矩阵的等价标准形的应用

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1、第 3 讲 矩阵的等价标准形的应用设矩阵 的秩 rank ，则存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使mnAr，0rEAQ我们把 称为 A 的等价标准形熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们0rE具有相同的等价标准形矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题例 1 每个方阵 A 均可写成 ，其中 B 是可逆阵，C 是幂等阵（即 ） 2C证 设 A 的秩 rank ，则存在可逆阵 P 和 Q，使 记 ，r 0rEAQBP，显然 B 是个可逆阵， 是个幂等阵，并且 10rECQ2例 2 设 n 阶方阵 A 的秩 rank ，证明存在可逆阵 P，使 的后 行全是零r1Anr证 存

2、在可逆阵 P 和 Q，使 ，从而 的后 行全10rE10rEQPr是零例 3 设 n 阶矩阵 A 的秩 rank ，证明存在非零 n 阶矩阵 B，使 rnA证 由例 1 知存在可逆阵 和幂等阵 ，使 记 ，显然 ，且12A1212E0B22210BAEE 例 4 设 n 阶矩阵 A，B 满足 ，证明 B证 存在 n 阶矩阵 P，Q，使得 ，这里 rank A，我们断言 事实上，0rrrn从 易知ABE，110rEABPQB，1r由此显然得到 ，此时 ，从而 ，进而rn1PAQBE11BPABQBAE例 5 设 n 阶幂等阵 A（即 ）的秩 rank ，证明存在可逆阵 P，使2Ar10rEPA证

3、 存在可逆阵 R 和 T，使 ，记 ，其中 为 r 阶方阵，则10r 12TR1T，1111120rEAR从 即知 ，从而2A211R，211 11000TTR因此 ，且 ，注意到 的秩等于 r，知 r 阶方阵 的秩 rank21T11R1 1T，必须 ，随之得到rrE110rERA现令可逆阵 ，可验证10rnrRPE1111 1100 .0rnr nrrr rnr nrERAARE例 6 设 n 阶幂等阵 A 的秩等于 r，证明（i） rank rank ；E（ii） tr rank A；（iii ） 任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积证 由例 5 知存在可逆阵 P（当 A 为实阵时

4、，P 亦可取为实阵） ，使得10rE（i）此时 ，这样10nrErank rank AErn（ii）tr tr rank A1Pr（iii ）易知 ，显然1 11000rr rEEEAPPPP 和 都是实对称阵，从而 也是实对称阵0rEP 1例 7 若 n 阶阵 A 满足rank rank ，AEn则 A 是个幂等阵证 由例 2 知存在可逆阵 P 和 ，其中 是 r 阶方阵， rank A，使得1234Q1r,121213400rEP又从条件知 的秩 rank ， 的秩也等于 ，必Anr1210rnrEQPAnr须 ，即 ，这时10rEQ1rE22 210rrQPAPA是个幂等阵，进而 A 是

5、个幂等阵例 8 1设 A 是个 n 阶对合阵（即 ） ，rank ，证明2EAr（i） 存在可逆阵 P，使1rnrPA（ii） rank rank EAn（iii ） 每个实对合阵均可表为两个实对称矩阵之积2若 n 阶阵 A 满足 rank rank ，则 A 是对合阵En证 注意到 A 是对合阵当且仅当 是幂等阵，利用例 57 的结论即得12例 9 （i）设 n 阶阵 A 的秩等于 r，满足 ，此处 证明存在可逆阵 P，使得2a01rEPA（ii）设 A，B 是如下的 n 阶矩阵：， ，1A 0nB证明存在可逆阵 P，使 1B证 （i）我们仿照例 5 的思路来进行存在可逆阵 R，使，1210

6、AR其中 是 r 阶方阵从 知 ，即12a211RAa，12 1212000A于是 ，且 注意到 ， 的秩 rank ，因此 ，21Aa1212,aa11r1rAaE20rERA记 ，P 显然是可逆的，并且210rnrEAPRa2211 00rr rnr nraEEAR（ii）显然 A 的秩 rank ，又容易验证 ，故据（i）即知结论2例 10 设 A 是个 矩阵，B 是个 矩阵，证明mmnEABEA证 设 A 的秩 rank ，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使 ，记分块r 0rEPQ阵 ，其中 为 r 阶方阵，则有1234BQP1 100r rmmmEEEAPQBPQBP1

7、23412100 r rmmr rr BEEQBP，同理可得，1nrnEBAEB因此证明了 进一步地，mnmEABmnmnAEBA 例 11 设 矩阵 A 的秩等于 r，证明对任意 矩阵 B，0 是 AB 的至少 重特征值，r0 是 BA 的至少 重特征值nr证 从例 10 的证明直接推出例 12 计算行列式11212 212nnnnxyxy解 根据例 10 可知 112112 22212 1212, , n nnnnnnxyxyxEyxy 12 .nxxy例 13 设 A 是个 n 阶可逆阵， 和 是两个 n 维列向量证明 rank 当且仅当An1证 由例 10 得 ，注意到1111nAEA

8、E ， 的秩 rank 当且仅当 当且仅当 ，即0A00A1例 14 设 均不为 0，计算行列式12,na123123naann解 因 均不为 0，故对角阵 是可逆的，由例 13 可得12,na 12naA 1 12 23 11 1223 ,2 1, nnaa annAn 11 .niia例 15 设 A 是个 矩阵，B 是个 矩阵，证明下面的 Sylvester 秩不等式mnnlrank AB rank rank AB证 设 A 的秩等于 r，B 的秩等于 s，存在 m 阶可逆阵 P，n 阶可逆阵 Q 和 R，l 阶可逆阵 S，使得， ，0rEAPQ0sERS记 ，其中 是 矩阵，则1234

9、TQR1Trs，1000rsETABPQRSPS注意到 P、T、S 都是可逆阵，rank ，故Tnrank rank rank ，101T而 是 T 中去掉后 行、后 列所得的矩阵，而在矩阵中去掉一行（列） ，矩阵的秩最多减少1nrs1，因此rank rank AB1 Tnrsrn例 16 设 A、B、C 是任意三个矩阵，乘积 ABC 有意义，证明下面的 Frobenius 秩不等式：rank ABC rank rank rank BABC证 设 A 是 矩阵，B 是 矩阵，C 是 矩阵，且设 rank ，则存在 m 阶可逆阵lmprP 和 n 阶可逆阵 Q，使 现作分块阵 ， ， 是 矩阵，

10、0rEPQ12,P12QPr是 矩阵，则1r，1121200r rEB于是根据例 15 得到rank rank rank rankABC1PQ1AP1QCr rank rankr rank rank rank B 例 17 设 矩阵 A 的秩等于 r，证明存在可逆阵 、 使 PA 的后 行全为零，AQmnmnmr的后 列为零r证 存在可逆阵 P 和 Q，使得 ，显然 的后 行为零，0rE10rEPAQr而且 的后 列为零10rEAQnr例 18 设 A、B 是两个等秩的 矩阵，若存在 n 阶矩阵 U，使 ，则存在可逆阵 V，mAB使 V证 设 A、B 的秩等于 r，从例 17 知存在可逆阵 P

11、 和 Q ，使， ，1,0A1,0B其中 ， 都是秩为 r 的 矩阵现作适当的分块 ， ，则有1n12,12，121,0PA，112,QBB从而 ，并且进一步可得1AP，111APBUQP注意到 的秩等于 r，故 r 阶方阵 的秩也等于 r，即 是可逆的，于是有1AV： V11111,0,00 ,nr nrBQAAPEE显然 是可逆的，我们把它的逆记为 V，则 10nrVPE B例 19 试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组 的一种解法0mnAX解 设 A 的秩等于 r，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使 ，于是线性方0rEP程组 可化为0X，110rEX记 ，则原方程组等价于

12、121nyYQX：，120rnyE即 令 ，容易验证 都是120ryy 121,rQqq 12,rnq的解，从而它们构成 的一基础解系 0AXAX下面是具体的操作过程首先构造矩阵，nmABE然后对矩阵 B 作如下的初等变换：（i） 对 A（即 B 的前 m 行）作初等的行变换，（ii） 对 B 作初等的列变换，则经过有限次上述的初等变换后，B 可变为，0rnEABQ 此时 Q 的后 个列向量构成 的一基础解系nr0X例 20 试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组 的一种解法mnAXb解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例 19 的方式得到首先构造矩阵，10nmnbBE然后对矩阵 B 作如下形式的初等变换：（i） 对 B 的前 m 行 作行的初等变换，,Ab（ii） 对 B 的前 n 列 作列的初等变换，E则经过有限次上述变换后，B 可变为，0rnEAbbBQ记 ， ，此时可得如下的结论： 有解当且仅当11rmbb121,rnQqq AXb；当 时， 是 的一个120