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1、第 1 页（共 14 页）矩阵的初等变换在向量空间中的应用摘 要：向量贯穿了整个高等代数的学习。本文主要谈论了向量空间的一些核心问题，辅以不同的解法，通过对比，显示出矩阵的初等变换在向量空间中的重要作用，体现出用矩阵解向量空间中问题的优越性。关键词：矩阵的初等变换；线性相关；线性无关Abstract：The vector throughout the learning of the higher algebra. This article mainly talking about some of the core problems of the vector space, combined w
2、ith a different solution, by contrast, shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority.Key words：Elementary transformation matrix; linear correlation; linearly independent1 相关定理及问题的引出设 12,.,nnp定义 1.1
3、 维向量：数域 中 n 个数组成的有序数组 12(,.)na定义 1.2 维向量空间：以数域 中的数作为分量的 维向量的全体，1 p同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 上的 维向量空间。p维向量空间表面上看是一个非常陌生的概念，其实质只不过是由很多个n维向量作为小单元，并且这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性，即若 ， , 具有这样性质的向量12,nP12n,nkP构成的向量组。第 2 页（共 14 页）故对于向量空间有关问题的讨论，应该从向量组出发。之所以向量空间让我们感觉变化多端，关键在于这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性。向量空间的理论的
4、核心问题是向量间的线性关系,其主要内容有向量的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组、两个向量组的等价、向量空间的基与维数、一个基到另一个基的过渡矩阵和线性变换等。在向量空间中主要研究的是数域上的 维空间 ,因此在 中解决上述问题成为学习的关键。nnPn通常这些问题都是转化为线性方程组或齐次线性方程组来解决的。本文给出了多种解决这些问题的方法，更重要的是给出了利用矩阵的初等变换来解决的统一方法。在对比中，我们可以很容易的感觉到矩阵在解决向量空间有关问题的重要作用与优越性。定理 1.11 一矩阵的秩是 r 的充分必要条件为矩阵中有一个 r 级子式不为零，同时所有 r+1 级子式全为零。
5、定理 1.21 级矩阵 为可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩nA阵的乘积。定理 1.32 设 可以经过初等行变换化为 ,则 与 的列向量有完全BA相同的线性关系。即 当且仅当12.0mKK，其中12.0mK分别为 A,B 的列向量。,.i j定理 1.41 一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大线性无关组。定理 1.53 设 是 n 维向量， 是以 为列向量的矩阵，12,.mA12,.m将 经过行的初等变换得到阶梯形，则阶梯“角”所对应的列向量构成一个最A大无关组。若 是数域 P 上一个 矩阵， 。不妨设 的前 r 行 r 列构nmrankAr第 3 页（共 14 页）成的 r
6、 阶子式不为零，则将 分块为 ，那么仅对 的行施行ArrmnAA初等变换可以得到标准形 ，其中 为以 r 个单位向量作列构成0rmrEBrE的单位矩阵。记 ，则由基本定1112m.0(,.) .(1).0rmrCB，理三可知 ，则 与12 12m(,.)(,.)mAB初 等 行 变 换 ， 12,.m具有相同的线性关系，而 B 的列向量的线性关系可以直接看出。12m,.，2 判断一个向量是否可由一组向量线性表出2.1 定义法如果向量组 ， ， ( 2)线性相关的充分必要条件是 ，12n1， 中的某一个向量是其余向量的线性组合2n2.2 利用系数矩阵与增广矩阵的秩线性方程组有解判别定理：线性方程
7、组 有解的充分必要条件是它的系AXB数矩阵 与增广矩阵 有相同的的秩。A若判断 是否可以被一组向量 ， ， 线性表出，其中12(,.)Tj12n（ ， ， ） （i=1、2、） 。iTiiji设线性方程组为 112221.njjjnj于是线性方程足可以改写成向量方程 12.n第 4 页（共 14 页）显然，若 可以表示成向量组 ， ， 的线性组合的充要条件为线性12n方程组有解。又由有解判别定理和充要条件的等价性可知， 可以表示成向量组 ， ， 的线性组合的充要条件为12n12r(,.)(,.,)nankrak特别，若当 为零向量时，则 恒成立，1212r(,.)(,.,)nnakrak即始终
8、存在零解，有 ，即 可由向量组 ， ， 线12.0n n性表出。2.3 利用矩阵的初等行变换设 ， , ,其中12(,.)mA12(,.)mA1rmdAB 初 等 行 变 换。12(,.)0rrEB，若 可由 B 的列向量线性表出，当且仅当可由 B 的前 r 个列向11(,.,.)rmdd量线性表出，此时必有 且1.0rmd，又由基本定理三知，1121(,.,.) .0rmrrm 。21.rrmdd例 1 判断向量 是否可以由向量 线性表出，其中 ，234, (1,2)， ， ，(,)2(,)(1)4(,解法一：将 作列，构成矩阵134,123411202(,)10TT第 5 页（共 14 页
9、）51041010 1201441所以 可以由 线性表出，且1234,12345解法二：设 ，分别写出系数矩阵和增广矩阵，利34xx用系数矩阵和增广矩阵的秩来判断，矩阵的初等变换同解法一。例 2 判断向量 可否由向量组 ，(9,850)T1(,20)T， ， 线性表出。(3,14)T3(0,51,7)T4612,解：作矩阵 ，下面对 A 作初等行变 11 22 33 44 376169850A换，若可以化最后一行的元素全部为零，则 可由 线性表出。具体1234,思想见例 3。 12341205766980A142123234120779305 1234即 可由 线性表出。,第 6 页（共 14
10、 页）3. 判断 中向量组的线性相关性nP3.1 定义法对于向量组 称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数 12,.(1)n，使 ，否则线性无关。12,.nk.0nkk3.2 拉长缩短法若n维向量组 ， ， 线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的12n新的向量组仍线性相关。3.3 增加法若向量组 ， ， 线性相关，则增加向量的个数构成的新的向量组 ，12n 1， ， 也线性相关。2n3.4 行列式法若向量的个数与维数相同，即有n个n维列向量 ，令12,.n为n阶方阵，则：12,.A（1） 当 时，向量组 线性无关；012,.m（2） 当 时，向量组 线性相关。3.5 利用矩阵的秩判别设有
11、个 维列向量组 ，记 ，则可利用矩阵A的秩mn12,.m12,.mA判断向量组 的线性相关性，即：12,.m（1） 当rank(A)= 时，向量组 线性无关；12,.（2） 当rank(A) 时，向量组 线性相关。m3.6 利用维数与向量的个数判断m个n维向量组成的向量组，当维数 小于向量个数 时一定线性相关。n第 7 页（共 14 页）3.7 利用向量组间的关系判断若向量组 可由 线性表出，且 ，则 线123,.r12,.s， rs123,.r性相关。3.8 利用初等变换判断设向量组 ， ，112(,.)na212(,.)na2(,.)rrnP作 矩阵 ，若 线性相关，则可以使用矩阵的行初等
12、变r12rA123,.r换把矩阵A的其中一行元素全部化为0.事实上，由于 线性相关，123,.r因此存在一组不全为零的数 使 ，这时只要12,.raR10raa把矩阵A的第一行、第二行、.、第r行分别乘上 在全部加入最后一12,.r行，即可使A的最后一行全部化为0.例 3 讨论向量组 的线性相关123,03,0,0,1TTT，性。解法一：定义法。假定 ,即：求解方程组1230K123112303K解得： 123故：向量组 线性无关。,解法二：拉长缩短法。对向量组 删去第 4 第 5 个分量成为新的分量组 。123, 123,e第 8 页（共 14 页）由于行列式 。1230,1e向量组 线性无
13、关，则拉长后的向量组 也线性无关。123, 123,解法三：利用矩阵的秩 1230100133TA01010rank(A)=3=m=3，故向量组 线性无关。123,例 4 设向量组 ， ， ，求不全为零的实(,)2(,10)33(,79)R数 a,b,c,使 。123abc解：做矩阵 ，下面对 A 施行行初等变换：231079A1 122331205679 1233056因此， 。12特别的，也可以利用此法判断一个向量可否由一组向量线性表出。4 求向量组的极大无关组以及向量组的秩。例 5 中， =（1,0,2,1） ， =（1,2,0,1） ， =（2,1,3,0 ） ， =（2,5，-1,4
14、） ，4P1234（1，-1,3,1） ，求 的一个极大无关组和秩。2345,.第 9 页（共 14 页）解：令 1234512105(,)34TTTA101202153000由上可知 为极大无关组，且向量组的秩为 3.123,5 判断两个向量组是否等价5.1 定义法。如果向量组 中的每一个向量 都可以经过向量组12,.m1,2.im线性表出，那么向量组 就称为可以经过向量组12,.n12,.线性表出。如果两个向量组相互可以线性表出，他们就称为等价。例如，设 ， ；1,2,0，(0)(1)则向量组 与向量组 是等价的12,2,5.2 利用等价性质的传递性如果向量组 与 等价， 与 等价，那12,.m12,.n12,.n12,.t么向量组 与 等价。,.1,.t5.3 利用满秩矩阵，A 是 n 阶满秩矩阵，则 可由12n12,.)(,.)n（ (1,2.)in第 10 页（共 14 页）线性表出，又因为 A 是 n 阶满秩矩阵，所以 A 可逆，即有12,.n，则 可由 线性表出，所112n(),.)
