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1、 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )1摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )2Abstract： Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of mat
2、rix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )3目 录1 前言 42 矩
3、阵的特征值和特征向量的求法42.1 矩阵的初等变换法 42.2 矩阵的行列互逆变换法 63 矩阵特征值的一些性质及应用73.1 矩阵之间的关系73.1.1 矩阵的相似73.1.2 矩阵的合同73.2 逆矩阵的求解83.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件83.4 矩阵的求解93.5 矩阵特征值的简单应用10结论 11参考文献12致谢 13 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )41 前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题
4、,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2 特征值和特征向量的求解方法求 阶矩阵 A的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵 A的特征多项式 n的全部特征根,然后对每个特征根 求解齐次线性方程组Ef ni,21的一个基础解系,即为 A的属于特征根 的线性无关的特征向量.现再此基0Xi i础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1 矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理 1设齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩数 , 0mnAXAnr0rEPAQ的非奇异矩阵 的后 列便构成线性方程组的一个基础解系. nQr在运用传统方法求解矩阵 的特征值时,我们求
5、 的全部特征根时是通Ef过将矩阵 经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它AE变换成下三角矩阵 .由定理 1 知,当矩阵 经过一系列的初等列变换变换成GEA时,求 得的 就是矩阵 的特征值 ,然后将 代入 , 中的 0Q0iiQGi列所对应的列就是所对应 的特征向量 . i iQ例 1 已知矩阵 ,求矩阵 的特征值和特征向量.2103AA 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )5解2 22120103430110012154345100101EA 21034680113.GQ由 知 的特征根 , .240A1243当 时, ,特征向量 .120210GQ1当
6、时, ,特征向量 .341201GQ31 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )62.2 矩阵的行列互逆变换法定理 2 对于任意的矩阵 A,矩阵 都能经过一系列的行列互逆变换变成 .其EPJT中 .因为若riPPJJ Tiiirrkkk k,21, 2121 21 尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵 A的特征值时我们又可以通过将矩阵 进行EA行列互逆变换,从而得到 A特征值 ,以及它对应的特征向量 .iiki例 2 求矩阵 的特征值与特征向量 .2103解 .1042102104210140201
7、43103213 3221312 rc rcrcrcEA 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )7所以特征值 ,4,231对应特征值 的特征向量 ,3 13对应的特征值 的特征向量 .2113 矩阵特征值的一些性质及应用3.1 矩阵之间的关系3.1.1 矩阵的相似性质 1 如果存在 阶可逆矩阵 ,使得 阶矩阵 和 满足 AXB1,即矩阵nXnAA与矩阵 B相似, 为矩阵 A的特征值, 为 所对应的特征向量 ,则 也为矩阵 B的特iiii征值,且 对应于 的特征向量为 .i i1注 反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质 2 矩阵 与 都是 n阶矩阵,乘积矩阵 与 不
8、一定相似,但却有相同的特BA征值.证明 若 0 是 的特征值,则 故 不可逆,于是 与 中至少有AB0,AAB一个不可逆,从而 不可逆,故有非零向量 使 ,即 0 是 的特征值.设 是 的特征值,即存在 使得 .令 ,则AB,因此 于是 ,即 是属于 的特0AB征向量, 是 的特征值,同理可证 的任何特征值也是 的特征值.BA例如矩阵 和矩阵 , 与 不相似却有相同的特征值 .1120 1例 3 设 n阶矩阵 ,则矩阵 B与 , BA与 分别都有相同的特征值.证明 由于 ,由性质 2 知 有相同的EAEBA, BA,特征值,同理 也有相同的特征值.得证. ,3.1.2 矩阵的合同性质 3 阶对
9、称矩阵 与 合同,即存在 阶可逆矩阵 ,使得 ,其充要条nBnCCT 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )8件是 A与 B的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例 4 判断矩阵 与矩阵 是否合同.104B解 因为矩阵 是实对称矩阵,可以求得 ,即 的特征值为A34detEAA, ,矩阵 的特征值为 , ,由性质知矩阵 和矩03214B4132阵 合同 . B3.2 逆矩阵的求解性质 对于 阶矩阵 ,由哈密顿凯莱定理可以知道 ,即34nA0Af.011EaAan所以 ,从而 . n0 Eaan1101故已
10、知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到 A.例 5 已知矩阵 ,的特征多项式是 ,求 .1032bA31f1解 因为 ,所以 ,2f EA21即 . 10130301201 3231213121 bbbbA由本例可见,任何一个可逆矩阵 A的逆矩阵必是 A的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件性质 阶矩阵 相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值 在 中的35n 0AE重数等于 A的属于 的线性无关的特征向量的个数.0由此可见例 1 和例 2 中的矩阵不能相似于对角矩阵. 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )9例 6 矩阵 能否
11、与对角矩阵相似?为什么?001A解 不能.因为 是 的三重根,且秩 ,于是 A的属于 的线性030E2E0无关向量的个数为 ,由性质 8 知, A不能相似于对角矩阵.123.4 矩阵的求解我们知道如果设 和 是 阶实对称矩阵 的两个不同的特征值, 和 是对应于12 12它们的特征向量,则 和 正交.且设 是 阶实对称矩阵 A的互不相同的特ni21征值, 是对应于特征值的特征向量,则 两两正交.ni2, ni,21这样,如果对于 阶实对称矩阵 A,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵
12、.例 7 设 3 阶对称矩阵 A的特征多项式是 ,且 是对应于 5的特215征向量,求矩阵 .解 由上面的性质我们知道 1对应的特征向量和 1正交,因此设 1所对应的特征向量为 ,32x对应于 的两个线性无关的向量可取 的基础解系,0321x, ,1023将正交向量组 321,单位化得到正交矩阵,0Q正交矩阵 满足 ,105AQT 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )10所以 .4563TQA补充:同时还能求出 k的值,21TkTTTkTk Q)(.3.5 矩阵特征值的简单应用性质 n阶实对称矩阵的特征值都是实数.46性质 阶矩阵 A与其转置矩阵 TA有相同的特征值.57性质 8 已知 阶矩阵 的特征值为 ，则 .n,21 nA21例 8 设 n阶矩阵 有 n个特征值 ,且矩阵 B与 相似,求 的值., BE解 因为 的特征值为 ,矩阵 与 相似.2,1所以 B的特征值也为 ,令 ,则 的 n个特征值为 ,ff 1,32,1nfff因为 ,!21A所以 .!ffE 淮 阴 师 范 学 院 毕 业 论 文 (设 计 )11总 结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分。特征值与特征向量有着许多具体的应用，本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指
