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1、数学活动勾股定理证明福州金山中学 卞明星【教学目的】1、了解勾股定理的历史由来，感受勾股定理的文化价值；2、掌握定理内容及其简单应用；3、学会定理的证明方法及思维方式，拓展思维。【教学重点】探究并理解勾股定理；【教学难点】探索勾股定理的验证方法【教具准备】多媒体课件演示拼图【教学过程】一、旧知新问，引出新课同学们有没去过福州的森林公园？在森林公园里游玩时看到一棵棵大树，感到心旷神怡，在数学王国也有一种树同样绚烂多彩、变幻多端。（展示课件1）（师）记得老师四年前的上海之行。当时在众多的高科技展品中，我发现了它（展示课件2）这是一个由直角三角形和已知三边分别向外获得的三个正方形所组成的平面模型。当
2、时充盈在这两个正方体的液体缓缓的注入了底下那个大正方形内，如此不断地循环反复，看到这，我在想这个模型它究竟要告诉我们什么呢？不知道同学们有什么想法？（提问）问1：在这个实验中，我们发现了什么？（两个小正方体的体积和等于下面大的正方体的体积）问2：假定三个正方体的厚度一样，那么这三块正方形的面积有怎样的关系？（两块小的正方形的面积等于大正方形的面积）问3：能否用直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积问4：由面积关系能否找出该直角三角形三边关系？二、实验活动，激发灵感（师）如果老师将中间这个三角形标记为和三边a,b,c，那么你又能得到什么结论呢？猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
3、。（）这或许正要告诉我们存在于直角三角形的某种特殊关系.三、运算推演，证实猜想【活动1】学生实验（画一画)请同学们动手画一个直角边分别为3和4的直角三角形,测量它的斜边长度.(学生动手操作)(展示课件4)师生一起验证猜想的正确性(板书)(师)其实这个3,4,5组合的直角三角形,早在公元前一世纪就被我国古代的数学家所发现了，在古书中记载着勾三、股四、弦五的字样。勾：较短直角边，股：较长直角边，弦：斜边。可以说这个特殊三角形的发现为世界数学史掀开了一页崭新的篇章。（师）可是就凭这么个例子，怎么能说明这个猜想的正确性呢？于是当时的数学家们就纷纷地投入了大量的实验来验证。其中，在我国古代巨著-九章算术
4、中记载了这样一段文字：（展示课件5）勾股各自乘，并尔开方除之为弦。（板书）古人的这个发现和我们之前的猜想是否完全吻合啊？问1：现在对于存在于直角三角形的三边关系是否确认无疑？问2：那么我们来思考这样一个问题： （提问）（师）这说明了什么呢？再多的实验数据只能增加结论的可靠性。特殊的数据永远替代不了一般的规律。所以本着严谨、求实的治学态度，当时的数学家们就纷纷地由验证的过程转为了对这个猜想的论证过程，可以说这条路走得非常艰辛，他们费尽心思，一直经历了半个多世纪之后，才终于为人类所掌握。那么今天老师来协助同学们，看看凭借自身的能力能否在短时间内将这个难题所攻克。【活动2】我们一起来论证（展示课件6
5、）已知：Rt求证：问：我们进行这样的思考，对于我们所要证明的结论，同学们观察下，我们会从什么样的角度去着手证明呢？（提问）预案：的确当时是有一批数学家从面积着手证明的，到底是怎么证明的呢？挺难得对吗？没有关系，让我们先来做个游戏，拿出我们事先准备好的四个全等直角三角形，让我们一同在一个拼图游戏中寻找答案。拼图游戏：问1：请用4个全等的直角三角形, 拼出一个含有以斜边c为边长的正方形。只要求：不加覆盖问2：利用面积之间的关系动手证一证命题的猜想?请同学上黑板用模具展示拼图结果预案一：现在仍保留在黑板上的两种不同拼图方式是否能够为我们的论证提供强有力地帮助。（板书论证过程）介绍一种证法证法1：将四
6、个全等的直角三角形围成如图所示的正方形.（师）老师介绍一个人，（展示课件）他是三国时期，魏国的数学家刘徽，刚才我们的证法与刘老前辈一模一样，刘老前辈正是我们九章算术主要编写者之一。介绍第二种拼合方式。（提问，学生论证）证法2：将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形.预案二：（师）还想介绍个人，他是外国人，美国总统加菲尔德，他不是数学家，他却给出了一种非常经典的证法。利用第二种拼图方法，他做了一种连接，把图形分割成两个全等的直角梯形。根据图形的构成分析，老师相信你们可以从面积的角度老完成它的论证。（学生动手完成论证）。(a + b)(b + a) = c2 + 2(ab)a2 + ab +
7、b2 = c2 + aba2 + b2 = c2（师）这三种方法殊途同归，终于存在于直角三角形三边间的特殊关系被我们所掌握了，这个直角三角形的三边关系到底是什么？请一位同学用语言表述下。（语文课代表）（展示课件）四、归纳总结，完成探究【文字语言】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 (全班齐读)对于这个定理的发现，我国古代要比西方早五百多年，所以我们把这个定理命名为勾股定理。（板书课题）这是我们数学界十分重要的定理。下面请一位同学借助于图形，使用数学语言表述。（有请数学课代表）【符号语言】 （板书） Rt （师）勾股定理目前证明方法有五百多种，书上提供的是哪一种呢？我们一起看书本，书上提
8、供的是三国时期吴国赵爽的一种证法。问1：从图的构成分析，面积的角度来看，是书上赵爽的图形构成简单，还是我们之前介绍的图形简单呢？问2：那我就不明白了，把这么复杂的图形放在教科书上,是为什么呢？（师）无论是赵爽的证明方法，还是之前所介绍的证明方法，它们之中都存在着一种共性：都是利用了对几何图形的截、割、拼、补来完成代数恒等式的证明。这种证明方法既具严密性又具直观性。赵爽图形略为复杂，但是他是当今世上以形证数的第一人。以后的数学家继承了这个风格，并向前发展。所以我们看到的勾股定理的证明方式越来越简单。至此，我们由猜想到验证到论证，认识了勾股定理，下面到我们应用时间。五、巩固练习，适当拓展例题一、（
9、1）在RtABC中，C=90，AB=c,BC=a,AC=b,已知a=6,b=8,则c=(2)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，那么第三边的长是多少？（分类思想的渗透）ABC例题二：（1）已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求等腰三角形ABC的面积。ABC（2）变式：已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求腰AC上的高。六、课堂小结，布置作业短短四十分钟，我们由猜想-到验证-到论证。认识了勾股定理，又再现了一个以形证数的数学思想，经历了一条从特殊到一般的科学之路，平添了一份升为中国人的自豪。正是因为有了它们，老师才能把这样的一份财富知识传递给你们，老师感到非常的快乐。作业：收集勾股定理证明方法的资料，以小报或PPT的形式与同学们交流（一周后交科代表）.在以下网页中你可以找到有关勾股定理的丰富的内容。清华大学数学系 http:/14011432181/summer00/12/17/bhtml数学天地http:/steinermathnthuedutw/ne01/jyt/famousthm/pythogorushtm数学数据库 http:/wwwalihknet/md/fun/stories/pyth/pythhtm
