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1、浙江省杭州市树兰实验学校高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数Z满足（2+i）Z=12i3，则复数对应的点位于复平面内 （ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限参考答案：A略2. 设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的 A充要条件 B充分不必要条件 C既不充分也不必要条件 D必要不充分条件 参考答案：B略3. a为正实数，i为虚数单位，|2，则a() (A)2 (B) (C) (D)1参考答案：B4. 已知，表示两个不同的平面，m
2、为平面内的一条直线，则“”是“m”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：B5. 已知则的最小值为（ ）A B C D参考答案：C略6. 在三棱锥中，且三棱锥的外接球的表面积为，则（ ）A B C. 2 D3参考答案：B7. 设则的大小关系（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：D略8. 设实数x，y满足的约束条件,则的最大值是（）A. B. 1C. 3D. 9参考答案：C【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据指数函数的单调性利用图象找出最优解，计算目标函数的最大值【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示；设，则直线过点时，的值最
3、小，此时取得最大值由得： 的最大值是本题正确选项：C9. 设集合M=x|1x2，N=x|xk0，若MN?，则k的取值范围是（）A（，2B1，+）C（1，+）D1，2参考答案：B【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】求出集合N的解集，然后根据集合M和N的交集不为空即两个集合有公共元素，得到k的取值范围【解答】解：集合N的解集为xk，因为MN?，得到k1，所以k的取值范围是1，+）故选B【点评】本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型10. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则 =（ ）A B C D参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,
4、共28分11. 若不等式|x-2|+|x+3|的解集为?,则的取值范围为_.参考答案：略12. 记不等式x2+x60的解集为集合A，函数y=lg（xa）的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为参考答案：（，3【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由x2+x60得3x2，即A（3，2），由xa0，得xa，即B=（a，+），若“xA”是“xB”的充分条件，则A?B，即a3，故答案为：（，313. 如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形AB
5、CD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于参考答案：【考点】定积分的简单应用；几何概型【专题】导数的综合应用；概率与统计【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答【解答】解：由已知，矩形的面积为4（21）=4，阴影部分的面积为=（4x）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答14. 设抛物线的焦点为F,已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为 参考答案：115. 若方程仅有一解,则实
6、数的取值范围是_.参考答案：略16. 阅读如图所示的程序框图，输出的S值为参考答案：17. 若对于恒成立，则实数a的取值范围 。参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 直三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：（1）先
7、证明ABAC，然后以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（，0，1），所以?=0，即DFAE； （2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2，2（1），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos，|=，解出的值即可解答：（1）证明：AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1AE=A，AB面A1ACC1，又AC?面A1ACC1，ABAC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z）， 且，即（x，y，z1）=（1，0，0），
8、则 D（，0，1），所以=（，1），=（0，1，），?=0，所以DFAE； （2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，=（，），=（，1），即，令z=2（1），则=（3，1+2，2（1）由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，|cos，|=，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求点评：本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题19. 20（本小题满分14分）有个首项为1，项数为的等差数列，设其第个
9、等差数列的第项为，且公差为. 若，也成等差数列（）求（）关于的表达式；（）将数列分组如下：，），（每组数的个数组成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前项和；（）设是不超过20的正整数，当时，对于（）中的，求使得不等式成立的所有的值参考答案：解（）由题意知，同理，成等差数列，所以，故.即是公差是的等差数列所以，（，） 5分（）由（）知数列分组如下：，按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为，即前组中所有数之和为，所以 因为，所以，从而 所以 .，故，所以 10分（）由（）得，.故不等式就是考虑函数当时，都有，即而，注意到当时，单调递增
10、，故有.因此当时，成立，即成立所以满足条件的所有正整数14分略20. （本题满分10分) 如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转到OD（）求线段PD的长；（）在如图所示的图形中是否有长度为的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理由参考答案：（）PA切圆O于点A,且B为PO中点,AB=OB=OA （5分）（II）存在（10分）21. 设数列an的前n项和为Sn，且a12，an12Sn2.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn的各项均为正数，且bn是的等比中项，求bn的前n项和Tn.参考答案：22. 设函数，（1）求f（x）在x=1处的切线方程；（
11、2）证明：对任意a0，当0|x|ln（1+a）时，|f（x）1|a参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，即可求f（x）在x=1处的切线方程；（2），构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论【解答】解：（1），f（1）=1，f（1）=e1，f（x）在x=1处的切线方程为ye+1=x1，即xy+e2=0（2）证明：，设?（x）=ex1x，?（x）=ex1，?（x）0?x0，故?（x）在（，0）内递减，在（0，+）内递增，?（x）?（0）=0即ex1x0，当0|x|ln（1+a）时，|f（x）1|a?（ex1x）a|x|，即当0xln（1+a）时，ex1（1+a）x0，（）当ln（1+a）x0时，ex1（1a）x0，（）令函数g（x）=ex1（1+a）x，h（x）=ex1（1a）x注意到g（0）=h（0）=0，故要证（），（），只需要证g（x）在（0，ln（1+a）内递减，h（x）在（ln（1+a），0）递增当0xln（1+a）时，g（x）=ex（1+a）eln（1+a）（1+a）=0当ln（1+a）x0时，综上，对任意a0，当0|x|ln（1+a）时，|f（x）1|a
