矩阵的初等变换及应用的总结 2

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1、矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。一 矩阵的概念定义：由于 mn 个数aij（i=1，2，.，m；j=1，2，.，n）排成的 m 行 n 列的数表，称为 m 行 n 列，简称 mn 矩阵二 矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行( 交换 两行,记作 );(2) 以一个非零的数 乘矩阵的某一行(第 行乘数 ,记作);(3) 把矩阵的

2、某一行的 倍加到另一行 (第 行乘 加到 行,记为 ).1. 初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A与矩阵 B 等价，记作 AB矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性 ;(2) 对称性 若 ,则 ;(3) 传递性 若 , ,则 .三 矩阵初等变换的应用1. 利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个 m n 矩阵 A，总可以经过初等变换把它化为标准形2. 利用初等变换求逆矩阵求 n 阶方阵的逆矩阵：即对 n2n 矩阵（AE）施行初等行变换，当把左边的方阵 A 变成单位矩阵 E 的同时，右边的单位矩阵也就变

3、成了方阵 A 的逆矩阵 A(-1)即( A|E)经 过 初 等 变 换 得 到 (E|A(-1)这种计算格式也可以用来判断 A 是否可逆，当我们将 A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于 n 时，则 A 可逆，否则 A 不可逆。设矩阵 可逆，则求解矩阵方程 等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵 ，对其施以初等行变换将矩阵 化为单位矩阵 ，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵 化为 ，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程 的方法.同理, 求解矩阵方程 等价于计算矩阵 亦可利用初等列变换求矩阵 . 即.3利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量

4、组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若 AB 则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。4. 行列式的计算一般格式：经过将

5、行列式等行变换化为上三角形 5求线性方程组的解一般格式:(1)齐次线性方程组 AX=0，A 是 mn 矩阵 1对系数矩阵 A 进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出 r(A)。若 r(A)=n，则 AX=0，只有零解；若 r(A)n， 则 AX=0 有非零解，转入 22对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，以非零行首个非零元对应的 k 个未知量为基本未知量，其余的 n-k 个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令自由未知量中一个为 1，其余全为 0，求得 AX=0 的基础解系：X，X，Xn-k3n-k 个解向量的线性组合：C

6、X+C2X+Cn-kXn-k(C，C，Cn-k 为任意常数)就是 AX=0 的通解。(2)非齐次线性方程组 AX=B，A 是 mn 矩阵1对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出 r(A)与 r(AB)，若 r(A)r(AB)，则 AX=B 无解；若 r(A)=r(AB) 则 AX=B 有解，转入 2 2对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若 r(A)=r(AB)=n，则AX=B 有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若 r(A)=r(AB)=kn，则 AX=B 有无穷多解，转入 33以非零行的首个非零元对应

7、的 k 个未知量为基本未知量，其余 n-k 个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到 AX=B 的一般解，令所有的自由未知量为 0，求得AX=B 的一个特解 X0 4在 AX=B 的一般解中去掉常数项，就得到导出组 AX=0的一般解，分别令一个自由未知量为 1 其余自由未知量都为 0，求出导出组 AX=0 的基础解系，X，X ，Xn-k 与通解 CX CX2 C n-kXn-k5AX=B 的一个特解加导出组 AX=0 的通解CX1+CX2+Cn-kXn-k+X0(C，Cn-k 为任意常数) 就是 AX=B 的通解。6. 确定向量组的线性相关性一般格式：设向量组为 12m，以12m

8、为列构成矩阵 A，对 A 施行 初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩 r（A） ，若 r（A ）=m，则 12m 线性无关，若 r（A）m，则 12m 线性相关。7. 确定一向量能否由另一向量线性表出一般格式：以向量组 12m 与向量 为列构成矩阵 A，然后对 A 施行初等行变换，化为行最简形矩阵 B8. 求向量组的秩与极大无关组一般格式：设向量组 12m ，以它们为列构成矩阵 AB 的非零行的首个元素所在的列向量对应的 12m 中的向量 i1ir构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组12m 的秩。 结 论矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处。但是由于这些计算格式有不同的原理，所以，它们也有一些明显的区别。 计算格式 1 既可以用初等行变换也可以用初等列变换，施 Bm 行 最 简 形 矩 阵初 等 行 变 换 21A Bm行 阶 梯 形 矩 阵初 等 行 变 换21A行这些变换时要注意使行列式保值。 计算格式 3 既可以用初等行变换也可以用初等列变换，但是我们一般只用初等行变换。 其余计算格式只能使用初等行变换。