波利亚怎样解题

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1、波利亚波利亚-怎样解题怎样解题2021/6/161主要内容介绍主要内容介绍v关于波利亚关于波利亚波利亚生平简介波利亚生平简介波利亚数学成就波利亚数学成就波利亚与他的怎样解题波利亚与他的怎样解题v第一章在教室中第一章在教室中目的目的主要部分，主要问题主要部分，主要问题2021/6/162前言：关于波利亚前言：关于波利亚v波利亚的生平简介波利亚的生平简介v波利亚的数学成就波利亚的数学成就v波利亚与他的怎样解题波利亚与他的怎样解题2021/6/163波利亚生平简介v波利亚（波利亚（GeorgePolya，1887-1985），美籍匈牙），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾利数学家。

2、生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学年在瑞士苏黎世工业大学任教，任教，1938年任数理学院院长。年任数理学院院长。1940年移居美国，年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。匈牙利科学院的院士。v著作：怎样解题、数学的发现、数学与著作：怎样解题、数学的发现、数学与猜想等，这些书被

3、译成很多国家的文字出版，成猜想等，这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。了世界范围内的数学教育名著。2021/6/164波利亚的数学贡献波利亚的数学贡献v波利亚在数学的广阔领域内有精深的造诣。他的数波利亚在数学的广阔领域内有精深的造诣。他的数学研究的最显著特点是他有极为广泛的兴趣，对实学研究的最显著特点是他有极为广泛的兴趣，对实变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。献，留下了以他的名字命名的术语和

4、定理。v另外，他一生发表达另外，他一生发表达200多篇论文和许多专著，他多篇论文和许多专著，他的论文被收集整理成四卷本的论文集，由美国麻省的论文被收集整理成四卷本的论文集，由美国麻省理工学院出版社出版理工学院出版社出版(前两卷在前两卷在1974年出版，后两年出版，后两卷在卷在1984年出版年出版) 2021/6/165波利亚与他的怎样解题波利亚与他的怎样解题v波利亚热心数学教育，十分重视培养学生波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的教育的根本宗旨根本宗旨是是“教会年轻人思考教会年轻人思考”。学。学习数学的主要目的在

5、于解题。习数学的主要目的在于解题。v波利亚致力于解题的研究，为了回答波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个一个好的解法是如何想出来的好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。研究所得写成怎样解题一书。2021/6/166v怎样解题这本书的核心是：他分解解题怎样解题这本书的核心是：他分解解题的思维过程得到的一张怎样解题表。这的思维过程得到的一张怎样解题表。这张表包括四大步骤：张表包括四大步骤：“弄清问题弄清问题”、“拟定拟定计划计划”、“实现计划实现计划”和和“回顾回顾”。其中，。其中

6、，对第二步即对第二步即“拟定计划拟定计划”的分析是最为引人的分析是最为引人入胜的。入胜的。v他认为只要解题按照这四个步骤去做，必定他认为只要解题按照这四个步骤去做，必定成功。成功。2021/6/167他指出寻找解法实际上就是他指出寻找解法实际上就是找出已知数与未找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。解计划。他把寻找并发现解法的思维过程分他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和解为五条建议和23个具有启发性的问题，它个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现

7、解法的思维过程的们就好比是寻找和发现解法的思维过程的慢慢动作镜头动作镜头，使我们对解题的思维过程看得见，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。摸得着。2021/6/168v波利亚的怎样解题表的精髓是：启发你波利亚的怎样解题表的精髓是：启发你去联想。去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。中所提出的建议和启发性问题吧。你以前见你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数试知

8、道一个可能用得上的定理？看着未知数试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。悉的问题。2021/6/169波利亚的怎样解题被译成16种文字，仅平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大中学生同样也是非常需要的和有益的。2021/6/1610第一章第一章在教室中在教室中v目的目的v主要问题主要问题,主要部分主要部分2021/6/1611一、目的一、目的v帮助学生帮助学生v问题、建议、思维活动问题

9、、建议、思维活动v普遍性普遍性v常识常识v教师与学生，模仿与实践教师与学生，模仿与实践2021/6/1612（一）帮助学生（一）帮助学生v波利亚说：波利亚说：“教师最重要的任务就是帮助学教师最重要的任务就是帮助学生生”，“教师对学生应当设身处地，应当了教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且能提出一个学生自己可能会产生的问题，且能提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。”2021/6/1613v1.以发展的眼光看待学生间的差异以发展的眼光看待学生间的差异

10、 有人的地方就有差异，因此我们必须承认差异的存在。对有人的地方就有差异，因此我们必须承认差异的存在。对于个体差异，作为老师要能注意到其潜能的一些特点。比如于个体差异，作为老师要能注意到其潜能的一些特点。比如有人以言语见长；有的却以动作技能超凡；有的惯于形象思有人以言语见长；有的却以动作技能超凡；有的惯于形象思维；而有的抽象思维占优势。所以对于有差异的个体，既要维；而有的抽象思维占优势。所以对于有差异的个体，既要发现他们潜能的优势，也要考虑如何帮助他们扬长避短，以发现他们潜能的优势，也要考虑如何帮助他们扬长避短，以点带面，最终获得全面的发展。点带面，最终获得全面的发展。教师应该怎样帮助学生？教师

11、应该怎样帮助学生？2021/6/1614v2.帮助学生树立自信心帮助学生树立自信心首先，要乐于给予你的学生他们需要或渴望的首先，要乐于给予你的学生他们需要或渴望的额外的帮助额外的帮助 。其次，要认真检查、监督学生的学习。其次，要认真检查、监督学生的学习。2021/6/1615v3.教学相长，和谐师生关系教学相长，和谐师生关系新课程要求改变师生间的关系。提倡要建立民主、平等的师新课程要求改变师生间的关系。提倡要建立民主、平等的师生关系。教师要爱护学生、尊重学生，要善于与学生平等交生关系。教师要爱护学生、尊重学生，要善于与学生平等交流、善于与学生沟通心灵。教师要转变学生观：弟子不必不流、善于与学生

12、沟通心灵。教师要转变学生观：弟子不必不如师，要与学生共同发展，共同学习，共同成长。教师要树如师，要与学生共同发展，共同学习，共同成长。教师要树立以学生为本，以学生的发展为本的教育理念。因为教师教立以学生为本，以学生的发展为本的教育理念。因为教师教学的最终目的是为了学生的发展。在教学中要注意师生间的学的最终目的是为了学生的发展。在教学中要注意师生间的互动、学生间的互动，尤其要注意学生之间的互动。使他们互动、学生间的互动，尤其要注意学生之间的互动。使他们探究学习、主动发展。在这个过程中，教师要做好反馈工作，探究学习、主动发展。在这个过程中，教师要做好反馈工作，根据学生的实际及时进行调整，力求做到兼

13、顾到每一位学生，根据学生的实际及时进行调整，力求做到兼顾到每一位学生，同时有要使教学工作向着有利于学生发展的方向发展。同时有要使教学工作向着有利于学生发展的方向发展。2021/6/1616v4.让不同的人在数学上得到不同的发展，特别是使让不同的人在数学上得到不同的发展，特别是使学习困难的学生化被动学习为主动学习学习困难的学生化被动学习为主动学习v作为老师，要面向每一位同学，鼓励大家要认真思考，然后每一位成员阐述自己的想法，最后由发言人发言（经常轮换角色）。强迫他接受知识，教师则适时的给予激励。在他们听到你真棒！、你真聪明！等这些鼓励的话时，就能尝到成功的甜头，大家都跃跃欲试。逐步学会思考、学会

14、不懂多问、主动探求知识。 2021/6/1617（二）问题、建议、思维活动（二）问题、建议、思维活动v亚里士多德说过：亚里士多德说过：“思维从对问题的惊讶开始。思维从对问题的惊讶开始。v数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。维活动。首先要给学生思考的时间，数学学习是通过思考进行的，首先要给学生思考的时间，数学学习是通过思考进行的，没有学生的思考就没有真正的数学学习，而思考问题是没有学生的思考就没有真正的数学学习，而思考问题是需要一定的

15、时间的。需要一定的时间的。其次是启发要与学生的思维同步。其次是启发要与学生的思维同步。 2021/6/1618（三）普遍性（三）普遍性v问题具有普遍适应性。问题具有普遍适应性。提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么么?已知数是什么已知数是什么?条件是什么条件是什么?这些问题都是普遍适用的，这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学

16、的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，题或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。而且有助于我们解题。v问题难易适中。问题难易适中。 问题太难，不符合学生的知识水平和接受能力，会造成冷场，问题太难，不符合学生的知识水平和接受能力，会造成冷场，达不到目的，过浅对答如流，无助于思维的锻炼。国外研究达不到目的，过浅对答如流，无助于思维的锻炼。国外研究表明：探测问题的难度可用公式：表明：探测问题的难度可用公式：1减去（通过的人数除以减去（通过的人数除以全班人数）来

17、算，如果得数在全班人数）来算，如果得数在0.3-0.8就可视为适中，如果得就可视为适中，如果得数在数在0.3以下或超过以下或超过0.8则是要求太低或过高。则是要求太低或过高。2021/6/1619（四）常识（四）常识v数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的活动。然、认识自然的活动。v传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、独立思考能力受到了压抑。

18、而新教材在解决实际问题的教学独立思考能力受到了压抑。而新教材在解决实际问题的教学中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。v教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一些常用的解题策略些常用的解题策略。 2021/6/1620（五）教师与学生，模仿与实践（五）教师与学生，模仿与实践v当教师向学生提出表中的问题或建议时，他当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的问题；第二

19、，培养学生将来能够独立解题的能力。的能力。v解题是一种本领，是只有模仿和实践才能实解题是一种本领，是只有模仿和实践才能实现的本领。现的本领。v教师通过培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。2021/6/1621二、主要部分，主要问题二、主要部分，主要问题v波利亚解题表波利亚解题表v不同的方法不同的方法v教师的提问教师的提问v好问题与坏问题好问题与坏问题2021/6/1622（一）波利亚解题表（一）波利亚解题表1.弄清问题弄清问题2.拟定计划拟定计划3.实现计划实现计划4.回顾回顾2021/6/16231.弄清问题弄清问题v弄清问题就是重述问题，教会学生形成正确的审题弄清问题就是

20、重述问题，教会学生形成正确的审题方法方法 。首先，必须让学生了解问题的文字叙述。首先，必须让学生了解问题的文字叙述。 已知已知是什么是什么?未知是什么未知是什么?题目要求你干什么题目要求你干什么?可否画可否画一个图形一个图形?可否数学化可否数学化? 其次，要教会学生形成正确的审题方法。教师其次，要教会学生形成正确的审题方法。教师可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审题习惯，形成正确的审题方法。题习惯，形成正确的审题方法。另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求之间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。之间的关

21、系，特别是挖掘题中的隐含条件。2021/6/1624v怎样解题表-弄清问题v未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号把条件的各个部分分开你能否把它们写下来?2021/6/1625例子例子：已知长方体的长、宽、高，求其已知长方体的长、宽、高，求其对角线长度。对角线长度。 从例题中我们会发现问题：从例题中我们会发现问题：未知数是？对角线未知数是？对角线已知数是？长、宽、高已知数是？长、宽、高用哪个字母代表未知数？用哪个字母代表未知数？X长、宽、高用哪个字母表示？长、宽、高用哪个字母表示？a,

22、b,c联系联系a,b,c与与x的条件是？的条件是？X是长方体对角线，是长方体对角线，a,b,c是长方体的是长方体的长、宽、高长、宽、高这个问题的条件是否充分，能否确定未知数这个问题的条件是否充分，能否确定未知数x？充分，如果知？充分，如果知道道a,b,c,就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。2021/6/16262.拟定计划拟定计划v首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。和学生共同思考，

23、寻找解决问题的思想方法。v其次，教师应指导学生对数学解题过程进行其次，教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成数学学习最重要的内容数学学习最重要的内容数学的思想和方数学的思想和方法。法。2021/6/1627v怎样解题表-拟定计划v你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或者相似未知数的？看着未知数，试想出一个具有相

24、同未知数或者相似未知数的熟悉的问题。这是有一个与你现在的问题相关，且早已解决的熟悉的问题。这是有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题。你能不能利用它们？你能利用它的结果吗？你能利用它问题。你能不能利用它们？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？的方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能够重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙你能不能够重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，述它？如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，你能否想出一个更容易着手的有关的

25、问题？一个更普遍的问题你能否想出一个更容易着手的有关的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或者数据，或者它数据？如果需要的话，你能不能改变未知

26、数或者数据，或者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要概念？题中的必要概念？2021/6/16283.实现计划实现计划v实现计划，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能实现计划，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能力。力。v1、重视非智力因素的作用，规范运算过程。在教学中要重、重视非智力因素的作用，规范运算过程。在教学中要重视培养学生科学严谨一丝不苟的品质。视培养学生科学严谨一丝不苟的品质。v2、重

27、视基本知识的教学，强化运算基础。在教学中要注重、重视基本知识的教学，强化运算基础。在教学中要注重基本知识的讲授，要帮助学生加强对数学概念的理解，区分基本知识的讲授，要帮助学生加强对数学概念的理解，区分邻近概念，对基本公式、法则透彻掌握。邻近概念，对基本公式、法则透彻掌握。v3、在教学中利用变式教学、在教学中利用变式教学,将题设条件或结论作相应的变化将题设条件或结论作相应的变化,按照一定的梯度设置变式题按照一定的梯度设置变式题。 2021/6/1629怎样解题表实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤 你能否清楚地看出这一步骤是正确的? 你能否证明这一步骤是正确的?2021/6/16304.回顾回

28、顾v“回顾回顾”阶段阶段，就是加强解题后的反思教学，就是加强解题后的反思教学v 所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高数学学学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高数学学科自我监控能力的目的。科自我监控能力的目的。v教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要素进行概括、强

29、化和揭数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。2021/6/1631v怎样解题表回顾v你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能将这一结果或方法用于其他问题？2021/6/1632在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的反思反思：v1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样成后，对自己最初审题时在理解题意过程中

30、是这样“获取信息获取信息”进行再思考。进行再思考。v2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。v3、反思题目结论。事实上，就问题解决的一个周期而言，问、反思题目结论。事实上，就问题解决的一个周期而言，问题是问题解决的端始，而一个问题的解决往往意味着一个新问题是问题解决的端始，而一个问题的解决往往意味着一个新问题的产生。在做完一道题后，教师应指导学生思

31、考该题所得出题的产生。在做完一道题后，教师应指导学生思考该题所得出的结论：能否检验这个结论？能否以不同的方式来推导这个结的结论：能否检验这个结论？能否以不同的方式来推导这个结论？能否在其他的问题中应用这个结论？能否从其它的角度重论？能否在其他的问题中应用这个结论？能否从其它的角度重新审视题目，将问题的结论进行推广？这样的反思，有助于提新审视题目，将问题的结论进行推广？这样的反思，有助于提高中学生数学学科自我监控能力，培养学生数学思维的深刻性高中学生数学学科自我监控能力，培养学生数学思维的深刻性。2021/6/1633（二）不同的方法（二）不同的方法v例如：用多种方法求0,1,3,7,15,31

32、,.的通项公式 观察法（每项加1成等比） 邻项差成等比 邻项倍逐项加1成等比 通项与前n项和的关系（错位相减法） 归纳法2021/6/1634（三）教师提问的方法（三）教师提问的方法1.教师提问应坚持的原则教师提问应坚持的原则v实效原则实效原则课堂提问设计的实效性取决于问题的真实和课堂提问设计的实效性取决于问题的真实和确切，即课堂提问要有科学性和针对性确切，即课堂提问要有科学性和针对性，提问要紧扣教学提问要紧扣教学目标和教材内容从感知直目标和教材内容从感知直观人手观人手 。2021/6/1635v适时原则适时原则课堂提问的适时性应该包含两层意思，其一是抓住课堂提问的适时性应该包含两层意思，其一

33、是抓住时机时机，其二是提问次数要适度，课堂提问的效果直，其二是提问次数要适度，课堂提问的效果直接与提问时机有关，什么样的设问应在某节课的什接与提问时机有关，什么样的设问应在某节课的什么时机提出，要讲究提问的艺术性么时机提出，要讲究提问的艺术性 。v梯度原则梯度原则教师根据学生认识水平与心理状态，科学地按一定教师根据学生认识水平与心理状态，科学地按一定梯度展开设问，提出的问题要按知识点难易级差从梯度展开设问，提出的问题要按知识点难易级差从低到高逐层进行，对不同层次的问题，要选择不低到高逐层进行，对不同层次的问题，要选择不同层次的学生对象进行回答，从易到难，由简到繁。同层次的学生对象进行回答，从易

34、到难，由简到繁。 2021/6/16362.教师提问应注意的要求教师提问应注意的要求1）把握问题的切入点）把握问题的切入点教师要根据具体数学知识的性质和特点，结合课型教师要根据具体数学知识的性质和特点，结合课型在适当的环节设计问题。新知教学，要围绕教学的在适当的环节设计问题。新知教学，要围绕教学的重点和难点设计问题；习题讲评，要从思想方法、重点和难点设计问题；习题讲评，要从思想方法、解题规律入手设计问题；复习教学，要从规律性、解题规律入手设计问题；复习教学，要从规律性、易混淆的知识点出发设计问题，等等。教师还要根易混淆的知识点出发设计问题，等等。教师还要根据教学过程中学生出现的情况随机应变，在

35、学生数据教学过程中学生出现的情况随机应变，在学生数学学习以及思维活动的疑惑处、阻碍处、转折处设学学习以及思维活动的疑惑处、阻碍处、转折处设计问题，引发数学思考。计问题，引发数学思考。2021/6/16372）把握提问的时机）把握提问的时机要结合课堂教学的进展及变化组织发问。一要结合课堂教学的进展及变化组织发问。一般情况下，要关注两方面：一是学生在新旧般情况下，要关注两方面：一是学生在新旧知识发生激烈冲突、受原先经验影响无法实知识发生激烈冲突、受原先经验影响无法实现知识迁移、注意力涣散的时候，即为发问现知识迁移、注意力涣散的时候，即为发问的时机；二是发问时机应和教学需要相吻合。的时机；二是发问时

36、机应和教学需要相吻合。如教学达到教材的关键处、疑难处、矛盾处、如教学达到教材的关键处、疑难处、矛盾处、拓展处、转折处时，即为发问的时机。拓展处、转折处时，即为发问的时机。2021/6/16383）选择提问的句式）选择提问的句式v判断型、叙述型发问句式常用于增加师生活动，检查学习判断型、叙述型发问句式常用于增加师生活动，检查学习效果，运用得当能使学生产生成功感；效果，运用得当能使学生产生成功感；v诊断型发问句式常用于诊断思维障碍，疏通思维渠道，建诊断型发问句式常用于诊断思维障碍，疏通思维渠道，建立情感认同；立情感认同；v述理型、发散型、求异型发问句式则多用于提升学生思维述理型、发散型、求异型发问

37、句式则多用于提升学生思维的品质。的品质。v从这几种问句的实际使用效果来看，教师发问时应尽量减从这几种问句的实际使用效果来看，教师发问时应尽量减少判断型、叙述型句式，尽可能增大述理型、发散型、求异少判断型、叙述型句式，尽可能增大述理型、发散型、求异型发问句式的比例。型发问句式的比例。2021/6/16394）确定答问对象）确定答问对象这是检查和评定学生问题思考结果的先置环节。我们发现，这是检查和评定学生问题思考结果的先置环节。我们发现，一些教师常常先指定学生再发问，或按照一定的次序（按照一些教师常常先指定学生再发问，或按照一定的次序（按照座位）发问的情形。这样的做法，虽然省事，却产生了明显座位）

38、发问的情形。这样的做法，虽然省事，却产生了明显的弊端：这将使答问对象固定，使得大部分学生不去注意思的弊端：这将使答问对象固定，使得大部分学生不去注意思考教师的问题。所以，教师在确定答问对象时应遵循普遍性考教师的问题。所以，教师在确定答问对象时应遵循普遍性原则，先面向全体学生，让所有的学生都带着问题去思考，原则，先面向全体学生，让所有的学生都带着问题去思考，等学生思考之后再指名回答。等学生思考之后再指名回答。另外，确定答问对象还要考虑学生的学习基础，遵循量力性另外，确定答问对象还要考虑学生的学习基础，遵循量力性原则，对数学学习的优秀生、中等生、学困生分别提出不同原则，对数学学习的优秀生、中等生、

39、学困生分别提出不同难度的问题让其回答，促使他们通过回答问题产生成功的快难度的问题让其回答，促使他们通过回答问题产生成功的快感，激发其学习数学的自信心。感，激发其学习数学的自信心。2021/6/1640（四）好问题与坏问题（四）好问题与坏问题v一些不好的问题现象一些不好的问题现象（1）问题过于空泛，指向不清晰）问题过于空泛，指向不清晰（2）问题太难，大多数学生不会）问题太难，大多数学生不会（3）问题跳转很快，不能跟随或有效引领学生）问题跳转很快，不能跟随或有效引领学生的思路的思路2021/6/1641v好问题的特点：好问题的特点：1.问题要有深度问题要有深度2.问题要有新意问题要有新意3.问题要灵活问题要灵活4.问题要面向全体学生，避免和学生问题要面向全体学生，避免和学生“一对一对一一”的这种谈话。的这种谈话。5.问题符合学生的认知结构问题符合学生的认知结构2021/6/1642 谢谢！2021/6/1643 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！