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1、第五章第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 1高等数学51定积分的概念及性质第一节第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 2高等数学51定积分的概念及性质一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线以及两直线以及两直线所围成所围成 ,求其面积求其面积 A .3高等数学51定积分的概念及性质abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，或说分割的越来越细，显然，小矩形越多
2、，或说分割的越来越细，矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）4高等数学51定积分的概念及性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放5高等数学51定积分的概念及性质解决步骤解决步骤 :1) 分割分割在区间在区间 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分个分点点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;在第在第i 个小区间上个小区间上任取任取作以作以为底为底 ,为高的小矩形为高的小矩形,并
3、以此小并以此小矩形面积近似代替相应矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积小曲边梯形面积得得2)近似替代（以直代曲）近似替代（以直代曲）6高等数学51定积分的概念及性质3) 求和求和.(曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为:)4) 取极限取极限. 令令曲边梯形面积为：曲边梯形面积为：,1,max2D DD DD D= =nxxxL即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细时，时，0l l7高等数学51定积分的概念及性质2. 变速直变速直 线运动的路程线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,且且求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.已
4、知速度已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值求得路程的精确值8高等数学51定积分的概念及性质（1 1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3 3）求和）求和（4 4）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值解决步骤解决步骤:（2 2）近似替代（以直代曲）近似替代（以直代曲）9高等数学51定积分的概念及性质上述两个问题的共性上述两个问题的共性:
5、 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 :“分割，近似、求和分割，近似、求和 , 取极限取极限 ” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限 所求量只和两个因素有关所求量只和两个因素有关: 函数、函数的变化范围函数、函数的变化范围10高等数学51定积分的概念及性质二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义11高等数学51定积分的概念及性质记为记为12高等数学51定积分的概念及性质积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和13高等数学51定积分的概念及性质注意：注意：(1)定积分仅与被积函数及积分
6、区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关而与积分变量用什么字母表示无关 , 即即14高等数学51定积分的概念及性质定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:15高等数学51定积分的概念及性质定积分的定积分的几何意义几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和16高等数学51定积分的概念及性质几何意义：几何意义：17高等数学51定积分的概念及性质例例1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解: 将将 0,1 n 等分等分, 分点分点为为取取18高等
7、数学51定积分的概念及性质19高等数学51定积分的概念及性质对定积分的对定积分的补充规定补充规定: :说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小不考虑积分上下限的大小三、定积分的性质三、定积分的性质20高等数学51定积分的概念及性质证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）1.1.21高等数学51定积分的概念及性质证证2.2.22高等数学51定积分的概念及性质补充：补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立. .例例: :若若则则3.3.（定积分对于积分区间
8、具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）23高等数学51定积分的概念及性质4.4.证证:5. 若在若在 a , b 上上则则推论推论1. 若在若在 a , b 上上则则24高等数学51定积分的概念及性质解解令令于是于是25高等数学51定积分的概念及性质推论推论2.2.证证:即即说明说明： 可积性是显然的可积性是显然的. .26高等数学51定积分的概念及性质例例2. 试证试证:证证: 设设则在则在上上 , 有有即即故故即即27高等数学51定积分的概念及性质证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）6. 设设则则28高等数学51定积分的概念及性质解解29高等数
9、学51定积分的概念及性质解解30高等数学51定积分的概念及性质31高等数学51定积分的概念及性质7. 积分中值定理积分中值定理则至少存在一点则至少存在一点使使证证:则由则由性质性质6 可得可得根据闭区间上连续函数介值定理根据闭区间上连续函数介值定理, ,使使因此定理成立因此定理成立. .积分中值公式积分中值公式32高等数学51定积分的概念及性质积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：33高等数学51定积分的概念及性质说明说明: 可把可把 积分中值定理对积分中值定理对或曲边梯形平均高度。或曲边梯形平均高度。 定理可以进一步改造：把定理可以进一步改造：把结论中结论中的闭区的闭区间改成开区间
10、（见书间改成开区间（见书P239例例6）。）。34高等数学51定积分的概念及性质解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使35高等数学51定积分的概念及性质证明：在证明：在(a , b)内存在一点内存在一点 使得使得例例.设设 在在a , b 上连续，在上连续，在(a , b)内可内可导导且存在且存在(a , b)内一点内一点c，使得：，使得：36高等数学51定积分的概念及性质思考与练习1. 用定积分表示下述极限 :解解:或37高等数学51定积分的概念及性质2.38高等数学51定积分的概念及性质解解:例例上述例子实际上提供了一个有界函数但不是可上述例子实际上提供了一个有界函数但不是可积函数的反例。说明有界是可积的必要条件积函数的反例。说明有界是可积的必要条件39高等数学51定积分的概念及性质55高等数学51定积分的概念及性质
