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1、城市附近海面有一台风，据检测，当前台210300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45的2111222S=pr=p(pa)(pb)(pc)(其中p=abc2,r为内切圆半径)射影定理：a=0，解得12t24.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭解(二)设在时刻t(h)台风中心为Q,此时nC)=(sinA+sinC)=sinA+sin(120A)=2sin(A+30)，因为0c= 2cos =sin , sin =cos 面积公式： S= absinC= bcsinA= casinB解：由正弦定理得： sinA= a sin Bb3,因为 B=4590且 ba, 2例 2 ABC
2、中，若 ，判断 ABC 的形状。.解三角形及应用举例一、教学目标： 1理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；2能正确运用正弦定理、 余弦定理及关系式A B C ，解决三角形中的计算和证明问题二、 教学重点： 掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题三、教学过程：（一）主要知识：掌握三角形有关的定理：正余弦定理： a2=b2+c2-2bccos , cosb2 c2 a22bc ；asinA bsinB csinC 2R内角和定理： A+B+C=180 ， sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,C A B C A B2 2 2 2
3、1 1 12 2 2S= pr = p( p a)( p b)( p c) (其中 p=a b c2, r 为内切圆半径)射影定理： a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA（二）例题分析：例 1在 ABC 中，已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45，求A,C 及边 c3 sin 452所以有两解 A=60 或 A=120(1) 当 A=60 时,C=180-(A+B)=75，(2) 当 A=120 时,C=180-(A+B)=15 ，c=bsin CsinBbsin Csin B2 sin 75sin 452 sin15sin
4、 456 22 ,62思维点拨： 已知两边和其中一边的对角解三角形问题， 用正弦定理解， 但需注意解的情况的 讨论tanA a2tanB b2.专心.拨：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质例5：在某海滨R化简：b2(a2+c2b2)=a2(b2+c2a2)(a2b2)(a2+b2c2)=0a=b或论tanAa2tanBb2.专心.解一：由正弦定理：sinAcosBsinBcosAsin2As12 c a b c b 2 3 2 3sin A sin B sin C , sin B 2 3.解一：由正弦定理： sin AcosBsinBcosA sin2
5、 Asin2A即：cosBcosAsin AsinB sin 2A sin 2B2A = 2B 或 2A = 180 2B解二： 由题设： sin AcosBcosAsinB即： A= B 或 A + B = 90 ABC 为等腰或直角三角形ab22a a2 c2 b22R 2acb2 c2 a2 bab222bc 2R化简： b2(a2 + c2 b2) = a2(b2 + c2 a2) (a2 b2)(a2 + b2 c2)=0a = b 或 a2 + b2 = c2 ABC 为等腰或直角三角形思维点拨： 判断三角形的形状从角或边入手例 3在 ABC 中，已知，成等差数列， b=1, 求证
6、： 1a+c 2.由正弦定理: 得 a+c= (sinA+sinC)= (sinA+sinC)=sinA+sin(120 A)=2sin(A+30 ) ，因为 0A120 ，所以 30A+30 150 ,故 12sin(A+30 )2.法二B=60,b=1 ，a2+c2-b2=2accos60 , a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2 +3(a-c) 2 =4, (a+c) 2 =4-3(a-c) 2 .0 a-c1 0 3(a-c) 21, 1a+c 2思维点拨： 边角互化是解三角形问题常用的手段例 已知 O 的半径为 R，在它的内接三角形 ABC 中，有2R sin
7、2 A sin2 C解：由已知条件得2a b sin B 成立，求ABC 面积 S 的最大值2R 2 sin2 A sin2 B 2Rsin B 2a b 即有 a 2 c2 2ab b2 ，又 cos C S a2 b2 c22abab sinC24ab222444R2 sin Asin B22R2 cos A B cos A B22R222cos A B .专心.=120(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75，(2)当A=120时,C=180Asin2B2RsinB2ab即有a2c22abb2，又cosCSa2b2c22444R2sin-(A+B)=15，c=bsinCsinBb
8、sinCsinB2sin75sin452sin15s在ABC中，已知a=3,b=2,B=45，求A,C及边c3sin452所以有两解A=60或A2220 t由余弦定理知OQ 2 PQ 2由于 PO=300,PQ=20tcos OPQ cos 452 1R2风中心位于城市 O(如图)的东偏南 ( arccos ) 方向2102 7 22 1022.所以当 A = B 时， Smax 2 思维点拨：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质例 5：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台210300 km 的海面 P 处，并以 20 km / h 的速度向西偏
9、北45 的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km ，并以 10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。解(一) 如图建立坐标系：以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻： t（h）台风中心 P(x, y) 的坐标为x 300y 300220107102t,22 .此时台风侵袭的区域是(x x)2 (y y)2 r(t)2 ，其中r(t) 10t+60，若在 t 时，该城市 O 受到台风的侵袭，则有(0 x)2 (0 y)2 (10t 60)2 ,即(300 20t)2 ( 300 20t)2 (10t 60)2 ,即t2 36t 288 0
10、 ， 解得12 t 24 .答： 12 小时后该城市开始受到台风气侵袭解(二)设在时刻 t(h) 台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km)若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则OQPO 2 2PQ45.专心.10t 60PO cos OPQ论tanAa2tanBb2.专心.解一：由正弦定理：sinAcosBsinBcosAsin2AsR化简：b2(a2+c2b2)=a2(b2+c2a2)(a2b2)(a2+b2c2)=0a=b或AsinB2R2cosABcosAB2R22cosAB.专心.所以当A=B时，Smax2思维点,(a+c)2+3(a-c)2=4,(a+c
11、)2=4-3(a-c)2.0a-c103(向量 n m，且nm，则 m 的坐标是2已知 a (1, ),b (0, ),c a kb,d a b ， ，则 k 等于 （ ） 2 2A. 1 B. C. D.1 23已知 5, （ ）c 与 d 的夹角为 423A. 23 B. 35 C. D.则4等腰 Rt ABC若向量 a 3b5_。答案： 1、A 2、A 3、C 4、 4a b a 32,b中， AB AC 2, AB BC垂直， a 4b与 7a 5b与 7a 2b.故OQ 2 PQ 2 PO 2 2PQ PO cos OPQ 202 t2 9600t 300t2因此202 t2 9600t 300t2 10t 60 2解得12 t 24（三）巩固练习：1已知 n (a,b), （ ）A. (b, a)或( b,a) B. (a, b) C. (a, b)或( a,b) D. (b, a)1
