《2022年数学建模案例——最佳捕鱼方终稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学建模案例——最佳捕鱼方终稿（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式：212121111iiiiiiiiWwpsqm。由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“ 01”变量法编写程序（程序见附录一） ，并用数学软件LINGO求解，得到最大收益 (W)为441291.4 元，分 21 天捕捞完毕。其中第116 天，日捕捞量在 10301070 公斤之间，第 1721 天的日捕捞量为 16101670 公斤之间（具体数值见
2、正文）。由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。关键词：“ 0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。一问题重述一个水库，由个人承包， 为了提高经济效益， 保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。 水库现有水位平均为15 米，自然放水每天水位降低0.5 米，经与当地协商水库水位最低降至5 米，这样预计需要二十天时间， 水位可达到目标。 据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500 公斤以下，其价格为30 元/公斤；日供应量在 5001000 公斤，其价格降至 25元/ 公斤，日供应量超过 1000公
3、斤时，价格降至20 元/ 公斤以下，日供应量到1500 公斤处于饱和。捕捞草鱼的成本水位于 15 米时，每公斤 6 元；当水位降至 5 米时，为 3 元/ 公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5 米时损失率为 10% 。承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二模型假设1池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000 公斤不变。2第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水 0.5m 逐渐降低， 20 天后刚好达到最低要求水位5m 。3在水库自然放水的21
4、 内将草鱼捕完。4在草鱼日供应量未达饱和的之前，市场供应量等于销售量。5每天草鱼的捕捞成本随着每天水位的降低呈等差数列递增分布。6随着水库水位的下降，草鱼的种群密度逐渐变大，存在着对空间、食物、氧气的竞争，种群死亡率逐渐升高。题设中给定草鱼死亡及捕捞损失率随着水位的降低而升高，在这里我们假设草鱼损失率是一个统计学概念，即已经综合了因自然死亡和捕捞等其他原因共同造成的损失。7草鱼损失率与水库水位成反比关系，每天捕捞量的损失率与当天池塘总鱼量的损失率是一致的，以每次捕捞时池塘总鱼数为当次基数。8捕捞上的草鱼中的死鱼将另行处理，不会放回水库也不会与活鱼一起出售。9日供应量在 1000-1500 公斤
5、时， 我们假定草鱼价格为20元每公斤这一常数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 总体价格随供应量变化关系，如图五所示：图一三问题的分析1.在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，我们应寻求对最优解的精确求解以 及依 据草 鱼捕 捞的 可 行性 方案来 捕 捞使 得 承 包人获 益(W)最大。=p收益(W) 销售额 (s)成本(qm)2.我们在追求收益最大的同时，需要求出草鱼捕捞的天数以及每天的捕鱼量，这是一个单目
6、标线性规划问题，原题中给定的草鱼日供应量不同的情况下草鱼的单价也不一样，这样每天的草鱼出售价格均取决于当日的草鱼供应量，于是在模型求解过程中我们采用“0-1 整数规划”来解决这个问题，并运用数学软件 LINGO来求解，最后对所得的解进行讨论和分析。四模型的建立及求解1.符号的说明：il第 i 天水库水位（米）；is第 i 天供应量（公斤）；ir第 i 天草鱼的损失率；im 第 i 天草鱼捕捞成本 ( 元/ 公斤） ；iw第 i 天草鱼销售收益（元) ；W捕捞期内草鱼销售总收益 （元） ；iq第 i 天的捕捞量（公斤）；ip 第 i 天的售价 (元） ；2.模型的建立根据假设 5，随着水位自然地
7、下降，草鱼的捕捞成本呈等差数列递减分布，第一天捕捞时水位仍然维持在15m ，共需 21 天。故每公斤草鱼捕捞成本为: 60.15 (1);(121,)imiiiN根据假设 7，损失率与水位成反比：212110% 50.5iirlccrl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 第 i 天草鱼的损失率为 （如图三散点图所示）：0.5/ 15(1)0.5iri51015200.040.050.060.070.080.09图二
8、510150.040.050.060.070.080.09图三第 i 天的捕捞量与供应量之间的关系式是：(1)iiisqr收益=销售额 - 成本即我们的目标函数：212121111iiiiiiiiWwpsqm又根据已知条件可得以下5 个约束条件：A)总的捕鱼量不大于总鱼量21125000iiqB)由日供应量到 1500 公斤达到饱和则1500is名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - C)再根据题意的三个在不同的供应量
9、之间的价格的不同可得到如下关系式：50030100025150020iiiiiispspsp当0时，当500时，当1000时，3.模型的求解根据上述解题思路， 我们用数学软件LINGO对模型进行求解， 根据模型的约束条件和软件的特点，我们采用引入01 变量的方法编写解题程序：1050025001000310001500iiiqjqqijy 0,1 变量引入，使得311,01ijijjyy或 . 上述式子需改动为 : 2121321311111(1)ijijiiijijijijijiiijijsqrWwypsyqm约束条件：213113112331123250001500050050010001
10、00015001,0130,25,20ijijijijijjiiiijijjiiiqysysssyyppp或由程序运行结果得到， 21 天内草鱼捕捞总收益W=441291.4 元. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 每天草鱼的具体捕捞策略见表一：表一五结果分析和检验1.maxmin1666.667 1034.483632.184qq（公斤） ，且大部分捕捞量集中在10001100 之间，说明每天的捕捞量基本相对稳
11、定。02004006008001000120014001600180014710131619系列1图四2.由附录一得，除了23jjyy及外，其他变量的 Reduced Cost全部为零，即变量的微小变化对结果没有影响，而23jjyy及只能取 0，1整数，本身没有微小变化，说明我们的模型稳健性比较好。3.根据捕捞量和损失率我们可以得到销售量在前16天为1000公斤，而后 5天为捕捞量（公斤）1q2q3q4q5q6q7q1034.483 1035.714 1037.037 1038.462 1040.000 1041.667 1043.478 8q9q10q11q12q13q14q1045.455
12、 1047.619 1050.000 1052.632 1055.556 1058.824 1062.500 15q16q17q18q19q20q21q1066.667 1071.429 1615.385 1625.000 1636.364 1650.000 1666.667 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 1500公斤（见表二），而这两个点刚好是价格曲线中的两个间断点的右端点，也就是在同样价格下的选取最大允许
13、销售量，从定性角度分析，这样的结果使剩余草鱼种群总量降低，相应地后续天数的草鱼损失量会减少，这样也符合一般的逻辑，比较容易接受。销售量（公斤）1s2s3s4s5s6s7s1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 8s9s10s11s12s13s14s1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 15s16s17s18s19s20s21s1000 1000 1500 1500 1500 1500 1500 表二4.在最大利润的方案下，每天的捕捞量持续缓慢上升，但第17天出现一个跳跃点。因为前 15天水位高度还能够基本满足鱼群正常生长的需求，适当
14、控制捕捞量以获得较优的售价，而后几天水位较低，鱼群因空间、食物、生长竞争激烈，损失率会急剧升高，因此要加大捕鱼量，适当降低鱼群密度，来减少鱼群基数便于降低鱼群损失。 这也可以看出前 16天我们捕鱼的决定因素是成本，而后 5天的主要影响因素是损失率，且从总体来看，前16的总收益大于后5天的总收益。因此我们认为成本较损失率对收益的影响较大。六优化方向1.上述模型中价格相对于供应量是分段常函数，这是一种较为简化和粗糙的假设。商品价格应围绕价值上下波动，价格对供应量应比原假设更敏感，如设为连续函数可能更接近市场实际情况，再由于市场本身的特点控制着价格的上限我们由计算机模拟出价格的定性曲线（如图五所示）
15、。图五2.随着水位下降，损失率增加，模型假设中我们设它们为反比例函数，由于水位的下降，草鱼的密度增加，损失的速率不断加快，在损失率的曲线上表示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 为斜率的加快，但实际中可能更为复杂，每个生态系统具体情况也不同，最好根据本池塘或相似生态系统中一定的实验结果统计出池塘中草鱼损失率与水位的关系曲线并模拟成式子后计算得到。3.有结果分析可得，前15天我们捕鱼的决定因素是成本，而后5 天的主要
16、影响因素是损失率。因此我们考虑在钱其降低捕鱼成本，可以选择人工加快放水来代替自然放水方式以达到降低成本的途径。例如，可以在某一天使水位急剧降低到某一个定值l, 然后再让水位再自然放水状态下捕捞，抑或者在每天放水量不一的情况下捕捞，通过人工调节水位，都有可能时的最后的收益变得更大 。4.在第 9 条假设中，在草鱼供应量在10001500公斤时，我们将草鱼售价取定位 20元/ 公斤。现在做一下修正，由于草鱼价格不会有大幅度降低，大体应该在 1520元/ 公斤之间分布，于是我们另外分别在15，16，17，18，19元/ 公斤的售价下进行最优化求解，得到结果列成表格，如表三所示：项目P3 元/kg S
17、1,S3S14,S16/kg S17S21/kg S2 S15 W/ 元20 1000 1500 1000 1000 441291.4 19 1000 1500 1000 1000 433791.4 18 1000 1500 1000 1000 426291.4 17 1000 1500 1000 1000 418791.4 16 1000 1500 500 1500 401216.9 15 1000 1500 1000 1000 403791.4 表三由表三可以看出，除了单价在16 元/公斤时，捕鱼策略稍有变动，第二天捕捞量 S2=500公斤,第 15天 S15=1500公斤之外，其他天数的
18、捕捞量都与单价在 20 元/公斤时的捕鱼量相同。 这从另一个侧面说明我们的第9 条假设是合理的。参考文献：1 谢金星薛毅编著 优化建模与LINDO/LINGO软件清华大学出版社2005 年 7 月第一版第八章目标规划模型2 卢向南，李俊杰寿涌毅编著应用运筹学浙江大学出版社2005 年 2 月第一版第四章整数规划第三节整数规划的应用附录一：程序及结果名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 源程序：model : Titl
19、e最优捕捞模型;sets: Day/1.21/:r,m,l,q1,q2,q3,y1,y2,y3; Price/1,2,3/:p; endsetsdata: p=30,25,20; l=15,14.5,14,13.5,13,12.5,12,11.5,11,10.5,10,9.5,9,8.5,8,7.5,7,6.5,6,5.5,5; m=6,5.85,5.7,5.55,5.4,5.25,5.1,4.95,4.8,4.65,4.5,4.35,4.2,4.05,3.9,3.75,3.6 3.45,3.3,3.15,3; enddataOBJmax=sum(Day(i):y1(i)*q1(i)*(1-r
20、(i)*p(1)-m(i)+y2(i)*q2(i)*(1-r(i)*p(2)-m(i)+y3(i)*q3(i)*(1-r(i)*p(3)-m(i);); for (Day(i):l(i)*r(i)=0.5;); y1(1)*q1(1)+y2(1)*q2(1)+y3(1)*q3(1)+ y1(2)*q1(2)+y2(2)*q2(2)+y3(2)*q3(2)+ y1(3)*q1(3)+y2(3)*q2(3)+y3(3)*q3(3)+ y1(4)*q1(4)+y2(4)*q2(4)+y3(4)*q3(4)+ y1(5)*q1(5)+y2(5)*q2(5)+y3(5)*q3(5)+ y1(6)*q1(
21、6)+y2(6)*q2(6)+y3(6)*q3(6)+ y1(7)*q1(7)+y2(7)*q2(7)+y3(7)*q3(7)+ y1(8)*q1(8)+y2(8)*q2(8)+y3(8)*q3(8)+ y1(9)*q1(9)+y2(9)*q2(9)+y3(9)*q3(9)+ y1(10)*q1(10)+y2(10)*q2(10)+y3(10)*q3(10)+ y1(11)*q1(11)+y2(11)*q2(11)+y3(11)*q3(11)+ y1(12)*q1(12)+y2(12)*q2(12)+y3(12)*q3(12)+ y1(13)*q1(13)+y2(13)*q2(13)+y3(1
22、3)*q3(13)+ y1(14)*q1(14)+y2(14)*q2(14)+y3(14)*q3(14)+ y1(15)*q1(15)+y2(15)*q2(15)+y3(15)*q3(15)+ y1(16)*q1(16)+y2(16)*q2(16)+y3(16)*q3(16)+ y1(17)*q1(17)+y2(17)*q2(17)+y3(17)*q3(17)+ y1(18)*q1(18)+y2(18)*q2(18)+y3(18)*q3(18)+ y1(19)*q1(19)+y2(19)*q2(19)+y3(19)*q3(19)+ y1(20)*q1(20)+y2(20)*q2(20)+y3(
23、20)*q3(20)+ y1(21)*q1(21)+y2(21)*q2(21)+y3(21)*q3(21)=25000; for (Day(i):q1(i)*(1-r(i)=500); for (Day(i):q2(i)*(1-r(i)=1001); for (Day(i):q3(i)*(1-r(i)=1500); 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - for (Day(i):y1(i)+y2(i)+y3(i)=1;
24、); for (Day(i):y1(i)+y2(i)+y3(i)=1;); for (Day(i):bin (y1(i);); for (Day(i):bin (y2(i);); for (Day(i):bin (y3(i);); END程序运行结果：Local optimal solution found at iteration: 2746 Objective value: 441291.4 Model Title: 最优捕捞模型 Variable Value Reduced Cost Q1( 1) 0.000000 0.000000 Q1( 2) 0.000000 0.000000 Q1
25、( 3) 0.000000 0.000000 Q1( 4) 0.000000 0.000000 Q1( 5) 0.000000 0.000000 Q1( 6) 0.000000 0.000000 Q1( 7) 0.000000 0.000000 Q1( 8) 0.000000 0.000000 Q1( 9) 0.000000 0.000000 Q1( 10) 0.000000 0.000000 Q1( 11) 0.000000 0.000000 Q1( 12) 0.000000 0.000000 Q1( 13) 0.000000 0.000000 Q1( 14) 0.000000 0.0000
26、00 Q1( 15) 0.000000 0.000000 Q1( 16) 0.000000 0.000000 Q1( 17) 0.000000 0.000000 Q1( 18) 0.000000 0.000000 Q1( 19) 0.000000 0.000000 Q1( 20) 0.000000 0.000000 Q1( 21) 0.000000 0.000000 Q2( 1) 1034.483 0.000000 Q2( 2) 1035.714 0.000000 Q2( 3) 1037.037 0.000000 Q2( 4) 1038.462 0.000000 Q2( 5) 1040.000
27、 0.000000 Q2( 6) 1041.667 0.000000 Q2( 7) 1043.478 0.000000 Q2( 8) 1045.455 0.000000 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - Q2( 9) 1047.619 0.000000 Q2( 10) 1050.000 0.000000 Q2( 11) 1052.632 0.000000 Q2( 12) 1055.556 0.000000 Q2(
28、 13) 1058.824 0.000000 Q2( 14) 1062.500 0.000000 Q2( 15) 1066.667 0.000000 Q2( 16) 1071.429 0.000000 Q2( 17) 538.4615 0.000000 Q2( 18) 541.6667 0.000000 Q2( 19) 545.4545 0.000000 Q2( 20) 550.0000 0.000000 Q2( 21) 555.5556 0.000000 Q3( 1) 1035.517 0.000000 Q3( 2) 1036.750 0.000000 Q3( 3) 1038.074 0.0
29、00000 Q3( 4) 1039.500 0.000000 Q3( 5) 1041.040 0.000000 Q3( 6) 1042.708 0.000000 Q3( 7) 1044.522 0.000000 Q3( 8) 1046.500 0.000000 Q3( 9) 1048.667 0.000000 Q3( 10) 1051.050 0.000000 Q3( 11) 1578.947 0.000000 Q3( 12) 1583.333 0.000000 Q3( 13) 1588.235 0.000000 Q3( 14) 1593.750 0.000000 Q3( 15) 1600.0
30、00 0.000000 Q3( 16) 1607.143 0.000000 Q3( 17) 1615.385 0.000000 Q3( 18) 1625.000 0.000000 Q3( 19) 1636.364 0.000000 Q3( 20) 1650.000 0.000000 Q3( 21) 1666.667 0.000000 Y1( 1) 0.000000 0.000000 Y1( 2) 0.000000 0.000000 Y1( 3) 0.000000 0.000000 Y1( 4) 0.000000 0.000000 Y1( 5) 0.000000 0.000000 Y1( 6)
31、0.000000 0.000000 Y1( 7) 0.000000 0.000000 Y1( 8) 0.000000 0.000000 Y1( 9) 0.000000 0.000000 Y1( 10) 0.000000 0.000000 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - Y1( 11) 0.000000 0.000000 Y1( 12) 0.000000 0.000000 Y1( 13) 0.000000 0.
32、000000 Y1( 14) 0.000000 0.000000 Y1( 15) 0.000000 0.000000 Y1( 16) 0.000000 0.000000 Y1( 17) 0.000000 0.000000 Y1( 18) 0.000000 0.000000 Y1( 19) 0.000000 0.000000 Y1( 20) 0.000000 0.000000 Y1( 21) 0.000000 0.000000 Y2( 1) 1.000000 -18793.10 Y2( 2) 1.000000 -18941.07 Y2( 3) 1.000000 -19088.89 Y2( 4)
33、1.000000 -19236.54 Y2( 5) 1.000000 -19384.00 Y2( 6) 1.000000 -19531.25 Y2( 7) 1.000000 -19678.26 Y2( 8) 1.000000 -19825.00 Y2( 9) 1.000000 -19971.43 Y2( 10) 1.000000 -20117.50 Y2( 11) 1.000000 -20263.16 Y2( 12) 1.000000 -20408.33 Y2( 13) 1.000000 -20552.94 Y2( 14) 1.000000 -20696.88 Y2( 15) 1.000000
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