矩阵的初等变换的应用

《矩阵的初等变换的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的初等变换的应用（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、分类号 编 号 毕 业 论 文题 目 矩 阵 初 等 变 换 的 应 用 学 院 数 学 与 统 计 学 院 专 业 数 学 与 应 用 数 学 姓 名 雷 高 龙 班 级 09 数 应 2 班 学 号 298010112 研 究 类 型 研 究 综 述 指 导 教 师 贾 凤 玲 讲 师 提 交 日 期 2013 年 5 月 19 日 数学与统计学院 2013届毕业论文原 创 性 声 明本 人 郑 重 声 明 ： 本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的 指 导下 独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 。 学 位 论 文 中 凡 是 引 用 他 人 已 经发 表

2、或 未 经 发 表 的 成 果 、 数 据 、 观 点 等 均 已 明 确 注 明 出 处 。 除文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 ， 不 包 含 任 何 其 他 个 人 或 集 体 已 经发 表 或 撰 写 过 的 科 研 成 果 。本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担 。论 文 作 者 签 名 ： 年 月 日 论 文 指 导 教 师 签 名 ：数学与统计学院 2013届毕业论文矩阵初等变换的应用雷高龙（天水师范学院，数学与统计学院，甘肃 天水，741000）摘 要 矩阵的初等变换是线性代数中的重要工具，本文通过具体的例子，总结了矩阵的初等变换在数字矩阵，分块矩阵

3、等的应用.关键词 初等变换；分块矩阵；最大公因式；矩阵方程；二次型Applications of matrix elementary transformationLei Gaolong(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,Gansu)Abstract The elementary transformations of matrix is very important tool, this paper discusses the applications of the

4、elementary transformation in mathematical matrix and block matrix etc.Keywords elementary transformation, block matrix, the greatest common factor, matrix equation, quadratic form数学与统计学院 2013届毕业论文目录0 引言 .11 预备知识 .12 初等变换在数字矩阵中的应用. .12.1 计算矩阵的单位阵 .12.2 利用矩阵的初等变换判断矩阵的可逆性 .22.3 利用矩阵的初等变换求逆矩阵 .22.4 利用矩阵

5、的初等变换求矩阵的秩 .32.5 判断向量组的线性相关性 .32.6 求向量组的一个极大无关组与向量组的秩 .42.7 初等变换求线性方程组. .52.8 初等变换化二次型为标准形. .63 初等变换在分块矩阵中的应用 .73.1 分块矩阵的初等变换及其性质 .73.2 分块矩阵初等变换的应用 .94 矩阵初等变变换的其他应用 .114.1 利用矩阵的初等变换求多个多项式的最大公因式 .114.2 利用矩阵的初等变换解多元一次不等式 .12参考文献 .15数学与统计学院 2013届毕业论文1矩阵的初等变换的应用0 引言矩阵的初等变换在线性代数中发挥着非常重要的作用，也是线性代数的教学重点.本文

6、讨论了初等变换在数字矩阵、分块矩阵等方面的应用.1 预备知识矩阵的初等变换是指对矩阵实施以下三种变换. 1（1）互换矩阵中任意两行（列）的位置；（2）用数域中的一个非零数乘矩阵中的每一行（列） ；（3）把矩阵中的某一行（列）的 倍加到另一行（列） ，其中 是数域中的任一个数.cc注：（1）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,（2）矩阵的初等变换不改变行（列）向量组的线性相关性.2 初等变换在数字矩阵中的应用.2.1 计算矩阵的单位阵例 把矩阵 化为单位阵.2.12140解 2142140821420408183302185.10数学与统计学院 2013届毕业论文22.2 利用矩阵的初等变换判断矩阵的

7、可逆性利用初等变换将矩阵为阶梯形，若对应的行列式不为零则矩阵可逆，且行列式的值是主对角线上各元素之积.2140解= A2513973801-93725-810 .1-970325168-9372560显然 0，故 可逆，又由于上述初等变换过程中曾进行过一次两行互换，故A=-（-13）16 =312.322.3 利用矩阵的初等变换求逆矩阵设 为 介可逆矩阵，将 与 组成一个 行 列矩阵 做一系列行初等变换AnAEn2(,)AE即可求出 ,用这种方法求可逆矩阵，应注意的是只能进行行初等变换.1例 求 ，已知 = .2.311324解 由于= (,)AE1320143210数学与统计学院 2013届

8、毕业论文3 .10723015702311所以 = .1A5723102.4 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用初等变换求矩阵的秩，是利用初等变换不改变矩阵的秩，将矩阵化为阶梯形矩阵，从而求原矩阵的秩.例 求 .已知2.41rA.A132540解 由于 .A132540132067213206092因此 =4.r2.5 判断向量组的线性相关性维向量组 , , , 线性相关的充要条件是以 , , , 为列向量的矩n12s 12s阵的秩小于向量的个数 ，反之， 维向量组 1, 2, , s 线性无关的充要条件是：n以 1, 2, , s 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数.因此判断一个向量 , , , 12的相性相关性可通过矩阵的初等变换讨论矩阵的秩 .s例 判断下列向量的线性相关性.5数学与统计学院 2013届毕业论文4(1) (1,-2,1,-5), (2,-1,3,1), (4,-3,-1,6)123(2) （2 ，-1,3,1） ， （4,-2,5,4 ） ， = 2,-1,4,-1)(解（1）因为 .1243561240532