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1、动力学动力学110-10-1 转动惯量转动惯量一、转动惯量的一般公式一、转动惯量的一般公式 刚体对坐标轴的转动惯量刚体对坐标轴的转动惯量: : 不计厚度的平面刚体不计厚度的平面刚体: : 第十章第十章 动量矩定理动量矩定理例例10-1： 已知质量已知质量m的匀质杆，杆长为的匀质杆，杆长为l，求转动惯量求转动惯量Jz回转半径回转半径即：即：zxdxdmx例例10-2：匀质平板如图示匀质平板如图示, ,边长分别为边长分别为a,b长度长度. .求求:(:(1)1)对边的对边的转动惯量转动惯量, ,(2)对平板角端的转动惯量。对平板角端的转动惯量。例例10-3：试计算半径为试计算半径为R的均质等厚圆板
2、对于中心轴的转动惯量。的均质等厚圆板对于中心轴的转动惯量。 解：解：例例10-4：试计算半径为试计算半径为R的均质圆柱体对于中心轴的转动惯量。的均质圆柱体对于中心轴的转动惯量。 二、转动惯量的平行移轴公式二、转动惯量的平行移轴公式质心质心C的坐标为（的坐标为（d,0,zC） 任一质量元任一质量元dm的坐标为（的坐标为（x、y、z） 转动惯量的平行移轴公式转动惯量的平行移轴公式zCxzO例例10-5： 匀质杆质量匀质杆质量m，杆长，杆长l，求转动惯量求转动惯量JzC定义：质点动量定义：质点动量 对对O点的矩点的矩质点动量对质点动量对 z 轴的矩轴的矩设质点设质点A的动量为的动量为 ，对固定点的矢
3、径为，对固定点的矢径为r。 质点的动量矩质点的动量矩 质点系的动量矩质点系的动量矩定义：定义：110-2 0-2 质点系的动量矩质点系的动量矩 OzAOzAzAzab 质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩与对质心的动量矩与对质心C点动量矩的关系点动量矩的关系 考虑到质心公式考虑到质心公式 和和其中其中1、Q点与质点系的质心点与质点系的质心C点重合：点重合： 讨论：讨论：质点系对任一固定参考点质点系对任一固定参考点O O的动量矩，等于质点系相的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心的动量对对于质心的动量矩与质心的动量对O O点之矩的矢量和点之矩的矢量和 2 2、当、当Q点与质心点与质心C重
4、合：重合： 3 3、当、当Q点为固定点点为固定点 ：4 4、当、当 时时 ：三、定轴转动刚体的动量矩：三、定轴转动刚体的动量矩： 作平面运动的刚体对任一固定点作平面运动的刚体对任一固定点O的动量矩的动量矩 例例10-6： 已知半径为已知半径为r的均质轮，在半径为的均质轮，在半径为R的固定凹面上的固定凹面上只滚不滑，轮重只滚不滑，轮重W，均质杆均质杆OC重重P，杆长杆长l，在图示瞬时杆在图示瞬时杆OC的角速度为的角速度为 ，求系统在该瞬时对，求系统在该瞬时对O点的动量矩点的动量矩 解：解：1 10-3 0-3 质点系动量矩定理质点系动量矩定理一、质点系对固定点一、质点系对固定点O的动量矩定理的动
5、量矩定理 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。 注意到：注意到：投影形式：投影形式： 例例1 10-7A:0-7A:重量为重量为P的物体绕的物体绕O支座摆动支座摆动, ,写出摆动周期写出摆动周期解解:动量矩定理动量矩定理:摆动方程摆动方程:摆动周期摆动周期xyPlO例例1 10-7B:0-7B: 将将O支座处增加弹性系数支座处增加弹性系数k的螺旋弹簧的螺旋弹簧, ,写出摆动周期写出摆动周期解解:摆动方程摆动方程:摆动周期摆动周期xylPO例例10-8 已
6、知：半径为已知：半径为r，滑轮重为滑轮重为G，将其视为圆环。将其视为圆环。A物物重为重为P，B物重为物重为Q，且且PQ。 求：两重物的加速度及轮的角加速度。求：两重物的加速度及轮的角加速度。ABO解：解：研究对象为轮、物体研究对象为轮、物体A A和和B B。分析受力，分析受力，运动分析运动分析QPG对对O点应用动量矩定理点应用动量矩定理得二、质点系相对于质心的动量矩定理二、质点系相对于质心的动量矩定理 又：又：（1）（2）（1）=（2）质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。
7、 三、质点系动量矩守恒定律三、质点系动量矩守恒定律 动量矩定理的积分形式动量矩定理的积分形式 质点系对固定点质点系对固定点O O的动量矩在一段时间内的增量，等于作的动量矩在一段时间内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间段内对用于质点系的外力在同一时间段内对O O点的冲量矩之和。点的冲量矩之和。 1、2、质点系动量矩守恒质点系动量矩守恒动量矩守衡定理实例动量矩守衡定理实例冰上芭蕾冰上芭蕾 1J1 2J2 1 J1= 2 J2 J1 J2, 1 J2, 1 PBr2.动量矩动量矩:外力矩外力矩:动量矩定理动量矩定理:运动学关系运动学关系:解得解得:质点定理质点定理:vAvBAm1vAFAm1B
8、vBFBFxFyAm1m1Bm2r1r20 FxFy例例1 10-130-13：齿轮传动装置，开始时角速度分别为齿轮传动装置，开始时角速度分别为 0101， 0202，重分别为重分别为P P1 1，P P2 2，求耦合后的求耦合后的 1 1值。值。解解: 左左轮轮: :右右轮轮: :运动学关系运动学关系:方程右端化简相等方程右端化简相等: :有有: 1R1 2R2 02 01R1R2FNFFFN例例10-14：已知：主动轮已知：主动轮A的半径为的半径为r1，转动惯量为转动惯量为J1 ，转动力矩转动力矩为为M ，从动轮从动轮B的半径为的半径为r2，转动惯量为转动惯量为J2，均质胶带长为均质胶带长
9、为l，质质量为量为m。求：主动轮的角加速度求：主动轮的角加速度解解： 1. 受受力力分分析析，设设A轮轮和和B轮轮的的皮皮带带长长分分别为别为l1、l2，单位长度胶带的质量为单位长度胶带的质量为 ，2. 运动分析：设轮运动分析：设轮A A和轮和轮B B的角速度和角的角速度和角加速度分别为加速度分别为 1、 2、 1、 2 。有有分别对分别对A轮轮和和B轮轮用动量矩定理：用动量矩定理：对对A： 对对B： 联立联立未知量未知量由于由于(3)(4)将将(3)(4)(3)(4)代入代入(2)(2) (5)由由 其中其中110-5 0-5 刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程SyzxyzxSac
10、 刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程例例10-15：均匀圆盘沿斜坡滚下，已知盘重均匀圆盘沿斜坡滚下，已知盘重P，半径半径 r, 求：求：下滚时盘质心的加速度与摩擦力。下滚时盘质心的加速度与摩擦力。解解:有有:得得: yx 例例10-16：杆杆OA长长l，重重P。可可绕绕过过O点点的的水水平平轴轴转转动动，A端端铰铰接接一一半半径径为为R、重重为为Q的的均均质质圆圆盘盘，初初瞬瞬时时OA杆杆处处于于水水平平位位置置，系系统统静静止止。略略去去各各处处摩摩擦擦，求求OA杆杆转转到到任任意意位位置置（用用 角角表表示示）时的角速度时的角速度 及角加速度及角加速度 。解解：受力分析受力分析由
11、圆轮受力图由圆轮受力图因此因此 00，圆盘在运动过程中作平移，圆盘在运动过程中作平移运动分析运动分析Q整体对整体对O O点应用动量矩定理点应用动量矩定理求求OA杆的角加速度杆的角加速度 JA 0由上式解出由上式解出求求OA杆的角速度杆的角速度 分离变量分离变量 积分积分得得 当瞬心离质心矩离是常数，或瞬心的加速度恒当瞬心离质心矩离是常数，或瞬心的加速度恒指向质心时也可以选瞬心为指向质心时也可以选瞬心为动量矩的矩心。动量矩的矩心。例例1:例例2:vBvCvA AB BIvDD例例1 10-170-17： 定齿轮固定在水平面上，重量为定齿轮固定在水平面上，重量为P的杆绕的杆绕O点转动，杆点转动，杆
12、长长l，并通过并通过O1，带动半径带动半径r，重为重为P1的动齿轮转动的动齿轮转动,已知：主动力已知：主动力偶为偶为M。求动齿轮的角加速度，两个齿轮之间的切向力。求动齿轮的角加速度，两个齿轮之间的切向力。解解:杆对杆对0取动量矩取动量矩:轮对轮对A取动量矩取动量矩:运动学关系运动学关系:有有:轮对质心取动量矩轮对质心取动量矩:001l600M 00600MFnF FNFFxFyFn01 01F A例例10-18：均匀圆盘重量均为均匀圆盘重量均为P，半径均为半径均为r。求：。求：B物体物体滚下时质心的加速度与绳子张力。滚下时质心的加速度与绳子张力。解解:加速度加速度:绳子张力绳子张力:ABPP
13、B BFFaB B A A例例1 10-190-19：均质鼓轮放置粗糙的地面上，在半径为均质鼓轮放置粗糙的地面上，在半径为r 的轴柱上绕的轴柱上绕着绳索，索的拉力为着绳索，索的拉力为F1 1，F2 2。求：轮的角加速度，摩擦力。求：轮的角加速度，摩擦力。解解:0:x:或或:运动学关系运动学关系:得得:RF2F10IFNF a例例1 10-200-20：一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置，然后松手置，然后松手, ,求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。解解:条件条件:1. aCx=0Y方向投影方向投影:c:
14、y:xyP F l/2ac AaA2. t=0, =0=0。例例1 10-210-21：截面为截面为A的水管约束如图，单位时间内流过管的水管约束如图，单位时间内流过管道的水体质量为道的水体质量为m，求：求：A，B支座的动反力。支座的动反力。解解:FB动动FAx动动FAy动动例例1 10-220-22：均质杆重为均质杆重为P，被绳索如图约束，突被绳索如图约束，突然剪断右侧绳索然剪断右侧绳索, ,求：此时左侧绳索张力。求：此时左侧绳索张力。解解:条件条件: vA=0运动学关系运动学关系: n600ABCPFAa A例例10-23：4kg的的均均质质板板静静止止悬悬挂挂。求求：B点点的的绳绳或或弹弹簧簧被被剪剪断断的的瞬瞬时时，质心加速度各为多少。质心加速度各为多少。解：解：1.考虑第一种情况，作受力分析考虑第一种情况，作受力分析和运动分析，如图所示。和运动分析，如图所示。应用刚体平面运动微分方程应用刚体平面运动微分方程又由又由(1)(1)知知acx0 初瞬时初瞬时 0则有则有所以所以(4)联立解联立解(2)(3)(4)(2)(3)(4)式式 2.考虑第二种情况，受力分析如下，考虑第二种情况，受力分析如下，初瞬时弹簧还未变形，初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为弹簧力为根据平面运动微分方程根据平面运动微分方程由由(2)(2)式得式得 m/s2 本章结束
