了sNBemstein问题，其后李风军f3l】也采用类似的方法构造
13、了三角插值多项式，并且讨论了其逼近性质本章在文献【32的启发下采用一点修正和两点修正的方法构造出了两类不同的三角多项式算子，使其分别对每个以27r为周期的连续的偶函数和奇函数，(z)都能在全实轴上一致收敛，并且进一步研究了它们的逼近度21一点修正的偶三角插值多项式211基本溉念和主要定理令设f(x)ck且为偶函数，取结点组$kk：2一丝， k：20，0，1一Z，2，川川nck(z)=(c08zCOSX0)(C08XCOSzk一1)(coszcoszk+1)(COSXcoszn)I一丽sm而xa鄙mnz， k=0(一1)1而si而nx s丽inn葡z，=l，2一1， (21)【(一1)”1碗Sl
14、。高xs再in而nz， k=n一2一宁夏大学硕士学位论文第二章修正的三角插值多项式于是有nck()=，(zk)“(z) (22)七=0这样就得到一个不高于n阶的偶三角插值多项式且满足插值条件c_(以)=，(戤)， i=1，2，n根Faber定理知道：c二(z)并非对每个以2，r为周期的偶函数f(x)都能在全实轴上一致收敛为改善它的收敛性，本文用SNBernstein第三种方法，即放弃某些插值条件，对式(22)进行修正，得到一点修正的偶三角插值多项式-(，；q z)(r为自然数)1(，r功具体构造如下：给定偶数21(f为自然数)，将结点组XO2l按21分成若干组不妨设分为g组。即有n=21q+，
15、0口S 2Z若能被2整除且=2Zt，令如H=f(x2z,)+翰t，t=0，1，2，口其中 ：击墨(一1)pZX；f(B2t ZX；f(z2t(t一1)+p)。若k不能被21整除时，则令 =击(一1)p 一1)+，)。若整除时，则令口=1Ak=，(z)，于是(，；r1 z)可以表示为nWn(f；r,)=Akc($)kffiO本币主璺结果如F：定理211 对任意给定的以2为周期的连续偶函数，()，极限等式。l。iraooWn(f；r,砷=，(z)在全实轴上一致成立定理212设f(x)嘿。且为偶函数，0sr一1，则有叫觚垆m肛Df砉町，孙其中“0”与，n，f，u)无关，u(，0)，为函数，o()的连续模定理213 设f(x)q。且为偶函数，则有IW。(fIr垆他)I=。(砉蚶0)，拟1+k(瑚)；其中“0”与马n，f0)无关，h($)为Lebesgue函数，即有A。(。)=c0)一3一圭塞奎耋堡圭兰堡篁奎量三耋丝里墼三叁堡堡茎堡圣212引理引理以下估计式成立。堇n，万1毛(r；)i+1c卅嘶，卸砉嘉妄(沙，i+lck+i(x圳州；lc2“(z)+c盈(t1)+却扛)I=D(1)；q 1Ic2“(。)+c2l(t1)+劫一l)I=D(1)t=O 10=1(25)(26)(27)(28)证明：由于式(25)(26)，(27)，(2
