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1、辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 1.1.1 页第一章 矩阵引言矩阵是高等代数的主要研究对象之一，在数学科学、自然科学、工程技术仍至社会科学中都有着广泛的应用本章从解线性方程组的消元法入手，阐述矩阵的运算，可逆矩阵，初等矩阵，以及矩阵的分块技巧1 消 元 法教 学 目 的 通过教学，使学生基本掌握解线性方程组的 Gauss 消元法，理解矩阵在解线性方程组等实践中的应用教 学 内 容在中 学 数 学 里 ， 同 学 们 已 经 学 习 过 二 元 、 三 元 一 次 方 程 组 的 加 减消 元 法 ， 考 虑 其 一 般 化 ， 本 节 介 绍 解 n 元 线 性 方 程 组 的
2、(Gauss)消 元法 例引例 1 求下列线性方程组的解： 62454131x解 用消元法求解，并采用分离系数法在右边写出求解过程中所相应的矩形数表(矩阵)：6245431x 64125304 得 )(,)2(541321x 51304对换、的位置得241321x 214032对换、的位置得辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 1.1.2 页2451321x 2140532(4)+得183521x 183052得3651321x 610532最后，将 代入，得 ；再将 代入32,23x得 因此，这个方程组的解为 91x ,921x将例 1 的做法一般化，我们先来阐述 线性方程组的概念n
3、 个未知量 的线性方程组的一般形式为nx,21(1)mnmnbxaxa 21 22121这里 属于某个数域 F，即 ,i = 1，2，m，j = ijaij1，2，n，叫做方程组(1)的系数； 1，2，3 ，m ，叫iFb,做(1)的常数项因此，(1) 叫做数域 F 上的线性方程组由(1)得到矩形数表， ，mnmnaaA 212112 mnmnbaaA 212112其中 A 叫做(1)的系数矩阵， 叫做(1)的增广矩阵若用 F 中的一组数 依次代替(1)中的未知量 0201,x ,21x，使(1)的每个方程都变成恒等式，则称这一组数为方程组(1) 的nx,一个解若(1) 有一个解，则称它是一个
4、相容方程组；否则，称之为 不相容方程组辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 1.1.3 页由例 1 可见，为了求得线性方程组(1)的解，或判别它不相容，往往要对(1)作如下三种变换：1)倍法变换 用一个非零的数 乘第 i 个方程；Fk2)消法变换 用一个数 乘第 i 个方程后加到第 j 个方程；c3)互换变换 交换第 i 个、第 j 个方程的位置这三种变换叫做线性方程组的初等变换显然，若对(1)作一次初等变换将它变为， (2) 2 1 2 2 2 1121mnmnbxaxa 则(1)的任一个解 是(2)的一个解由于初等变换是可逆0201,nx的例如，若用消法变换 2)将 (1)变为(2
5、)；可用数 乘(2)的第 iFc)(个方程后加到第 j 个方程，则 (2)变为(1)倍法变换、互换变换情形类似可见于是，(2)的任一个解 ，也是(1) 的解因此，0201,ny(1)与(2)有相同的解集，即(1)与(2)同解这样，我们得到定理 1.1.1 若线性方程组(1)经过有限次初等变换化为线性方程组(2)，则(1)与(2) 有相同的解集，即它们同解 3 化为阶梯形由定理 1.1.1，在线性方程组(1)中可不妨假设 .于是，用01a乘(1)的第一个方程，并分别用( )乘第一个方程倍法变换后得1a 1i到的方程，再加到第 i 个方程，则得， (3) 2 2 11mnkmnbxax 其中 k1
6、同上，可不妨设 ，并用类似的程序可将(3)化为02a， (4) mnlmlnkk bxax 3321 1 1其中 1k l辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 1.1.4 页只要可能 ， 我 们 就 继 续 使 用 上 述 程 序 但 是 ， 由 于 未 知 量 个 数 n的 限 制 这 样 的 程 序 是 有 限 的 于 是 ， 继 续 使 用 上 述 程 序 ， 最 后 得 到， (5)msnsrsrll nkk dxcxcdxxcc011333 2212 11 其中 1kl r n，且可能出现 r = m 的情形形如(5)所示的线性方程组叫做阶梯形方程组，其增广矩阵是一个阶梯形矩
7、阵因此，我们得到定理 1.1.2 数域 F 上的每一个线性方程组都可以通过初等变换化为与它同解的阶梯形线性方程组 不难看出这样的化简程序只须对其增广矩阵作相应的行的初等变换4 线 性 方 程 组 解 的 讨 论现在，线性方程组(1)与(5) 同解，借助于(5) 我们来分析(1) 的解的情况：1)若 不全为零，则 (1)无解msdd,212)若 ，且 r = n，1，k，l，r 是连续0的自然数序列，则(1)有唯一解3)若 ，且 rn，或 1，k，l,，r 不是连21ss续的自然数序列，则(1)有无穷多个解这时 , 2x可以取数域 F 上的任意数，称它们,1lkxx ,1r x,为自由未知量因此
8、，在这里说解方程组，首先是判定方程组是否有解；若有解，进而求出它的所有解(称之为 一般解) 例 2 解线性方程组725140563413xx解 对这个方程组的增广矩阵进行行的初等变换：辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 1.1.5 页7243101670527125463506因此，这个线性方程组无解例 3 若例 2 中第 3 个方程的常数项 “7”用“2”更换，求更换后线性方程组的解解 这个方程组的增广矩阵 001267531215420561于是，更换后的方程组有无穷多个解，取 为自由未知量，则得x34,方程组的解为,其中 a,bF.abaxbax 21 ,71267632 矩阵
9、的运算2.1 矩阵的实例和记号在1 中，我 们 已 感 受 到 矩 阵 在 线 性 方 程 组 求 解 时 的 用 处 ， 在 许多 实 际 问 题 的 数 学 描 述 时 ， 也 要 用 到 矩 阵 ， 这 里 介 绍 几 个 简 单 的 例 子 .例 1(通路矩阵) a 省两个城市 ， 和 b 省三个城市 ， ，1a21b2的交通联结情况如图 11 所示，每条线上的数字表示联结这两城3b市的不同通路总数由该图提供的通路信息，可用如下矩阵 C 表示(称之为通路矩阵)，以便存贮、计算与利用这些信息这里通路矩阵图 11的行表示 a 省的城市，列表示 b 省的城市，而 表示 与 间的通ijciaj
10、b路数工厂中常用管道联结各种设备，也可用矩阵来表明各设备间的连b1a1a1 b2b3413 22辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 1.1.6 页通情况例 2(价格矩阵) 四种食品在三家商店中，单位量的售价( 以某货币单位计) 可用以下矩阵给出： 32143219587SF这里的行表示商店，而列为食品，例如第 2 列就是第 2 种食品，其 3个分量表示该食品在 3 家商店中的 3 个售价涉及到两个集合(上面分别是 a 省城市与 b 省城市，食品与商店) ，且其元素间由某数(上面分别是通路数目，价格 )将它们联系，常会出现这样的矩阵例 3(原子矩阵) 在复杂化学反应系统中，涉及到众多的
11、化学物为了定量地研究反应、平衡等问题，可引进表示这种系统的原子矩阵例如在合成氨生产的甲烷与水蒸气生成合成气的阶段，系统内除一些惰性气体外，还存在以下 7 种化学物： ， ， ，4CHO2， ， ， 这时可写出原子矩阵：CO262HC62240101OCO例 4(赢得矩阵) 一个称为对策论或竞赛论的数学分支，是研究社会现象的一个应用数学分支我国古代“齐王赛马”的故事，就是一个对策问题，故事说战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下 3 个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马 3 次，每次比赛的败者付给胜者一百金已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜
12、齐王中、下等级的马齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列 6 种策略（方案）之一：（上，中，下） ， （中，上，下） ， （下，中，上） ，（上，下，中） ， （中，下，上） ， （下，上，中） 若 将 这 6 种 策 略 依 次 从 1 到 6 编 号 ， 则 可 写 出 齐 王 的 赢 得 矩 阵田 忌 策 略辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 1.1.7 页P3113例如，这里 ，意即齐王采用策略 3，即以下、中、上顺32p序出马，而田忌采用策略 2，即以中、上、下顺序出马，则比赛结束时齐王的净赢得数为100 金综上，一般地，设 F 是一个数域，由 F 上的 mn 个数组成
13、的 m 行、n 列矩形元素表(1)mnmnaaA 212112叫做 F 上的一个 mn 矩阵，其中 ，Fiji=1，2，m，j=1 ，2，n，叫做 A 的元素；i 是行下标 ，j 是列下标，因而也称 是 A 的第 i 行第 j 列的元素，简称为 A 的(i，j)元ija素将(1)简记为 A= 令mnij)(2) ,)(|FaFijmnij它是 F 上的所有 mn 矩阵的集合当 m = n 时，称(1)为 n 阶矩阵( 方阵)；F 上的所有 n 阶矩阵的集合又记作 (M在(1)中，若 m=1，则 A 为 1n 矩阵，有时称之为 n 维行向量；若 n=1，则 A 为 m1 矩阵，有时称之为 m 维列向量行( 列) 向量中的元素叫做它们的分量课外作业：P25：1、1)、2)、3)；3齐王策略
