《多自由度系统的动力学方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多自由度系统的动力学方程课件（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、矩阵形式：矩阵形式：存在惯性耦合存在惯性耦合存在弹性耦合存在弹性耦合多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程问：问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：即：若能够，则有：若能够，则有：方程解耦，变成了两个单自由度问题方程解耦，变成了两个单自由度问题使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标主坐标多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统
2、的动力学方程讨论：讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa1a2el1l2lk1k2选取选取D点的垂直位移及点的垂直位移及角位移作为坐标角位移作为坐标选取质心选取质心C点的垂直位点的垂直位移及角位移作为坐标移及角位移作为坐标多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令：令：令：令：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：写成
3、矩阵形式：写成矩阵形式：坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCDCCD和和 的关系的关系在在C点加一对大小相等、方向相反的力点加一对大小相等、方向相反的力得：得：写成矩阵形式：写成矩阵形式：T 非奇异，因此：非奇异，因此：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程得：得：验证：验证：将将代入代入D点的方程，并左乘点的方程，并左乘 ：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程结论：结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所
4、选择的两种不同的坐标X X 和和和和Y Y 有如下的变有如下的变有如下的变有如下的变换关系：换关系：换关系：换关系：其中其中其中其中T T 是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标X X下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：那么在坐标那么在坐标那么在坐标那么在坐标Y Y 下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：如果恰巧如果恰巧Y 是主坐标：是主坐标：对角阵对角阵这样的这样的T 是否存在？如何寻找？是否存在？如何寻找？多自由度系统振动多自由度系
5、统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 固有频率固有频率固有频率固有频率 模态模态模态模态 模态的正交性模态的正交性模态的正交性模态的正交性 主质量和主刚度主质量和主刚度主质量和主刚度主质量和主刚度 模态叠加法模态叠加法模态叠加法模态叠加法 模态截断法模态截断法模态截断法模态截断法多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：固有振动方程：固有振动方程：在考虑系统的固有振动时，首先考察系统的在考虑系统的固有振动时，首先考察系统
6、的同步振动同步振动，即系，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。都相同的运动。 假设系统的运动为：假设系统的运动为： 运动规律的时间函数运动规律的时间函数 常数列向量常数列向量 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动代入，并左乘代入，并左乘 ：常数：常数M 正定，正定，K 正定或半正定正定或半正定 对于非零列向量对于非零列向量 ： 令：令：对于半正定系统，有对于半正定系统，有 对于正定系统必有对于正定系统必有 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振
7、动多自由度系统的自由振动a、b、 为常数为常数正定系统正定系统 （1）正定系统）正定系统 只可能出现形如只可能出现形如 的同步运动的同步运动系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动（2）半正定系统）半正定系统 半正定系统半正定系统可能出现形如可能出现形如 的同步运动的同步运动也可能出现形如也可能出现形如 的同步运动的同步运动（不发生弹性变形（不发生弹性变形 ）主振动主振动首先讨论正定系统的主振动首先讨论正定系统的主振动 M 正定，正定，K 正定正定主振动：
8、主振动：正定系统：正定系统：将常数将常数a并入并入 中中代入振动方程：代入振动方程： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零 特征方程特征方程 解出解出 n 个值，按升序排列为：个值，按升序排列为： ：第第 i 阶固有频率阶固有频率频率方程频率方程或特征多项式或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 ：基频：基频多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率采用位移
9、方程求解固有频率 位移方程：位移方程：柔度矩阵柔度矩阵自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： 代入，得：代入，得： 特征值特征值？解释：解释：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率采用位移方程求解固有频率 位移方程：位移方程：柔度矩阵柔度矩阵自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： 代入，得：代入，得： 特征值特征值特征方程：特征方程： 特征根按降序排列：特征根按降序排列： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：三自由度系统例：三自由度系统m2k
10、mmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的模态（主振型）多自由度系统的模态（主振型）正定系统：正定系统：主振动：主振动：特征值问题：特征值问题：特征值特征值特征向量特征向量 n 自由度系统：自由度系统：（固有频率）（固有频率）（模态）（模态）一一对应一一对应代入，有：代入，有：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动当当 不是特征多项式的重根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有个方程中有且只有一个是不独立的一个是不独立的 设最后一个方程不独立，把它划去，
11、并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个的某个元素（例如元素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的表示的 否则应把含否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动为使计算简单，令：为使计算简单，令：则有：则有：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动当当 不是特征多项式的重根时，上式的不是特
12、征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个方程中有且只有一个不独立个不独立 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端 例：三自由度系统例：三自由度系统2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动以以 为例进行说明为例进行说明将将 代入，有：代入，有：由第三个方程，得：由第三个方程，得：代入第二个方程：代入第二个方程：与第一个方程相同与第一个方程相同方程组中有一式不独立方程组中有一式不独立例如，将第三个
13、方程去掉例如，将第三个方程去掉因此若令因此若令 可解出可解出多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动整理整理令：令：解得：解得：的的值也可以取任意非零常数也可以取任意非零常数将解得将解得 特征向量特征向量在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为过程称为归一化归一化 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动正定系统：正定系统：主振动：主振动：将将 ， 代入主振代入主振动方程方程并将并将改改为第第 i 阶主振动阶主振动 ：系系统在各个坐在各个坐标上
14、都将以第上都将以第i阶固有固有频率率 做做简谐振动，简谐振动，并且同时通过静平衡位置并且同时通过静平衡位置 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第第 i 阶主振动阶主振动 ：比值：比值：第第i阶特征向量阶特征向量 中的一列元素，就是系统做第中的一列元素，就是系统做第i阶主振动时各阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值个坐标上位移（或振幅）的相对比值 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定动形态已确定 描述了系统做第描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态，称为阶
15、主振动时具有的振动形态，称为第第i阶主阶主振型振型，或，或第第i阶模态阶模态主振动仅取决于系统的主振动仅取决于系统的M阵，阵，K阵等物理参数。这一重要概念阵等物理参数。这一重要概念是单自由度系统所没有的是单自由度系统所没有的 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动正定系统：正定系统：第第 i 阶主振动阶主振动 ：系统的自由有振动：系统的自由有振动：n个主振动的叠加个主振动的叠加 模态叠加法模态叠加法由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的自由有由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的自由有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动振动一般不是
16、简谐振动，甚至不是周期振动 初始条件决定初始条件决定多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动正定系统：正定系统：特征值问题：特征值问题：特征矩阵特征矩阵记为记为 B或或当当 不是重特征根不是重特征根时，可以通，可以通过B的伴随矩的伴随矩阵 求得求得相应的主振型相应的主振型根据逆矩阵定义根据逆矩阵定义 ：两两边左乘左乘 ：当当 时时 ：或或的任一非零列都是第的任一非零列都是第i阶主振主振 动多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：求固有频率和主振型例：求固有频率和主振型解：解：动力学方程：动力学方程：令主振动
17、：令主振动： 或直接用或直接用 得：得： m2m2kkkx1x2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动令令 特征方程：特征方程： 为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入 ：一个独立一个独立 令令则则第一阶主振型：第一阶主振型：令令则则将将 代入代入第二阶主振型：第二阶主振型：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：画图：以横坐标表示静平衡位画图：以横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元置，纵坐标表示主振型中各元素的值素的值 第一阶主振动，两个质
18、量在静平第一阶主振动，两个质量在静平衡位置的同侧，做着同向运动。衡位置的同侧，做着同向运动。而做第二阶主振动时，两质量在而做第二阶主振动时，两质量在平衡位置的异侧，做着异向运动平衡位置的异侧，做着异向运动 有一点始终不振动，称为有一点始终不振动，称为节点节点 1121多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动无节点无节点 一个节点一个节点 m2m2kkkx1x2例：求固有频率和主振型例：求固有频率和主振型解：解：动力学方程：动力学方程：令主振动：令主振动： 或直接用或直接用 得：得： 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多
19、自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动令令 令特征矩阵的行列式令特征矩阵的行列式0特征方程：特征方程：本本题中中 都是单根都是单根 可用特征矩阵的伴随矩阵求阵型可用特征矩阵的伴随矩阵求阵型 特征矩阵特征矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动选上式右端矩上式右端矩阵的第一列，分的第一列，分别代入代入 的的值得：得：第二阶模态有第二阶模态有1个节点，第三阶模态有个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出元素符号变号的次数可以判断出多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系
20、统的自由振动模态图形：模态图形：1121-11-11第一阶模态：第一阶模态：第二阶模态：第二阶模态：第三阶模态：第三阶模态：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点单自由度系统单自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动两自由度系统两自由度系统第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态一个节点一个节点无节点无节点节点位置节点位置多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第一阶模态第一阶模态第二
21、阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态三自由度系统三自由度系统节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态四自由度系统四自由度系统一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点节点位置节点位置无节点无节点多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动模态的正交性，主质量和主刚度模态的正交性，主质量和主刚度设 、 对应的模的模态分分别为 、 两式相减：两式相减：转置右乘转置右乘左乘左乘
22、若若 时，时， 模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性均满足：均满足：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动当当 ij 时，表达式恒成立时，表达式恒成立令：令：第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度第第 i 阶主模态阶主模态模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性当当 ij 时时主质量主质量主刚度主刚度当当 时时利用利用 Kronecker （克罗内克克罗内克 ）符号，可综合写为：）符号，可综合写为： 多自由度系统振动多自由度系统振动 /
23、多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主模态主模态：第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度第第 i 阶主模态阶主模态多自由度系统：多自由度系统：另一种模态：另一种模态：正则模态正则模态定义：使全部主质量皆为定义：使全部主质量皆为1的主模态的主模态 令：令：正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动相对于相对于 的主刚度：的主刚度：正则模态的正交性条件：正则模态的正交性条件：主模态的正交性条件：主模态的正交性条件：第第 i 阶模态主
24、质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度第第 i 阶主模态阶主模态主模态：主模态：主质量为主质量为1主刚度为固有频主刚度为固有频率的平方率的平方第第 i 阶正则模态阶正则模态正则模态：正则模态：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统：多自由度系统：主模态主模态将将 组成矩阵组成矩阵模态矩阵模态矩阵主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵正交性条件：正交性条件：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动推导：推导：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由
25、振动多自由度系统：多自由度系统：正则模态正则模态将将 组成矩阵组成矩阵正则模态矩阵正则模态矩阵单位矩阵单位矩阵谱矩阵谱矩阵正交性条件：正交性条件：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统：多自由度系统：特征值问题：特征值问题：依次取依次取 ，得到的，得到的 n 个方程，可合写为：个方程，可合写为：主模态正交性条件：主模态正交性条件：左乘左乘 ：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：三自由度系统例：三自由度系统模态矩阵：模态矩阵：主质量矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：主刚度矩阵：非对角线顶等于零说
26、明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的非对角线顶等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的 谱矩阵：谱矩阵：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动模态矩阵：模态矩阵：主质量矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：主刚度矩阵：谱矩阵：谱矩阵：正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系：正则模态矩阵：正则模态矩阵：不难验证，有：不难验证，有： 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动模态叠加法模态叠加法模态模态相互正交相互正交 表明它们是线性独立的
27、，可用于构成表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基维空间的基 系统的任意系统的任意n维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合 即系统的振动为即系统的振动为n阶主振动的叠加阶主振动的叠加模态叠加法模态叠加法 物理坐标物理坐标主模态坐标主模态坐标模态矩阵模态矩阵坐标关系：坐标关系：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动另一种模态坐标：正则模态坐标另一种模态坐标：正则模态坐标物理坐标物理坐标正则模态坐标正则模态坐标系统响应：系统响应：正则模态矩阵正则模态矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度
28、系统的自由振动多自由度系统的自由振动小结：小结：多自由度系统：多自由度系统：可采用两类模态坐标进行描述可采用两类模态坐标进行描述主模态坐标主模态坐标正则模态坐标正则模态坐标多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应可分别采用两类模态坐标进行求解可分别采用两类模态坐标进行求解首先采用主模态坐标首先采用主模态坐标自由振动方程：自由振动方程： 坐标变换：坐标变换：主模态坐标：主模态坐标：主模态矩阵：主模态矩阵代入，并左乘代入，并左乘 ：模态坐标初始条件：模态坐标初始条件：多自由度系统振动多自由度系统振
29、动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动自由振动方程：自由振动方程： 坐标变换：坐标变换：展开模态坐标动力学方程：展开模态坐标动力学方程：求得：求得：在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解式求得原系统的解 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应采用正则模态坐标采用正则模态坐标自由振动方程：自由振动方程： 坐标变换：坐标变换：正则模态坐标：正则模态坐标 ：正则模态矩阵：正则模态矩阵代入，并左乘代入，并左乘 ：模态坐标初始条件：模态坐标初始条件：多自由度系统振动多自由度
30、系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动自由振动方程：自由振动方程： 坐标变换：坐标变换：展开模态坐标动力学方程：展开模态坐标动力学方程：求得：求得：在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解式求得原系统的解 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动例：三自由度系统例：三自由度系统求：系统在初始条件下的响应求：系统在初始条件下的响应2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动解：解：动力学方程：动力学方程：模态坐标响应：模态坐标响应：模态初始条件：模态初始条
31、件：正则模态矩阵：正则模态矩阵：原系统响应：原系统响应：分析：分析：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动模态叠加法小结：模态叠加法小结：物理空间物理空间耦合耦合主模态空间主模态空间解耦解耦物理空间物理空间耦合耦合正则模态空间正则模态空间解耦解耦模态截断法模态截断法对自由度数对自由度数 n 很大的复杂振动系统，不可能求出全部的固有很大的复杂振动系统，不可能求出全部的固有频率和相应的主振型，然后用模态叠加法分析系统对激励的频率和相应的主振型，然后用模态叠加法分析系统对激励
32、的响应。响应。当激励频率主要包含低频成分时，可以撇去高阶振型及固有当激励频率主要包含低频成分时，可以撇去高阶振型及固有频率对相应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固有频率及频率对相应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固有频率及主振型近似分析系统响应，这种近似方法称作主振型近似分析系统响应，这种近似方法称作模态截断法模态截断法或或振型截断法振型截断法。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动n 自由度系统自由度系统 将前将前 r 阶模态阶模态 中组成的截断断模态矩阵记为中组成的截断断模态矩阵记为: 截断的主质量矩阵和主刚度矩阵截断的主质量矩阵和主刚度矩阵 截
33、断前截断前主质量主质量主刚度主刚度截断后截断后分别为前分别为前 r 个主质量和主刚度排成的个主质量和主刚度排成的 r 阶对角矩阵阶对角矩阵 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动截断后的主质量矩阵：截断后的主质量矩阵：截断后的主刚度矩阵：截断后的主刚度矩阵：系统的任意系统的任意n阶振动近似地表示为截断后的阶振动近似地表示为截断后的r阶模态和线性组合：阶模态和线性组合： 截断后的主坐标列阵截断后的主坐标列阵利用模态截断法可将利用模态截断法可将n自由度系统原有的自由度系统原有的n个坐标变换成较少个坐标变换成较少的前的前r个主坐标个主坐标 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动n 自由度系统：自由度系统：代入代入并左乘并左乘得：得：求出求出 后，再利用后，再利用 得到得到原原n自由度系统的近似解。自由度系统的近似解。 注：采用正则模态时，过程同上注：采用正则模态时，过程同上多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动
