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1、2022-2023学年广东省广州市增城市新塘镇永和中学高二数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则 （ ）A. 2 B. C. 3 D. 参考答案：A 如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设。由得，所以，整理得。选A。2. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是( )A. yxB. ylg xC. y2xD. y参考答案：D试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选
2、D考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用3. 已知i为虚数单位, 若复数i，i，则=( ) Ai B. i C. i Di参考答案：A略4. 数列中，则 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A5028 B5017 C4967 D4856参考答案：D5. 在平面直角坐标系中，直线经过伸缩变换后的直线方程为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】由伸缩变换可得：x，y，代入直线3x2y-2=0即可得出【详解】由伸缩变换可得： ，代入直线3x2y-2=0可得：9x2y-2=0，即9xy-2=0故选：D【点睛】本题考查了坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6
3、. 已知是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左、右焦点，若，则( )A7 B6 C5 D3 参考答案：A略7. 下列程序若输出的结果为4，则输入的x值可能是（ ）INPUT “x=”;xy=x2+2*x+1PRINT yENDA. 1 B. 3 C. 1 D 1或3.参考答案：D8. ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，ABC周长为18，则C点轨迹为( )（A）(y0) （B） (y0)（C） (y0) （D） (y0)参考答案：A9. 已知直线 和夹角的平分线为y,如果 的方程是ax+by+c=0(ab0) ，那么的方程是（ ）Abx+ay+c=0 Bax-b
4、y+c=0 Cbx+ay-c=0 Dbx-ay+c=0参考答案：A10. 已知直线l：xky5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=( )A2B2CD参考答案：B考点：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系 专题：平面向量及应用分析：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值解答：解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得 k=2，故选：B点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不
5、等式的解是_参考答案：(0,2)12. 已知等比数列an中，各项都是正数，且成等差数列，则 .参考答案： 13. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x元456789销量y元908483807568由表中数据，求得线性回归方程为，若从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为参考答案：【考点】线性回归方程【分析】计算样本中心，代入回归方程解出a，得到回归方程，再计算当x=4，5，6，9时的预测值，找出真实值比预测值小的点的个数，利用古典概型的概率公式计算概率【解答】解： =， =80，a=106，回归方程为=4x+106计算预测销
6、量如下：单价x元456789销售量y908483 80 75 68 预测销售量9086 82 78 74 70 销售量比预测销量少的点有2个，从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率P=故答案为14. 从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是_.参考答案：15. 命题“时，满足不等式”是假命题，则的取值范围 参考答案：略16. 在极坐标系中，已知圆与直线相切，则实数=_.参考答案：或2略17. 函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 .参考答案：(0,3)试题分析：由于函数在上单调递增，且函数
7、的一个零点在区间(1,2)内，则有且，解得.考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an满足a1=4，an+1=3an2（nN+）（1）求证：数列an1为等比数列，并求出数列an的通项公式；（2）令bn=log3（a11）+log3（a21）+log3（an1），求数列的前n项和Tn参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）由an+1=3an2（nN+），变形为an+11=3（an1），即可证明（II）由（I）可得log3（an1）=n可得bn=1+2+n=可得=2利用“裂项求和”
8、即可得出【解答】（I）证明：an+1=3an2（nN+），an+11=3（an1），数列an1为等比数列，a11=3an1=3n，（II）解：由（I）可得log3（an1）=nbn=log3（a11）+log3（a21）+log3（an1）=1+2+n=2数列的前n项和Tn=+=19. 设全集是实数集R，B（）当a4时，求AB和AB；（）若，求实数的取值范围. 参考答案：20. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3）
9、在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】压轴题【分析】（1）设椭圆方程为由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题设条件得由此入手可求出（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x1）（k
10、0）由题意知（1+2k2）x24k2x+2k22=0由此可知【解答】解：（1）由已知，椭圆方程可设为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所求椭圆方程为（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y1=0，解得（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x1）（k0）由可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0其中x2x10以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形?（x1+x22m，y1+y2）（x2x1，y2y1）=0?（x
11、1+x22m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）=0?（x1+x22m）+k（y1+y2）=0?2k2（2+4k2）m=0【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答21. （本小题满分14分）已知大于1的正数x，y，z满足（1）求证：（2）求的最小值参考答案：（1）由柯西不等式得，（）（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）（x+y+z）2=27得：；（2）=+，由柯西不等式得：（+）（log3（xy）+log3（yz）+log3（zx），由柯西不等式得：（+）（log3（xy）+log3（yz）+log3（zx）9所以，得所以，当且仅当时，等号成立
12、故所求的最小值是322. 已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（1）对x（0，+），不等式2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：对一切x（0，+），都有参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）由已知得a2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+（x0），则h（x）=，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围（2）问题等价于证明xlnx（x（0，+），设m（x）=（x（0，+），则m（x）=，由此利用导数性质求证即可【解答】解：（1）2xlnxx2+ax3，则a2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+（x0），则h（x）=，当x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）min=h（1）=4，对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，ah（x）min=4证明：（2）问题等价于证明xlnx（x（0，+），由（1）可知f（x）=xlnx（x（0，+）的最小值是，当且仅当x=时取得设m（x）=（x（0，+），则m（x）=，由题意得m（x）max=m（1）=，当且仅当x=1时取到，从而对一切x（0，+），都有lnx成立
