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1、1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1B的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对.直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,专题能力训练 16 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1. 已知双曲线 - =1( a0, b0) 的焦距为 2 , 且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直, 则双曲线的方程为( )A. -y2=1 B.x 2- =1C. - =1 D. - =1答案： A解析： 双曲线 - =1( a0, b0) 的焦距为 2 ,c= .又 该双曲线的渐近线与直线
2、2x+y=0 垂直,渐近线方程为y= x. = , 即 a=2b.a2=4b2.c 2-b2=4b2. c2=5b2.5=5b2.b2=1.a2=c2-b2=5-1=4.故所求双曲线的方程为 -y2=1.2. (2017 全国 , 文 5) 已知 F是双曲线 C: x2- =1 的右焦点, P是 C上一点, 且 PF与 x 轴垂直,点 A的坐标是(1,3), 则APF的面积为( )A. B . C . D.答案： D：在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意A.B.C.D.答案：A解析：如图,取椭圆的左焦点F1,连接t2=10时,SMPQ可取最大值.17.已知动点C是椭圆的斜
3、率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(解析：由c2=a2+b2=4, 得c=2, 所以点F的坐标为(2,0) . 将x=2代入x2- =1, 得y=3, 所以PF=3.又点 A的坐标是(1,3), 故APF的面积为 3 (2 -1) = , 故选 D.3. 已知 O为坐标原点, F是椭圆 C: + =1( ab0) 的左焦点, A, B分别为 C 的左、右顶点, P 为 C上一点, 且 PFx 轴. 过点 A的直线 l 与线段 PF交于点 M, 与 y 轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点, 则 C的离心率为( )A. B. C. D.答案： A解析： 由题意知, A(
4、 -a,0), B( a,0), 根据对称性,不妨令 P ,设 l : x=my-a, M , E .直线 BM:y=- ( x-a) .又直线 BM经过 OE的中点, = , 解得 a=3c.e= = , 故选 A.4. (2017 天津, 文 5) 已知双曲线 - =1( a0, b0) 的右焦点为 F, 点 A 在双曲线的渐近线 上, OAF是边长为 2 的等边三角形( O为原点), 则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1C. -y2=1 D.x2- =1答案： DMP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必M,N,如图,则在RtBMN中,MN,故BN=.由
5、双曲A.2B.10C.8D.6答案：B=1右支上一点,点F1,F3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4解析： 双曲线 - =1( a0, b0) 的右焦点为 F( c,0), 点 A 在双曲线的渐近线上, 且OAF是边长为 2 的等边三角形, 不妨设点 A在渐近线 y= x 上, 解得 所以双曲线的方程为 x2- =1. 故选 D.5. 已知点 P 为双曲线 -的内心. 若 =A.2 B.10 C.8 D.6答案： B=1 右支上一点, 点 F1, F2 分别为双曲线的左、右焦点, M为 1(PF)F2+8, 则M1(F)F2 的面积为( )解析： 设内切圆的半径为 R,
6、 a=4, b=3, c=5. = +8, ( |PF1|-|PF 2| ) R=8,即 aR=8, R=2. 故 = 2c R=10.6. 设双曲线 - =1( a0, b0) 的右焦点为 F, 过点 F作与 x 轴垂直的直线l 交两渐近线于 A, B两点, 与双曲线的一个交点为 P, 设 O为坐标原点. 若 =m +n ( m, nR),且 mn=, 则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.答案： C解析： 在 y= x 中令 x=c, 得 A , B , 在双曲线 - =1 中令 x=c 得 P .当点 P 的坐标为 时, 由 =m +n ,F|,显然当PFl1,即d1=|FM|
7、时,距离之和取到最小值.2|FM|=,所求最小值为.9.如图,已知抛物线C1-1,即10, b0) . 矩形 ABCD的四个顶点在 E上, AB,CD的中点为 E 的两个焦点, 且 2|AB|=3|BC| , 则 E 的离心率是 . 答案： 2解析： 由题意不妨设 AB=3, 则 BC=2.设 AB,CD的中点分别为 M,N, 如图,则在 RtBMN中, MN,故 BN= .-1,即10) 作不过原点 O的直线 PA, PB分别与抛物线 C1 和圆 C2相切, A, B为切点.(1) 求点 A, B 的坐标;(2) 求PAB的面积.注: 直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平
8、行, 则称该直线与抛物线相=,解得a=3c.e=,故选A.4.(2017天津,文5点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)+(y-y为()解析：设内切圆的半径为R,a=4,b=3,c=5.=切, 称该公共点为切点.解(1) 由题意知直线 PA的斜率存在, 故可设直线 PA的方程为 y=k( x-t),由 消去 y, 整理得: x2-4kx+4kt=0,由于直线 PA与抛物线相切, 得 k=t.因此, 点 A的坐标为(2 t , t 2) .设圆 C2的圆心为 D(0,1), 点 B 的坐标为(x0, y0), 由题意知: 点
9、B, O关于直线 PD对称,故解得因此, 点 B的坐标为(2) 由(1) 知|AP|=t .和直线 PA的方程 tx-y-t 2=0.点 B到直线 PA的距离是 d= .设PAB的面积为 S( t ),所以 S( t ) = |AP| d= .10.如图, 动点 M与两定点 A( -1,0), B(1,0) 构成MAB,且直线 MA,MB的斜率之积为 4, 设动点 M的轨迹为 C.(1) 求轨迹 C 的方程;)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.舍去),=,=,e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,R(2) 设直线y=x+m(m0) 与y 轴相交于点P, 与轨迹 C相交于点 Q, R, 且|PQ|0,而当 1 或-1 为方程的根时, m的值为-1 或 1.结合题设( m0) 可知, m0, 且 m1.设 Q, R的坐标分别为( xQ, yQ),( xR, yR),则 xQ, xR为方程的两根,因为|PQ
