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1、创新学院2023级数学试题考试时间120分钟，满分150分第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的知识求得.【详解】集合是自然数集，所以故选：B2. 定义域在R上的函数yf(x)的值域为a，b，则函数yf(xa)的值域为()A. 2a，abB. 0，baC. a，bD. a，ab【答案】C【解析】【详解】令，则，函数与是同一个函数；的值域为故选C3. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数以及对数函数的单
2、调性判断 的范围可得答案.【详解】,故，故选：D.4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为（）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的定义域是可求出，令代替，可得，即可求出的定义域.【详解】因为函数的定义域是由，得，所以的定义域是，由得.所以的定义域为.故选：A【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题 .5. 我国古代数学名著九章算术中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱.问合伙人数羊价各是多少.”由此可推算，羊价为（ ）A. 24钱B. 165钱C. 21钱D. 150钱【答案】D【解析】【分析】设合伙人的人数为n，由题意列方程即
3、可解得.【详解】设合伙人的人数为n，由题意列方程得：，解得：n=21，羊价为：.故选：D6. 若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由可得，令，由已知可得，解得，故选：A.7. 函数的单调减区间为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间【详解】解：令，求得，故函数的定义域为，本题即求在内的减区间利用二次函数的性质可得在内的减区间为，即
4、函数的单调减区间为，故选B【点睛】本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注意，求单调区间，一定要先求函数定义域8. 已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，再由，代入化简计算，即可求解出答案.【详解】由题意，根据图象可知，当时，因为，所以，因为，可得.故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 下列命题为真命题的是（ ）A. ，B. 当时，C. 是函数为奇函数的充要条件D. “”是“”的充要
5、条件【答案】AB【解析】【分析】根据判别式判断A、B；应用奇函数的性质判断C；解不等式求解集判断D.【详解】A：由，故，为真；B：由题设，故，为真；C：对于奇函数，显然不存在，必要性不成立，为假；D：由，而恒成立，所以，故必要性成立，充分性不成立，为假.故选：AB10. 若，则下列不等式中恒成立的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A：因为，所以恒成立，B：当时，显然成立，但是不成立，C：因为，所以（当且仅当时取等号，即时取等号），所以本选项符合题意；D：因为，所以（当且仅当时取等号，即或时取等号），所以本选项
6、符合题意，故选：ACD11. 下列判断错误的是（ ）A. 方程组的解集为B. C. 的最小值为D. 如果，那么【答案】AC【解析】【分析】根据集合的运算，不等式的性质等逐项判断即可.【详解】对于A，方程组的解集为点集，应该是，故A错误；对于B,，故B正确；对于C，当时， ，故C错误；对于D，如果，则，那么，故D正确；故选：AC12. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）A. 存在实数，使得函数为奇函数B. 存在实数，使得函数为偶函数C. 当时，的单调增区间为，D. 当时，若方程有三个不等实根，则【答案】ACD【解析】【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函
7、数性质，结合参数a的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围.【详解】由，显然当时有，但不存在实数使，A正确，B错误；且在处连续，当时，易知：在上递增，递减，上递增，C正确；由解析式，当时在上递增，递减，上递增，又，要使有三个不等实根，即与有三个交点，所以，又，可得，D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共小题，共分）13. 已知函数有两个零点，分别在1的两侧，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意知，列出不等式组求解即可.【详解】函数开口向上，由题意知，解得.故答案为：【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，函数的零点，考查数形结合
8、思想，属于基础题.14. 已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据函数图象所过的点代入列式求解.【详解】函数（且）的图像过点，反函数的图像过点，可得原函数的图像过，所以，所以的值为.故答案为：15. 已知，若方程有四个根，且，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象知，得，将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根，且，则由图象可知，又，可得，则则， 由对勾函数的性质知在上单调递增，即 即的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方
9、程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.16. 设（1）当时，f（x）的最小值是_；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_【答案】 . . 0，【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a0，不满足条件若a0，f（0）a22，即0a，即得解.【详解】（1）当时，当x0时，f（x）（x）2（）2，当x0时，f（x）x22，当且仅当x1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x0时，函数f（x）2，此时的最小值为2，若a0，则当xa时，
10、函数f（x）的最小值为f（a）0，此时f（0）不是最小值，不满足条件若a0，则当x0时，函数f（x）（xa）2为减函数，则当x0时，函数f（x）的最小值为f（0）a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）a22，即0a，即实数a的取值范围是0，【点睛】本题主要考查分段函数最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的值域.【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）根据函数解析式代入求解即可；（2）换元法转化为二次函数求值域即可得
11、解.【小问1详解】因为，若，则，令，则方程为，解得或（舍去），所以，解得.【小问2详解】因为，令，则，所以当时，取得最小值，故的值域.18. 已知，命题，；命题，使得.（1）若p是真命题，求a的最大值；（2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围；【答案】（1）1； （2）.【解析】【分析】（1）先求出的范围，利用全称命题为真命题即可求得；（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：i.p真q假时和ii. p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解.【小问1详解】记，由在单调递增，所以.要使命题，为真命题，只需，即a的最大值为1.【小问2详解】命题，使得为真命题，则，解得：
12、或.i.p真q假时，只需，所以；ii. p假q真时，只需或，所以；所以或.综上所述：a的取值范围为.19. 已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：.（1）求集合，集合；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用分式根式有意义及一元二次不等式的解法即可求解；（2）将是的充分不必要条件转为真子集关系，利用真子集的定义即可求解.【小问1详解】因为，即，解得，（），解得或，【小问2详解】是的充分不必要条件，令，则，且等号不同时成立，解得， 实数取值范围是.20. 已知函数，（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（
13、3）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.【解析】【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，解得,函数的定义域为.（2）函数为奇函数，证明：由第一问函数的定义域为，所以函数为奇函数.（3）解不等式，即即，从而有， 所以.不等式的解集为.【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.21. 某商场新进一批成本为8400元的商品，如果每斤商品卖80元，可以卖出100斤.现在商场要进行商品促销活动，经调
14、查，每斤商品的价格降低元，可以多卖出斤商品.（1）若要使这批商品不亏本，求的取值范围；（2）设利润的参照率，求利润的参照率的最大值及这时的商品价格.（参考数据）【答案】（1）； （2）利参照率的最大值为，商品价格为元.【解析】【分析】（1）设每斤商品的价格降低元，可得商品售出斤，得出不等式，即可求解；（2）设商品的价格降低元，得出利润的参照率的表达式，结合基本不等式求得最小值，即可得到答案.【详解】（1）设每斤商品的价格降低元，可得商品售出斤，所以销售收入为元，令，即，即，解得，所以要使这批商品不亏本，求的取值范围为.（2）设商品的价格降低元，可得利润为，所以利润的参照率 ，当且仅当时，即时等号成立，所以利润的参照率的最大值为，这时的商品价格为元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中
