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1、2023学年高二年级第一学期杭州北斗联盟期中联考数学试题考生须知：1本卷共6页满分150分，考试时间120分钟2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效4考试结束后，只需上交答题纸选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出【详解】解：集合，故选：B【点睛】本题主要考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题2. 若复
2、数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）A. 2iB. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得结果.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为.故选：D3. “ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线垂直求出范围即可得出.【详解】由直线垂直可得，解得或1，所以“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的充分不必要条件.故选：A.4. 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的
3、计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）A. 25B. 5C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，故.故选：A.5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，【详解】记，
4、则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，得k最小，此时设，故，解得或（舍去），即故选：C6. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，于点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案
5、】D【解析】【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以故选：D8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A. B. C.
6、D. 【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取的中点，连接，则，过点作底面，垂足在上，且，所以，故，点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则，设最大球的半径为，则，因为，所以，即，解得，即，则，故设最小球球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，则，则，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九个球的表面积和为.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相
7、等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 有一组样本甲的数据，一组样本乙的数据，其中为不完全相等的正数，则下列说法正确的是（ ）A. 样本甲的极差一定小于样本乙的极差B. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差C. 若样本甲的中位数是，则样本乙的中位数是D. 若样本甲的平均数是，则样本乙的平均数是【答案】ACD【解析】【分析】
8、根据统计中的相关概念和性质运算求解.【详解】不妨设样本甲的数据为，且，则样本乙的数据为，且，对于选项A：样本甲的极差为，样本乙的极差，因为，即，所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；对于选项B：记样本甲的方差为，则样本乙的方差为，因为，即，所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误；对于选项C：因为样本甲的中位数是，则样本乙的中位数是，故C正确；对于选项D：若样本甲的平均数是，则样本乙的平均数是，故D正确；故选：ACD.10. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若点O到直线AB的距离为，则C. 若，则的最大值为D. 若，则最大值为4【答案】AD【解析
9、】【分析】对于选项A，B，根据垂径定理可判断，对于选项C，D，根据点到直线的距离公式可求解判断.【详解】对于A，若，则可知点到的距离为，从而可知，故A正确；对于B，若点O到直线AB的距离为，则可知，从而得，故B错误；对于C，D，的值可转化为单位圆上的两点到直线的距离之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，设是的中点，则，且，则在以点为圆心，半径为的圆上，两点到直线的距离之和为的中点到直线的距离的两倍.点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最大值为，所以的最大值为.因此的最大值为4.从而可知C错误，D正确.故选：AD.11. 已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的
10、小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A“抽取的两个小球标号相同”，事件B“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（ ）.A. 事件A与事件B是互斥事件B. 事件A与事件B是对立事件C. D. 【答案】AC【解析】【分析】首先分别列举三个时间包含的样本点，再结合互斥，对立时间的定义，以及选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个；事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个
11、；事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个.从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件.因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；因为，所以B错误；因为事件的所有基本事件共有12个，所以，所以，故C正确；因为事件的所有基本事件共有6个，所以，所以，故D错误.故选：AC12. 如图，在正四棱柱中，是该正四棱柱表面或内部一点，直线与底面所成的角分别记为，且，记动点P的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是（ ）A. 为中点B. 线段长度的最小值为5C. 存在一点，使得平面D. 若在正
12、四棱柱表面，则点的轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用线面夹角的定义确定P在球上，结合球的特征可判定A、B、D选项，构造面面平行及球心到线段的距离可判定C项.【详解】设在底面的投影为，连接，由题可知，所以，即，建系可得：，即化简得：，即P在球心，半径的球上，所以，故B正确；设，则，即，故A错误；取上一点上一点，使，连接，易得，由正四棱柱的特征可知：，而平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，易知球心到线段的距离为，故截面与球存在交点，所以存在一点，使得平面，故C正确；当位于侧面上时，P轨迹为劣弧，易知，当位于侧面上时，P轨迹为劣弧，易知，则点的轨迹长
13、度,如下图所示：故D正确.故选：BCD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 过点且方向向量为的直线的方程为_【答案】【解析】【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解【详解】因为直线过点且方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故答案为：14. 已知，且，则的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】构造，展开，利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，即，因，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为1.故答案为：115. 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加假设李老师和张老师分别将各自
14、活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为_【答案】.【解析】【分析】问题的对立事件是甲同学既没有收到李老师也没有收到张老师的信息，而李老师和张老师的信息是相互独立的，进而算出概率.【详解】设甲同学收到李老师和张老师的信息分别为事件A，B，且相互独立，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知为：.故答案为：.16. 已知单位空间向量，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ，由可设，由是单位空间向量可得，由可设，当，的最小值是2，所以 ，取，当时，最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点 （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值
