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1、n3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an数列bn的第2项、第3项、第4项an1成立，求c1c2c3c2013.解：(1)解得1q525答案：119(2012西城期末)已知an是公比为2的等比数列，若a3a则公比q.解析：S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq如果一个数列从第为如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与b 的等比中项即：a ，G ，b 成等比数列ana1q(1)通项公式：a1 1q(nN* ，q 为非零常数)G2ab.nqn a1 1q (2)前 n 项和公式： S 等比数列及其前 n 项和知识能否忆起1等比数列的有
2、关概念(1)定义：2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比， 通常用字母 q 表示， 定义的表达式an1an(2)等比中项：G 是 a 与b 的等比中 项2等比数列的有关公式n 1.na1 ，q1，1q ，q1.anq3等比数列an 的常用性质(1)在等比数列an 中，若 mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则 am nap qa r(2) . 特别地， a1ana2an 1a3an2 .(2)在公比为 q 的等比数列an 中，数列 am ，amk ，am2k ，am3k ，仍是等比数列，公比为 qk；数列 Sm ，S
3、2mSm ，S3mS2m ，仍是等比数列(此时 q1)；anamqnm.小题能否全取1(教材习题改编)等比数列an 中， a44，则 a2 6 等于( )A 4 B 8C16 D32解析： 选 C a2 6a 4(2) 16.2已知等比数列an 的前三项依次为 a1，a 1，a 4，则 an( )3 2A42 n B4 3 n因此，ana1n1(nN*)a113n11111所以存在a12，使数列bn为等比数的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则q.解析：法一：S4(n2)c1b3数列bn的第2项、第3项、第4项an1成立，求c1c2c3c2013.解：(1)n 1a1
4、4，q2，故 an4 2 n 1.112n解析： a4a1q3 ，得 42q3 ，解得 q2，a1a2 an 12 2n 12.12 2n 132C42D4 3 n 1解析： 选 C (a1)2(a 1)(a4) a5，3 33已知等比数列an满足 a1 a23，a2 a36，则 a7( ) A64 B81C128 D243解析： 选 A q 2，故 a1 a1q3 a11，a71 27 164.4(2011 北 京高考)在等比数列an 中，若 a12，a44，则公比 q_ ；a1 a2an_.11 2 1答案： 25(2012 新 课标全国卷)等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3
5、 3S20，则公比 q _.解析： S33S20，a1a2 a33(a1 a2)0，a1(4 4qq2)0.a1 0， q2.答案： 21.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常数(2) 由 an1qan ，q0 并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a1 0.2等比数列的前 n 项和 Sn(1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的 运用(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形导致解题失误项公式自主解答(1)证明：anSnn，an
6、1Sn1n1.得an1a1116，则log2a10()A4C6解析：选BB5D7a31116，a16.，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.1等比数列基本若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80B30C26D16解析：选B设S2na，Sa12，c12.又 cnan 1，故cn是以 2为首项， 2为公比的等比数列1 1 1ancn 11 2 n.证明： 由(2)知 an1 2 n，当 n2 时， bnanan 1121n 112n 112.又 b1a12也符合上式，bn12bn1 bn1nn等比数列的判定与证明典题导入例 1 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，
7、且 anSnn.(1)设 cnan 1，求证： cn是等比数列；(2)求数列an 的通项公式自主解答 (1)证明： anSnn，an1 Sn1n 1.得 an1an an11，2an1an 1，2(an1 1)an 1，aa(n)n() 2(1) .首项 c1a1 1，又 a1a11，1 11 1(2) 由(1)可知 cn 2 2 n 1 2 n，1在本例条件下，若数列bn满足 b1a1 ，bnanan 1(n2)，证明bn是等比数列11 1 2 n 121n.2，数列bn是等比数列由题悟法等比数列的判定方法比数列D既不是等差数列又不是等比数列解析：选A由logaan1logaan2，得log
8、aa12logaa2，故a1a2.又a0且a1，所以数列an为等比数列等比数列的基本运算(2012沈阳模拟)已知函数f(x)logax，且所有项为正数的无穷数列an满足logaan，还要验证a10.2等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意a1q6， a13， a12，6a1 a1q230. q2 q3.(1)定义法：若aa(n)n() 1q(q 为非零常数， nN*)或an(a)n1q(q 为非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an 中， an 0 且 a n(2)1an n2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法
9、：若数列通项公式可写成 anc qn(c，q 均是不为 0 的常数， nN*)，则an是等比数列以题试法1 (2012 沈阳模拟)已知函数 f(x)logax，且所有项为正数的无穷数列an满足 logaan1logaan2，则数列an( )A一定是等比数列B一定是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列解析： 选 A 由 logaan1logaan2，得 logaaa(n)n() 12logaa2，故aa(n)n() 1a2.又 a0 且 a1，所以数列an为等比数列等比数列的基本运算典题导入例 2 (2011 全国高考)设等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知
10、a26,6a1a330，求 an 和 Sn.自主解答 设an 的公比为 q，由题设得 解得 或当 a13，q2 时， an3 2n 1 ，Sn3 (2n 1)；当 a12，q3 时， an2 3n 1 ，Sn3n 1.由题悟法1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1 ，n，q，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解2在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视 q 的取值而盲目用求和公式以题试法a82(2012山西适应性训练)已知数列an是公差不为零的等差数列， a12，且 a2 ，a4，成等比数列a2
11、1d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)d2a2qa2q23a2q22，化简得2q2q30，3法二：设等比数列an的首项为a121.2，数列bn是等比数列等比数列的判定方法(1)定义法：若a1q(q为非零常数，n1logaan2，则数列an()A一定是等比数列B一定是等差数列C既是等差数列又是等则 Sn3234 32n 19 8(9n 1)2自主解答 (1) 因为 a3a4a53 a 4(3)，所以 a433.故 sin(log 3a1 log3a2 log3a7) 2 .将 S62S3 代入得S94.2(1)求数列an 的通项公式；(2)求数列3an 的前 n 项和解： (1)设等差数列an 的公差为 d(d0)因为 a2 ，a4 ，a8 成等比数列，所以(23d)2(2d) 27d)，解得 d2.所以 an2n(nN*)(2) 由(1)知 3an32n ，设数列3an 的前 n 项和为 Sn，9 19n 9等比数列的性质
