《高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积课件（105页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 立体几何8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积高考数学高考数学(浙江专用)考点一三视图和直观图考点一三视图和直观图1.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1 B.+3C.+1D.+3五年高考答案答案A本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算.由三视图可知该几何体是由底面半径为1cm,高为3cm的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3cm,底面ABC中,AB=2cm,OC=1cm,ABOC.故其体积V=123+213=cm3.故选A.2.(2017北京文,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,
2、则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.10答案答案D本题考查三视图的相关知识,三棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力.根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示,VP-ABC=354=10.故选D.3.(2017课标全国理,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90B.63C.42D.36答案答案B本题考查三视图和空间几何体的体积.由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的体积V=3214=63.故选B.4.(2017课标
3、全国理,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案答案B本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2=12.故选B.5.(2017北京理,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 B.2C.2D.2答案答案B本题考查空间几何体的三视图
4、,考查空间想象能力.根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD= 2.故选B.6.(2016课标全国,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积 为()A.20B.24C.28D.32答案答案C由三视图可得圆锥的母线长为=4,S圆锥侧=24=8.又S圆柱侧=224=16,S圆柱底=4,该几何体的表面积为8+16+4=28.故选C.思路分析思路分析先求圆锥的母线长,从而可求得圆锥的侧面积,再求圆柱的侧面积与底面积,最后求该几何体的表面积.7.(2015课标,6,5分)一个正方体
5、被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C.D.答案答案D如图,由已知条件可知,截去部分是以ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为a3,剩余部分的体积为a3-a3=a3.它们的体积之比为.故选D.评析评析本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力.8.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+B.+C.+2D.+2答案答案A由三视图知,该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体.V=V三棱锥+V圆柱=211+122=+.选A.评析评析
6、本题考查三视图、棱锥与圆柱的体积公式,属容易题.9.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+ B.2+ C.1+2D.2答案答案B四面体的直观图如图所示.侧面SAC底面ABC,且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC=,AC=2.设AC的中点为O,连接SO,BO,则SOAC,SO平面ABC,SOBO.又OS=OB=1,SB=,故SAB与SBC均是边长为的正三角形,故该四面体的表面积为2+2()2=2+.10.(2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2
7、,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和B.和C.和D.和答案答案D设A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2).B、C、D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),点A(0,0,2)在平面yOz上,又点C的横坐标小于点B和D的横坐标,该几何体的正视图为题图.点A、C、D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点B(2,2,0)在平面xOy上,该几何体的俯视图为题图.故选D.评析评析本题考查了空间直角坐标系和三视图,考查了空间
8、想象能力.本题也可以根据该四面体各顶点的坐标画出几何体的直观图再求解.11.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()答案答案B由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此它的俯视图应排除A、C、D,经验证B符合题意,故选B.12.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3S2D.S3=
9、S2且S3S1答案答案D三棱锥D-ABC如图所示.S1=SABC=22=2,S2=2=,S3=2=,S2=S3且S1S3,故选D.13.(2014课标,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则 该 多 面 体 的 各 条 棱 中 , 最 长 的 棱 的 长 度 为()A.6 B.6C.4D.4答案答案B由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示.其中面ABC面BCD,ABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中点M,连接AM,DM,则DM面ABC,在等腰BCD中,BD=DC=2,BC=DM=4,所以在RtAMD中,AD=6,又在Rt
10、ABC中,AC=43,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=R3=.故选B.评析评析本题考查了球的体积公式和空间想象能力.弄懂“当球面与柱体的侧面或底面相切时体积最大”是求解的关键.5.(2015课标,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其 意 思 为 :“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答
11、案答案B设圆锥底面的半径为R尺,由2R=8得R=,从而米堆的体积V=R25=(立方尺),因此堆放的米约有22(斛).故选B.6.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材 料利用率=()A.B.C.D.答案答案A原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为a,长方体的高为h,则0a,0h2.于是=,h=2-a.令f(a)=V长方体=a2h=2a2-a3,f(a)=4a-3a2,当f(
12、a)=0时,a=.易知f(a)max=f=.材料利用率=.故选A.7.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D.2答案答案C如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故所 求 体 积V=2-=.评析评析本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.8.(2014课标,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉
13、部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C.D.答案答案C由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2cm,高为4cm;另一个圆柱的底面半径为3cm,高为2cm.则零件的体积V1=224+322=34(cm3).而毛坯的体积V=326=54(cm3),因此切削掉部分的体积V2=V-V1=54-34=20(cm3),所以=.故选C.评析评析本题考查了三视图和圆柱的体积,考查了空间想象能力和运算求解能力,正确得到零件的直观图是求解的关键.9.(2014湖北,8,5分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的
14、术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.B. C.D.答案答案B圆锥的体积V=r2h=h=,由题意得12,近似取为,故选B.10.(2017课标全国理,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,
15、E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案答案4解析解析由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO并延长交AB于H,连接DO、DH.则DO平面ABC.令OH=xcm,则OC=2xcm,DH=(5-x)cm,得OD=cm,AB=2xcm.则VD-ABC=x2=x2cm3,令f(x)=x2,则f(x)=,则当x(0,2)时,f(x)单调递增,当x(2,2.5)时,f(x)单调递减,所以当x=2时,体积取最大值,为4=4cm3.方法总结方法总结求解立体几何中的最值问题.在求解立体几何中的最值问题时,注意先要引入自变量x,再根据几何体的点、线、面
16、的位置关系,表示几何体中的相关量,进而建立起目标函数,最后,利用函数的性质来求解最值.11.(2017天津理,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案答案解析解析本题考查正方体的表面积及外接球的体积.设这个正方体的棱长为a,由题意可知6a2=18,所以a=,所以这个正方体的外接球半径R=a=,所以这个正方体外接球的体积V=R3=.方法总结方法总结找几何体外接球球心的方法:1.构造长方体(或正方体),将原几何体外接球转化成长方体(或正方体)的外接球,进而易得球心位置;2.找几何体底面的外心O1,过O1作底面的垂线l1,再找几何体一侧面的
17、外心O2,过O2作该侧面的垂线l2,则l1与l2的交点即为外接球的球心.12.(2016浙江,14,4分)如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.答案答案 解析解析连接PA,取PA的中点N,连接BN,DN,PD=DA,PB=BA,DNPA,BNPA,又DNBN=N,PA面BDN,PABD,过A作AMBD,交BD的延长线于M,连接PM,又PAAM=A,BD面PAM,又BD面ABC,面PAM面ABC,过P作PHAM,垂足为H,又面PAM面ABC=AM,PH面ABC,即PH为四面体PBCD
18、的高.设PD=AD=x(0x0),则r24+r28=,解得r2=7,从而r=.15.(2017课标全国文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.解析解析本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD
19、.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN=x.因为PCD的面积为2,所以xx=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.所以四棱锥P-ABCD的体积V=2=4.16.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱
20、的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=A1PO1=622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h6,O1O=4h(m).连接O1B1.因为在RtPO1B1中,O1+P=P,所以+h2
21、=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+a2h=a2h=(36h-h3),0h6,从而V=(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=2或h=-2(舍).当0h0,V是单调增函数;当2h6时,V0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.方法小结方法小结(1)注意正四棱锥与正四棱柱底面相同,高的倍数关系.(2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变量的函数.转化成求函数最值的问题,再考虑用导数求解.17.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几
22、何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.+B.+C.+D.1+以下为教师用书专用答案答案C由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R=,则R=,所以半球的体积为R3=,又正四棱锥的体积为121=,所以该几何体的体积为+.故选C.易错警示易错警示没有从俯视图中正确得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=造成错解.或解题粗心,误认为半径R=1造成错解.评析评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式,正确得到几何体的直观图是解题关键.18.(2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正
23、四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.B.4C.2D.答案答案D如图为正四棱柱AC1.根据题意得A C=,对角面ACC1A1为正方形,外接球直径2R=A1C=2,R=1,V球=,故选D.19.(2013课标全国,6,5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A.cm3 B.cm3C.cm3D.cm3答案答案A设球心为O,正方体上底面中心为A,上底面一边的中点为B,在RtOAB中,|OA|=R-2(cm),|AB|=4(cm),|OB|=R(cm),
24、由R2=(R-2)2+42得R=5,V球=R3=(cm3).故选A.评析评析本题考查了正方体和球的组合体,考查了空间想象能力.利用勾股定理求出球半径R是解题的关键.20.(2013课标全国,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16答案答案A由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积为V=422+224=16+8.故选A.21.(2013湖北,8,5分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2
25、,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()A.V1V2V4V3B.V1V3V2V4C.V2V1V3V4D.V2V3V1V4答案答案CV1表示一个圆台的体积,底面直径分别为2,4,高为1,故V1=(4+2+)1=.V2表示圆柱的体积,底面直径为2,高为2,故V2=2.V3表示正方体的体积,棱长为2,故V3=23=8.V4表示一个棱台的体积,上、下底面分别为边长是2、4的正方形,高为1,故V4=(4+16+8)1=.比较大小可得V2V1V30,故该方程有两正根,即有序数对(x,z)有两对,则满足条件的平面有2个.综上,满足条件的平面有3个.故选C.2.(20
26、15浙江模拟训练冲刺卷一,3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则四面体A1-C1BD在面A1B1C1D1上的 正 投 影 的 面 积 是 该 四 面 体 的 表 面 积 的()A.B.C.D.答案答案A设正方体的棱长为a,则四面体A1-C1BD的表面积S1=4=2a2.四面体A1-C1BD在面A1B1C1D1上的正投影的面积S2=a2,则=.3.(2017浙江绍兴质量调测(3月),12)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为,体积为.二、填空题答案答案2+2;解析解析由三视图作出该空间几何体的直观图(如图所示).可知表面积为12+2+12+2=2+2,体积为122=.4.(2
27、017浙江金华十校调研,12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积为.答案答案12+;38+解析解析由三视图可知,该几何体为长方体和半圆的简单组合体,易知体积为341+13=12+,表面积为2(34+14+13)-12+412=38+.5.(2017浙江“超级全能生”高三3月联考,12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为;体积为.答案答案16+2+2;解析解析由三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体是一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC构成的组合体,底面直角梯形ABCD的面积为6,侧面CDEF的面积为4,侧面ABF的面积为2,侧面BCF的面积为2,侧面
28、ADE的面积为4,侧面AEF的面积为2,所以这个几何体的表面积为16+2+2.四棱锥A-CDEF的底面面积为4,高为4,其体积为44=,三棱锥F-ABC的底面面积为2,高为2,其体积为22=,故这个几何体的体积为+=.6.(2017浙江吴越联盟测试,11)一个多面体的三视图如图所示,则其表面积为,体积为.答案答案20;解析解析由三视图还原直观图(如图),易求得表面积S=222+22+212+(+2)=20,体积V=23-2=.评析评析本题考查空间几何体的三视图,以及体积和表面积的计算,考查学生的空间想象能力和计算能力.7.(2017浙江测试卷,12)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该
29、几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案答案20+4;8解析解析由题意知,该几何体为直三棱柱,故其表面积为S=242+22+42+22=20+4,体积为V=422=8.8.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,10)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是,体积是.答案答案12+2;4解析解析由三视图可知该几何体是平面BEFG截正方体所得的多面体ABCDEFG,如图.其中AE=CG=1,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形BEFG是菱形,其对角线的长分别为2,2.故表面积为22+212+22+22=12+2,易知该几何体的体积为正方体体积的一半,即体积为222=4.评析评析本题考查三视图的概念和性质,多面体的表面积和体积的计算.
