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1、线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在 1879 年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。一、引例求解线性方程组 (1)97634242
2、32131xx(1) )(B)(B)(3B034231xx )(4B问题 10 共采取了几种变换将(1)变为 的？ )(4（三种：() 交换方程的次序；() 用数 乘某方程； () 将某方程的 k 倍加到另一方程上。0k且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20 在这三种变换下，(1)与 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变)(4B换）30 采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。其寓意：方程表明方程组有一个多余的方程； 将代入得 ，表明 (或32x3)可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于
3、一个未知2x量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵 构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？)(bAB97634241B 9763212434065021-2-3 2-2 2-2-3 2+5-3线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 2.31064 5003142B对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定
4、义：二、初等变换1、定义 1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：() 对调两行（对调 i、j 两行记作： ） ；jir() 以数 k 0 乘某行中的所有元素（第 i 行乘 k 记作： ） ；kri() 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第 j 行的 k 倍加到第 i 行记作： ） 。jirk将定义中的 “行”换成“列” ，即可得到矩阵初等列变换的定义，将记号中的 r 换成 c 就是初等列变换的记号。初等行、列变换通称初等变换。注 显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换仍为同种的初等变换：的逆变换为 ； 的逆变换为 ； 的逆变换为 .jirijrkrikrijirkjirk1 注意矩
5、阵的初等变换与行列式的性质运算从定义到记号虽然十分相似，但又根本不同，千万不能混淆。再次强调：经行列式运算得到的行列式与原行列式是相等的，但经初等变换得到的矩阵与变换前的矩阵千万不能用等号连接，它们是不相等的，我们称它们是等价:定义 2 若对矩阵 A 实行有限次初等变换变成矩阵 B，则称矩阵 A 与 B 等价，记作 AB .类似于无穷小的等价概念，我们称 A 与 B 为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有： 自反性 AA； （取 k = 1，作乘数初等变换即可） 对称性 AB BA； （初等变换都是可逆的） 传递性 AB，B C AC . （将两次的初等变换合并到一起对 A 作即可） 初等变
6、换是线性代数的一个重要工具，首先利用初等变换可以将任一矩阵化为形如 的矩4阵，我们形象地称之为行梯形阵，其特征：可画一阶梯线，线下方的元素均为 0，每层台阶的高度只有一行，阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后的第一个元素是一非零数，它也是非零行的第一个非零数。例如 9763421B9763212434065021.3102003145001B注 是一个更简单的行梯形阵，其特征： 非零行的第一个非 0元素均为 1，且这个 1 所在的5B列中其它元素均为 0。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是 1，其余元素均为 0的列恰为非自由未知量 所对应的列。它对应的同解方程组是421,x-2 2+5
7、-3变换前后对应的矩阵一般不相等r3r4r4-2r3r2 2r3+5r2r4-3r2r2-r3r3-2r1r4-3r1r1 r2r3 2r1-r2r2-r3x1 x2 x3 x4线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3 这个结果正是将 回代入 对应的方程组时3421x3421x)(5B34x4B所求得的解，即 对应的方程组就是回代结果 ，即取 为自由变量，并令 ，即得5B)(3cx3x = ，其中 c 为任意常数。304134421c这表明得到矩阵 就等于得到了方程组的解，鉴于 形式的重要性，我们给它起个名称5 5B行最简形。也就是说：解一个线性方程组，只需将它 对应 的增广矩阵 B
8、经初等行变换变成其行最简形即可得到方程组的解。 有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后的常数列时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数 = 未知量个数 - 非零行行数 =nr ！ 由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地猜想：任何一个矩阵的行最简形式是唯一的，从而行阶梯形中非零行的行数也必唯一，从而自由未知量的个数也必唯一。2、矩阵的标准形如果对行最简行 再进行初等列变换，可将矩阵 变成更简单的以下形式：5B5B.01OEF3我们称 F 是矩阵 B 的标准形。可以证明，一般地任一 mn 矩阵 A 都可以经初等变( 行变换和列变换) 变成标准形A
9、 其中 r 就是 A 行阶梯形的非零行的行数。nmrOE注 任一个矩阵都有标准形，且若行阶梯形的非零行的行数 r 是唯一的话，标准形是唯一的。 由于进行了列变换，增广矩阵的标准形与方程组的解之间没有关系。 容易证明一个重要结论：矩阵 AB A 与 B 的标准形相同(BA F，且等价具传递性)。所有与 A 等价的矩阵组成的集合 称为是一个等价类，A 的标准形 F 就是这个集合里最等 价与简单的那个矩阵，可视为是这个等价类的代表元。小结 本节特点概念多，内涵信息多。主要概念初等变换，但小概念多自由和非自由未知量，行阶梯形，行阶梯形的非零行的行数，行最简形，标准形，等价。清楚这些概念与方程组的关系对
10、下面的学习是十分重要的。比如：数 r 与行阶梯形的非零行的行数，与自由未知量的个数之间应为何关系？2 矩阵的秩c3c 4c4+c1+c2c5-4c1-3c2+3c3线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 4上节我们猜测：矩阵经初等变换化为行阶梯形时，其非零的行数 r 是唯一确定的，且这个行数r 与自由未知量的个数有关：自由未知量的个数 = 变量个数 n r. 由此可见，r 是矩阵的一个很重要的数字特征，实际上将其抽象出来就是矩阵秩的概念。但非零行数的唯一性未经证明，故不能直接从行阶梯形的非零行数来抽象矩阵秩的概念，我们从另一个角度建立秩的概念，然后再沟通矩阵的秩与其行阶梯形非零行数的关系
11、。为此先引入1、k 阶子式 定义 2 在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列()，位于这些行列交叉处的这 k2 个元素，按原位置次序构成的 k 阶行列式，称为矩阵的 k 阶子式。例如， ， 得其 3 阶子式： .9704652131 706132注 mn 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。nmC2、秩的定义及其求法定义 3 设在矩阵 A 中有一个不为 0 的 r 阶子式 D，且所有的 r+1 阶子式(若存在的话)均为 0，则称 D 为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A). 并规定 R(O)=0.注 显然，矩阵 A 的秩就是 A 所有非零子式的最高阶数。只
12、要 A 不是零阵，就有 R(A) 0. 并且秩有以下基本性质: R(A)minm,n 若有一个 r 阶子式不为 0，则 R(A)r； 若所有的 r+1 阶子式都等于 0，则 R(A)r； R R(A).T例 1 求矩阵 A 与 B 的秩，其中A ， B .1745320034521解 A 有 2 阶子式 ，且 A 只有一个 3 阶子式，即 ， R(A) = 2.320B 有 3 阶子式 ，由于 B 的第 4 行元素均为 0，故 B 的 4 阶子式均为 0，R(B) = 3.40注 若 n 阶方阵的行列式 ，则 A 的最高阶非零子式就是 ，所以 R(A) = n，故称 A 为0满秩矩阵；若 ，则
13、称 A 为降秩矩阵。 当矩阵的行、列数都较高时，用定义求秩是困难的，定义主要具有理论价值。 B 的秩较好求是因为它是一个行阶梯形阵，显然行阶梯形阵的最高阶非零子式就是其非零行的第一个非零数所在的行与列所构成的子式，即 阶梯形阵的秩就等于其非零的行数！自然的想法：能否将矩阵化为行阶梯形阵来求其秩？即问题是等价矩阵的秩是否相等？下面的定理给出了回答：定理 1 若 AB，则 R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。证 (分析：只需证在一次初等变换下：R(A)R (B)且 R(A)R(B).)设 R(A)= r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0. 因为 AB，故 A 可经初等变换变为 B，又
14、R R(A)，所以可仅就行变换的情形给出证明：T(1)先证经一次初等行变换后，R(B)R (A)= r：当 A B 或 A B 时，则 B 中与 D r 相对应的子式 必满足 或 ，或rDrrDri kri rj线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5，从而总有 R(B)r；rkD0r当 A B 时， 若 Dr 不含第 i 行，或同时含第 i 行和第 j 行，则 0，所以 R(B)rDr； 若 Dr 中含第 i 行但不含第 j 行，则有rjijir Dkrkk若 0，则 0R(B)r；若 0，则 就是 A 的不含第 i 行的 r 阶子式，由知 R(B)rr rrr，综合以上知，经一次初等行变换后 R(B)R (A).(2)再证经一次初等行变换后 R(B)r：因为初等
