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1、试卷第 1 页，共 12 页专题专题 03 与代数式相关的五种排列规律与代数式相关的五种排列规律题型一：数字与数式的排列规律 题型二：数表的排列规律 题型三：数阵的排列规律 题型四：图阵中点的排列规律题型五：图形的排列规律 题型一：数字与数式的排列规律1观察下列等式：第 1 个等式：111111 323a=-；第 2 个等式：211113 5235a=-；第 3 个等式：311115 7257a=-；第 4 个等式：411117 9279a=-请解答下列问题：(1)按以上规律列出第 5 个等式：5a=(2)用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：na=（n 为正整数）；(3)求11121399
2、100aaaaa+L一、单选题（共一、单选题（共 2 小题）小题）2观察等式：232222+=-，23422222+=-，2345222222+=-，若502x=用含 x 的式子表示；5051529910022222+L，结果是（）A22xx-B222x-C22xx-D22x-3观察下列等式：试卷第 2 页，共 12 页22312 4-=22532 8-=22752 12-=那么第 n（n 为正整数）个等式为（）A222222nnn-=-B221122nnn+-=C22222242nnn-=-D2221212 4nnn+-=二、解答题（共二、解答题（共 3 小题）小题）4观察下列各式的计算结果
3、：22221131311;244221182411;3993311153511;416164411244611.5252555-=-=-=-=-=-=-=-=(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：2116-=；211n-=(2)用你发现的规律计算：22222111111111123420192020 -L5观察下列等式 231 216=2252 3126 =+22273 41236=+(1)请写出第 5 个等式：(2)猜想第 n（n 为正整数）个等式，并计算 222212320+L的值6观察下列算式：第 1 个等式：261 213=第 2 个等式：2262 3125=+试卷第 3 页，共 1
4、2 页第 3 个等式：22263 41237=+(1)请写出第 5 个等式：_；(2)写出第n个（n为正整数）等式；(3)计算：222213511+L的值题型二：数表的排列规律7观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在后面的横线上写出相应的等式：211=；21 32+=；21 353+=；_；21 35795+=；(2)若 n 表示任意一个整数，则 2n 可以表示任意一个偶数，请你写出第 n 个等式；(3)利用（2）中的等式，计算：41434599+L一、单选题（共一、单选题（共 2 小题）小题）8如图，在 22 的网格内各有 4 个数字，各网格内数字都有相同的规律，c 为（）A
5、990B9900C985D98509干支纪年是中国传统纪年方法干支是天干和地支的总称，“甲、乙”等十个符号叫天干；“子、丑”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅）正好六十为一周期，周而复始，循环记录有人总结出纪年算法的辅助表如下甲乙丙丁戊已庚辛壬癸十天干4567890123子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥十二地支45678910110123由上表很快算出 1911 年是辛亥年，1984 年是甲子年，2000 年是庚辰年，那么 2024 年是试卷第 4 页，共 12 页（）A庚子B丁酉C壬卯D甲辰二、解答题（共二、解答题（共 2 小题）小题）10将连续的奇数 1，3，5，7
6、，9，39，排成如图 1 所示的数阵(1)如图 2，求方框中四个数的平均数；(2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为 a求方框中四个数的和（用含 a 的代数式表示），并说明这个和能被 4 整除11探索规律：观察下面由组成的图案和算式，解答问题：21 342+=21 3593+=21 357164+=21 3579255+=(1)请猜想1 357917+=；(2)请猜想 1 3579212123nnn+-+=；(3)请用上述规律计算：103 105 10720072009+题型三：数阵的排列规律 12如图所示的数表是由 1 开始的连续自然数组成的，观察规律并解决下列问题：试卷第 5 页
7、，共 12 页(1)第 10 行的最后一个数是_；(2)第 20 行共有_个数；(3)数字 2023 排在第_行，从右往左数是第_个数一、单选题（共一、单选题（共 2 小题）小题）13已知一列数：1、2、3、4-、5、6-、，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第 10 行数的第 1 个数是（）A46-B36-C37D4514杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示nab+（此处0n=，1，2，3，4，5，）的计算结果中的各项系数：则6ab+各项系数的和为（）A32B48C64D128二、解答题（共二、解答题（共 4 小题）小题）15观察下列正整数的
8、排列顺序：试卷第 6 页，共 12 页解答以下问题：(1)35 排在第几行第几列？(2)第 10 行第 10 列的数是多少？第n行n列的数呢？（用含n的代数式表示）(3)2023 排在第几行第几列？16下面的数表是由从 1 开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答(1)表中第 8 行的最后一个数是_，它是自然数_的平方，第 8 行共有_个数；(2)用含 n 的代数式表示：第 n 行第一个数是_，最后一个数是_，第 n 行共有_个数；(3)求第 20 行各数之和17观察下面三行数：2，4-，8，16-，32，64-，4，2-，10，14-，34，62-1，2-，4，8-，16，32-(1
9、)第行的第 8 个数为_，第行的第 8 个数为_，第行的第 8 个数为_(2)取每行的第 10 个数，计算这三个数的和18材料一：杨辉三角（如图1），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作详解九章算法中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了nab+（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题试卷第 7 页，共 12 页材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用na表示这一列数中的第n个，则数列为11a=，2
10、1a=，32a=，43a=，55a=，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即21nnnaaa+=+（n为正整数）结合材料，回答以下问题：(1)多项式5ab+展开式共有_项，各项系数和为_，利用展开式规律计算：5432111115101051_22222-+-+-=(2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，记11b=，23b=，36b=，410b=，则8_b=；_nb=（用n表示）；1231001111_bbbb+=(3)如图 2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得11a=，21a=，32a=，43a=，55a=，68a=，若123nnTaaaa=+，
11、且2024Tk=，结合材料二，求2026a的值（用 k 表示）题型四：图阵中点的排列规律19如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个点第 n 行有 n 个点，我们将前 n 行的点数和记为nS，如11S=，410S=，则nS不可能是（）试卷第 8 页，共 12 页A20B15C28D36一、解答题（共一、解答题（共 4 小题）小题）20有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推(1)填写下表中的空格：层数123456该层对应的点数161218所有层的总点数17(2)根据上表中的数据，试推断：第n层（2n）的
12、点数为_（用n的代数式表示）；n层六边形点阵的总点数为_（用n的代数式表示）21如图是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图 1 中共有4个黑点，图2中共有9个黑点，图3中共有14个黑点，图4中共有19个黑点，L，依此规律，请解答下列问题(1)图n中共有_个黑点；（用含n的式子表示）试卷第 9 页，共 12 页(2)若图n中共有2024个黑点，求n的值22用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去(1)第 5 个图形用的棋子的个数为_，第 n 个图形用的棋子个数为_；(2)若第 m 个图形用的棋子个数超过 57 个，求 m 的最小值23化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为
13、碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第 1 个结构式中有 1 个 C 和 4 个 H，分子式是4CH；第 2 个结构式中有 2 个 C 和 6 个 H，分子式是26C H；第 3 个结构式中有 3 个 C 和 8 个 H，分子式是38C H按照此规律，回答下列问题(1)第 6 个结构式的分子式是_；(2)第 n 个结构式的分子式是_；(3)试通过计算说明分子式20244048CH的化合物是否属于上述的碳氢化合物题型五：图形的排列规律 24【问题提出】2024欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛24支参赛球队分成6个小组，小组赛每小组4支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队
14、比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5 4条线段，实际只有5 4102=条线段试卷第 10 页，共 12 页（1）若某次比赛有6支队伍进行单循环比赛，借助图，我们可知一共要安排_场比赛；（2）根据以上规律，若有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排_场比赛【实际应用】（3）2024年欧洲杯足球赛，总计需要安排_场小组赛（4）甬舟铁路预计2028年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半
15、小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_种一、解答题（共一、解答题（共 4 小题）小题）25用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：第个图形中有 2 张正方形纸片；第个图形中有2 1262 3+=张正方形纸片；第个图形中有2 123123 4+=张正方形纸片；第个图形中有2 1234204 5+=张正方形纸片；LL；试卷第 11 页，共 12 页请你观察上述图形与算式，完成下列问题：(1)观察可得：123n+=L_（用含 n 的代数式表示）；(2)根据你的
16、发现计算：121 122 123300+L26由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图 1、图 2、图 3，完成如下解答(1)填写下表：图序正六边形个数正方形个数正三角形个数图 1166图 22图 33(2)图 n 中，正方形地砖数量为_块、正三角形地砖的数量为_块；求图 10 中正方形地砖和正三角形地砖的总数量27【阅读】邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第 1 次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第 2 次操作依此类推，若第n次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为n阶方形如图 1，邻边长分别为 1 和 2 的长方形只需第 1 次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为 1 阶方形；显然，图 2 是一个 2 阶方形；如图 3，邻边长分别为2 和 3 的长方形是 2 阶方形试卷第 12 页，共 12 页【探索】（1）已知长方形的邻边长分别为 1 和(1)a a，且这个长方形是 3 阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出a的值【拓展】（2）若长
