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1、北京第115中学2022年高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆与抛物线的准线相切，则m=(A)2 (B) (C) (D)参考答案：2. 展开式中不含项的系数的和为 A B C D 参考答案：B略3. 已知，则a,b,c三个数的大小关系是 A. B. C. D.参考答案：A略4. 若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：f（x）=x3；f（x）=3x；f（x）=sin；f（x）=2ln3x3其中可以找到一个区间使其成为保城函数的有(
2、)A1个B2个C3个D4个参考答案：B考点：函数的值 专题：综合题；函数的性质及应用分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案解答：解：对于函数f（x）=x3存在“等值区间”，如 x时，f（x）=x3对于函数f（x）=3x，若存在“等值区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有3a=a，3b=b，即方程3x=x有两个解，即y=3x和y=x的图象有两个交点，这与y=3x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“等值区间”对于函数f（x）=sin，存在“等值区
3、间”，如 x时，f（x）=sin；对于f（x）=2ln3x3，由于函数是定义域内的增函数，故有2ln3x3=x有两个解，不成立，所以不存在“等值区间”故选：B点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，考查了函数的值域，在说明一个函数没有“等值区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于创新题5. 在上满足，则的取值范围是 （ ）A B C D参考答案：A 6. 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A. （）B. （1，）C. （）D. （1，）参考答案：D略7. 若将函数表示为，其中为实数，则（ ）. A.
4、15 B.5 C. 10 D.20参考答案：C略8. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A B C D参考答案：C 由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.9. 已知函数f(x)为偶函数，当x1,1时，f(x)=，且f(x+1)为奇函数，则f()=（ ）A. B. C. D. 参考答案：C函数为偶函数，又为奇函数，图象关于点对称，函数的图象关于点对称，函数的周期4，故选C10. 设曲线C:x2=y上有两个动点A、B，直线AB与曲线C在A点处切线垂直，则点B到y轴距离的最小值是（ ）A B C
5、 D2参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面向量，的夹角为，|=2，|=1，则|+|= 参考答案：考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：运用数量积的定义求解得出=|?|cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=|2+|2+2，代入数据求解即可解答：解：平面向量，的夹角为，|=2，|=1，=|?|cos=2=1，|+|2=（）2=|2+|2+2=4+12=3，即|+|=故答案为：点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题12. 在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为 参考答案：12 又
6、时符合题意，所以的最大值为13. 已知二项式的展开式中第4项为常数项，则_参考答案：5略14. 如图圆的直径,P是AB的延长线上一点,过点P 作圆的切线,切点为C,连接AC,若,则 . 参考答案：15. 若实数x,y满足，则的最小值是_参考答案：【详解】由约束条件作出可行域如图，令,则，由图可知,当直线过B时，z有最小值.，解得.的最小值是.故答案为：.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
7、16. 设数列an的前n项和为Sn，且，若a4=32，则a1=参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论【解答】解：，a4=32，=32，a1=，故答案为【点评】本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础17. 在数列中，Sn为其前n项和，a1=1，a2 =2，an+2 an=1+(1）n，则S20= .参考答案：120三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (13分)设满足约束条件:的可行域为（1）求的最大值与的最小值;（2）若存在正实数,使函数的图象经过区域中的点,求这时的取值范围.参
8、考答案：（1）由，得 由，得 由，得 ，可行域M为如图，又 是轴的截距，过点时，是表示区域M上的点到原点O距离平方.如图使所求距离的平方最小，.（2）过区域M中的点，而区域中又，函数图象过点当时，满足过区域M中的点，只须图象与射线有公共点. 只须时, 所求的取值范围是.19. （本小题12分）六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰）,若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考试是否合格互不影响。求某个学生不被淘汰的概率。求6名学生至多有两名被淘汰的概率假设某学生不放弃每一次考核的机
9、会，用表示其参加补考的次数，求随机变量的分布列和数学期望。参考答案：1）正面： 两个项目都不补考能通过概率： 两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：两个项目都要补考才能通过的概率：反面（间接法）被淘汰的概率：2）3) 012P20. （本题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，.（）求证：；（）设分别为的中点，点为内一点，且满足，求证：面；（）若，求二面角的余弦值参考答案： 即 不妨设，则有，所以因为，（）由（）可知平面的一个法向量21. 对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是.(1)求的值; (2)解不等式.参考答案：解: (1)不等式恒成立,即对于任意的实数()和恒成立,只
10、要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为,当且仅当时等号成立,即时,成立,也就是的最小值是2. (2) . 解法1:利用绝对值的意义得: 解法2:当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.当时,原不等式化为 ,得的取值范围是.当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.综上所述: 的取值范围是.解法3:构造函数作 的图象,利用图象有得: . 1略22. 设函数f（x）=x36x+5，xR（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围（3）已知当x（1，+）时，f（x）k（x1）恒成立，求实数k的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的极
11、值；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间和极值；（2）画出函数的大致图象，结合图象从而求出a的范围；（3）问题转化为kx2+x5在（1，+）上恒成立，结合二次函数的性质求出即可【解答】解：（1）f（x）=3（x22），令f（x）=0，得x1=，x2=，x或x时，f（x）0，当时，f（x）0，f（x）的单调递增区间（）和（），单调递减区间是（，），当x=，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值54（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图示：当54a5+4时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，即当54a5+4时方程f（x）=a有三解（3）f（x）k（x1）即（x1）（x2+x5）k（x1）x1，kx2+x5在（1，+）上恒成立令g（x）=x2+x5，由二次函数的性质，g（x）在（1，+）上是增函数，g（x）g（1）=3所求k的取值范围是k3【点评】本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，二次函数的性质，本题是一道中档题
