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1、N分别为边AB、BC的中点当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为12.如图，矩形ORTM内放向线段PP所成的比为1.xx2，121在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x,y)、(P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为）的最，则10.如图，在直角坐标系中，ABC是以（影是一个实数，不一定大于0.（4）ab的几何意义：数量积ab等于a与b在a上的投影的乘积。（5）向量1 1 2 2 1（2 ）设 a (x , y ) ，b (x , y ) ，则 a b (x1 1 2 2211 1(x22x y1 2(x11 2 22 11 2 1 21 2 1 21 2 1 2PP
2、 PP ，则 叫做点P 分有向线段PP 所成的比， P 点叫做有向线段PP 的以定比为x1 1 1 2 2 2 1 2注意：设P (x , y )、P (x , y ) ，P(x, y) 分有向线段PP 所成的比为 ，则y11 y1 1 2 2高考向量专题复习1. 向量的有关概念：（ 1 ）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2 ）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 .（3 ）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与 AB共线的单位向量是AB.AB（4 ）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（5 ）平行向量又叫共线向量，记
3、作： a b .向量a(a 0) 与b 共线，则有且仅有唯一一个实数 ，使b a ；规定： 零向量和任何向量平行；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有0 ) ； 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（6 ）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2. 平面向量的坐标表示及其运算：（ 1 ）设 a (x , y ) ，b (x , y ) ，则 a b (x1 1 2 2 1（3 ）设 、 两点的坐标分别为 x , y ， x , yx , y2 1x , y2 12y ) ；y ) ；2，则 AB=(xx , y1 2y
4、 ) ；（4 ）设 a (x , y ) ，b（5 ）设两个非零向量 a, y ) ，向量平行a/ b, y ) ，b (x , y ) ，则 a bx y ；x x y y ，1 2 1 2所以 a b a b 0（6 ）若 a (x, y) ，则 ax x y y 0 ；x2 y2 ；（7）定比分点：设点P 是直线p , p 上异于 p , p 的任意一点，若存在一个实数 ，使1 2 1 2 1 2的定比分点；当P 分有向线段PP 所成的比为 ，则点 P 分有向线段PP 所成的比为 1 .x x2y，1 2 1在使用定比分点的坐标公式时，应 明确(x, y) ，(x , y ) 、(x ,
5、 y ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点， 并根据这些1，则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；动点P满足=+（）（0），则ABC的内心一定在满故在学习空间向量时，可进行类比学习。如，若A、B三个向量共面，则MPxMAyMB.同时，对于空间任意D.III14.在坐标系xoy中，O点坐标为（0，0），点A（3，4），点B（-4，3），点P在知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为20.已知1 2；xy点确定对应的定比 . 当1时，就得到线段PP 的中点公式 1 21 2当 P 点
6、在线段PP 的反向延长线上时 1 0 ；a b，a b0 是 为锐角的_件；0 是 为钝角的_件；（6）向量三角不等式：当 a,b 同向当a,b 反向aa当a,b 不共线bbaa aab a b a ba b a b a b a ba b ；x x1 22y y .1 22 的符号与分点P 的位置之间的关系：当 P 点在线段PP 上时0当 P 点在线段PP 的延长线上时 1；1 23. 平面向量的数量积：（ 1）两个向量的夹角： 对于非零向量 a 、b ，作OA a ，OB b ， AOB 0称为向量 a 、b 的夹角。（2）平面向量的数量积： 如果两个非零向量 a 、b ，它们的夹角为 ，我
7、们把数量 a b cos叫做 a 与b 的数量积（或内积或点积），记作： a b ，即 a b a b cos .零向量与任一向量的数量积是 0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）b 在 a 上的投影为 b cos ，投影是一个实数，不一定大于 0.（4）a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 与b 在 a 上的投影的乘积。（5 ）向量数量积的应用：设两个非零向量 a 、b ，其夹角为 ，则 cos当 a b a b 0 时， 为直角；当 a b 0 时， 为锐角或 a,b 同向； 注意： a b当 a b 0 时， 为钝角或a,b 反向； 注意： a bbb ，b ，
8、a b2P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为）的最，则10.如图，在直角坐标系中，ABC是以（AOB的角平分线上，且OP长度为52，则点P坐标为b的最小值是，16.如图，三个边长为2的等边三角故在学习空间向量时，可进行类比学习。如，若A、B三个向量共面，则MPxMAyMB.同时，对于空间任意小值为例4.已知平面向量，满足|=，|=1，=-1，且-与-的夹角为，则|的最大值为变式训练1 2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底。e2 2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内24. 平面向量的分解定理（ 1 ）平面向量分解定理：如果e 、1的任意向量 a ，有且只有一对实数
9、 、 ，使 a2e1 1成立， 我们把不共线的向量e 、1（2）O为平面任意一点， A、 B、 C为平面另外三点， 则 A、 B、 C三点共线且 1.1 2OA OB OC1 25. 空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的， 它是三维空间里具有大小和方向的量， 它的坐标表示有 x， y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。 如，若 A、B三个向量共面，则MP xMA y MB . 同时，对于空间任意一点 O，存在OP OM xMA y MB mOM n OA OB ，其中 m n _例 1. 下列命题：若 与 共线，则存在唯一的实数 ，使 = ；若
10、向量 、 所在的直线为异面直线，则向量 、 一定不共面；向量 、 、 共面，则它们所在直线也共面；若 A、B、C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点，若 ，则点 M 一定在平面 ABC 上，且在 ABC 内部；若 a/ b ，且 b/ c ，则 a/ c ；若a b 0 ，则它们的夹角为锐角；其中正确的命题有_ （填序号）例 2. 已知向量 ， 夹角为 ，| |=2，对任意 xR，有| +x |- |，则|t - |+|t - |（tR）的最小值是_3AOB的角平分线上，且OP长度为52，则点P坐标为b的最小值是，16.如图，三个边长为2的等边三角N分别为边AB、BC的中点当正方形ABC
11、D绕圆心O旋转时，的取值范围为12.如图，矩形ORTM内放值是3例3.如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，A=120，E、F分别是AB一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）b在a上的投影为bcos，投例 3. 如图， 在等腰三角形 ABC 中， 已知|AB|=|AC|=1，A=120，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且N，则， ，且 ， （0，1），且 +4=，1若线段 EF、BC 的中点分别为 M、的最小值为_例 4. 已知平面向量 ， ， 满足| |= ，| |=1， =-1，且 - 与 - 的夹角为 ，则| |的最大值为_变式训练：1. 已知向量 =（-1， -2）， =（ 1，），若 ， 的夹角为钝角， 则 的取值范围是_2. 在ABC 中， |AB|=5，|AC|=6，若 B=2C ，则向量 在 上的投影是_3.如图， 在 ABC 中， 已知BAC=，| |=2，| |=3，点 D 为边 BC 上一点，满足 +2 =3 ，点 E 是 AD 上一点，满足 =2 ，则| |=_4. 在平面四边形 ABCD 中， 点 E，F 分别是边 AD，B
