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1、1.2 曲线的基本三棱形(Frenet标架)1.2.1曲线的基本三棱形1. 切线设C : r(t) = x(t),y(t),z(t)为正则曲线, 任取定C 上一点P0(t = t0), 并设P 为P0的任一邻近点, P0点与P 决定的直线记为l. 则当P 沿C 趋向于P0点时, l的极限位置称为曲线C 在P0点的切线(如图2), 定点P0称为切点. 直观上, 切线是通过切点的所有直线中最“贴近”曲线的直线.设P 点对应的参数为t0+ t, 则有 P0P = r(t0+ t) r(t0),在割线P0P 上作向量 P0Q(如图1), 使得 P0Q =r(t0+ t) r(t0) t,当P P0(即
2、t 0)时, 若r(t)在t0处可微, 由向量函数微商的定义可得, 向量 P0Q的极限lim t0r(t0+ t) r(t0) t= r0(t0).根据曲线切线的定义, P0Q的极限正好是P0点处切线上一个向量, 称为曲线在P0点处的切向量 . 由于我们已约定只研究正则曲线, 所以切向量r0(t0)是切线上的非零向量, 而且其正向与参数增加的方向一致, 即与曲线的正方向一致.设R = X,Y,Z为曲线C 在P0点处切线上流动点的向径, 则C 在P0点处切线的矢量式参数方程为R() = r(t0) + r0(t0),其中为参数. 写成对称式即为X x(t0) x0(t0)=Y y(t0) y0(
3、t0)=Z z(t0) z0(t0).2. 法平面经过P0点, 且与P0点的切线垂直的平面, 称为曲线C 在P0点的法平面 , 容易写出法平面的点法式方程为r0(t0) ( r(t0) = 0,8这里是法平面内任一流动点的向径.3. 密切平面P0点的切线l与P0点任一邻近点P 一般确定一张平面, 当P 沿C 趋向于P0点时, 若有极限位置, 则这个极限位置称为曲线C 在P0点的密切平面 . 显然, 若曲线是平面曲线, 在它在其上每点处的密切平面都是该曲线所在平面本身.现在来求密切平面的方程. 为此设P0点的邻近点P 对应的参数为t0+ t, 根据Taylor公式, 我们有 P0P = r(t0
4、+ t) r(t0)= r0(t0)t +1 2(r00(t0) + )(t)2,其中是t的三阶以上无穷小. 另一方面, 由密切平面的定义, P 和点P0的切线l所确定的平面的法向量N 平行于向量积r0(t0) P0P , 即N k (r0(t0) P0P) k (r0(t0) r00(t0) + ),因此, 当P 点沿C 趋向于P0时,N k (r0(t0) r00(t0),由此可见, 如果r0(t0) r00(t0) 6= 0, 那么曲线C 在P0的密切平面方程为(R r(t0),r0(t0),r00(t0) = 0,写成坐标形式即flflflflflflflflX x(t0)Y y(t0
5、)Z z(t0)x0(t0)y0(t0)z0(t0)x00(t0)y00(t0)z00(t0)flflflflflflflfl= 0,其中R = X,Y,Z是P0点的密切平面上任一流动点的向径.【注 1】曲线上满足r0(t) r00(t) = 0的点称为逗留点 . 根据以上讨论我们知道, 曲线在非逗留点处总存在唯一的密切平面. 特别地, 当P0点邻近为直线段时, 该点的密切平面不确定, 但也可以将过l的每个平面都看成是P0点的密切平面.【注 2】若曲线选用弧长参数表示时, r r = 0 r = 0. 充分性是显然的. 至于必要性, 一方面, 由 r r = 0知, r k r; 另一方面,
6、由 r2= 1两边求导, 得 r r, 而 r 6= 0(否则为奇点), 因此 r = 0.9【注 3】只含逗留点的曲线是直线, 等价地说, 在不含直线段的曲线上, 逗留点是孤立的. 事实上, 若对曲线C : r = r(t)的一切参数值t都满足r0(t) r00(t) = 0, 则r0(t)具有固定方向, 可设r0(t) = (t)a,其中a为常向量, 上式两边对t积分即得r(t) =?Z(t)dt a + b0,其中b0是任意常向量. 上式正是直线段的方程, 这说明曲线C 是直线. 鉴于这一事实, 以后我们总是假定曲线上的点都是非逗留点, 这对于研究曲线的局部性质不是一个苛刻的限制.【注
7、4】设P0为曲线C 上一非逗留点的固定点, P 为P0点一个邻近点. P 点的切线l与P0点确定一张平面, 当P 沿C 趋向于P0点时, 的极限位置就是曲线C 在P0点的密切平面.证明设P0(t = t0), P(t = t0+ t), 则P0点处的密切平面0的法向量N0为r0(t0) r00(t0). 根据Taylor公式, 我们有 P0P = r0(t0)t +1 2(r00(t0) + 1)(t)2,r0(t0+ t) = r0(t0) +1 2(r00(t0) + 2)(t)2,这里 lim t01= lim t02= 0. 简单计算我们得到lim t0( P0P r0(t0+ t)
8、= r0(t0) r00(t0),这说明题设中平面的法向量N 当P 趋向于P0时, 趋向于r0 r00. 从而与0重合, 即题设平面的极限位置正是曲线C 在P0点处的密切平面.定理 2.1曲线为平面曲线,充分必要条件是曲线的密切平面固定为一个.证明前面我们已提及, 若曲线为平面曲线, 则它在每点处的密切平面都是曲线所在平面本身, 即密切平面固定为一个. 反之, 若曲线的密切平面固定为一个, 由于那个固定的密切平面包含该曲线上每一点, 于是该曲线完全落在这个固定平面内, 即曲线本身为平面曲线.定理 2.2设曲线C : r = r(t)上无逗留点, 则C 为平面曲线的充分必要条件是(r0,r00,
9、r000) = 0.10证明(=)设曲线C 为平面曲线, 则它的法向量为常向量, 记为n. 由密切平面的定义, 对C 的任何参数值t自然成立r0(t) n = 0,上式连续求导两次得到r00(t) n = 0,r000(t) n = 0,所以r0(t),r00(t),r000(t)同时与n正交, 故它们共面, 于是有(r0,r00,r000) = 0.(=)若(r0,r00,r000) = 0, 则可令r000= r0+ r00.另一方面, 记N = r0 r00(我们假定曲线上无逗留点, 因此r0 r006= 0), 显然成立N0= r0 r000. 因此得到N0= r0 r00= N,于是
10、N 有固定方向, 即曲线为平面曲线.【注 5】定理2.2中“无逗留点”的条件是必不可少的. 考察下列分段光滑曲线r(t) =t i + e1 t2k,t 0,容易验证, 这是一条正则曲线, 且对任何参数值t都成立(r0,r00,r000) = 0. 但该曲线不是平面曲线. 显然可见, 曲线当t 0时, 落在xy平面上, 并且在t = 0是光滑连接的. 出现这一现象的原因是该曲线当t = 0时的点是逗留点.4.主法线副法线从切平面密切平面与法平面的交线称为曲线在P0点处的主法线; 以主法线为法线的平面称为曲线在P0点处的从切平面; 从切平面与法平面的交线称为曲线在P0点处的副法线.5. 基本三棱
11、形总上所述, 对于正则曲线, 在非逗留点处, 有三条互相垂直的直线和三个互相垂直的平面, 它们构成的图形称为曲线的基本三棱形 , 或称为Frenet标架(如图3).11当点沿曲线运动时, Frenet标架作为一个刚体在曲线上运动, 但构成Frenet标架的三条直线和三个平面的相对位置不会发生变化.1.2.2 曲线的基本向量设C : r = r(t)是正则曲线, 且不含逗留点. P 是C 上一任意点, 分别取C 在P 点处的切线向量(r0)、主法线向量(r0 r00) r0)、副法线向量(r0 r00)的单位向量, 依次记为、, 这三个向量、称为曲线在P 点处的基本向量. 它们是两两互相正交的单
12、位向量, 且按、的顺序构成右手标架. 显然基本向量完全决定了曲线的基本三棱形.根据定义, 我们不难知道 =r0 |r0|,(方向与曲线的正向一致) = ,(指向曲线的凹侧, 以后解释原因), =r0 r00 |r0 r00|,(按,顺序成右手标架)特别地, 若取弧长参数时, = r, = r | r|, = .【例1 】求正则曲线 F(x,y,z) = 0,G(x,y,z) = 0,在其上任意点处的切线和法平面方程.【解】设该曲线的参数方程为r(t) = x(t),y(t),z(t),t (a,b),则F(x(t),y(t),z(t) = 0,G(x(t),y(t),z(t) = 0,12于是
13、dF dt=F xdx dt+F ydy dt+F zdz dt= 0,dG dt=G xdx dt+G ydy dt+G zdz dt= 0,若记F = Fx,F y,F z, G = Gx,G y,G z, 则上面两式化为 F r0(t) = 0,= F r0(t),G r0(t) = 0,= G r0(t),于是r0(t) k (F G),或r0(t) k (G F),故曲线在其上任一点(x0,y0,z0)处的切线方程为X x0flflflflflF yF z G yG zflflflflfl=Y y0flflflflflF zF x G zG xflflflflfl=Z z0flflf
14、lflflF xF y G xG yflflflflfl,法平面方程为flflflflflflflflX x0Y y0Z z0F xF yF z G xG yG zflflflflflflflfl= 0.【例2 】证明: 曲线为球面曲线的充要条件是它的所有法平面都通过定点.【证明】设球的中心的向径为r0, 并设球面曲线C (即此两曲线落在一个球面上)的自然参数方程为r = r(s), 则|r(s) r0| = R(球的半径), 或(r(s) r0) (r(s) r0) = R2,两边关于弧长s求导, 得(r(s) r0) = 0.(1)设是C 在任意点处法平面上流动点的向径, 则C 的法平面方
15、程为( r(s) = 0,(2)由(1)显然球心r0满足法平面方程(2), 因此法平面通过球的中心.13反之, 设曲线C : r = r(t)的所有法平面过定点0, 则r0(t) (r(t) 0) = 0, 由此我们得到|r(t) 0| = R(正常数), 或(r(t) 0)2= R2, 即曲线为平面曲线.【例3 】求曲线x = tsint,y = tcost,z = tet在原点的基本三棱形及基本向量.【解】由所给曲线r(t) = tsint,tcost,tet, 先计算出r0(t) = sint + tcost,cost tsint,et+ tet,r00(t) = 2cost tsint,2sint tcost,2et+ tet.由已知曲线方程知原点对应于参数t = 0的点. 所以r(0) = 0,0,0,r0(0) = 0,1,1
