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1、辽宁省朝阳市北票第三高级中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 根据下面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )A B C D参考答案:D2. 已知定义域为的奇函数的导函数为,当时, ,若, , , ,则的大小关系正确的是( )A. B. C. D. 参考答案:D试题分析:设,所以,因为是定义在上的奇函数,所以是定义在的偶函数,当时, ,此时函数单调递增因为, , ,又,所以故选D考点:1、函数的奇偶性;2、函数的单调性;3、导数在研究函数中的应用【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数
2、在函数研究中的应用等方面的综合应用问题,属于难题解决本题的基本思路是通过构造函数 ,并对进行求导,可以发现, , 就是的三个函数值,再根据的单调性,就可以比较出, , 的大小,进而得出结论3. 在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为()A. B. C. D. 参考答案:C如图所示,BCD是圆内接等边三角形,过直径BE上任一点作垂直于直径的弦,设大圆的半径为2,则等边三角形BCD的内切圆的半径为1,显然当弦为CD时就是BCD的边长,要使弦长大于CD的长,就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|,记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长=弦中点在内切
3、圆内,由几何概型概率公式得,即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是故选C4. 已知,则函数的各极大值之和为A. B. C. D. 参考答案:A【知识点】利用导数研究函数的极值B12 函数f(x)=ex(sinxcosx),f(x)=ex(sinxcosx)=ex(sinxcosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx;令f(x)=0,解得x=k(kZ);当2kx2k+时,f(x)0,原函数单调递增,当2k+x2k+2时,f(x)0,原函数单调递减;当x=2k+时,函数f(x)取得极大值,此时f(2k+)=e2k+sin(2k+)cos(2k+)=e2k+;又0x2015,0和2015都
4、不是极值点,函数f(x)的各极大值之和为:e+e3+e5+e2011+e2013=故选:A【思路点拨】求出函数的函数,利用导函数判断函数的单调区间与极大值点,从而求出极大值;再利用等比数列的求和公式求出函数f(x)的各极大值之和.5. 执行右面的程序框图,输出的S的值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4参考答案:C6. 设抛物线:的焦点为,点为上一点,若,则直线的倾斜角为( )A或 B或 C或 D或参考答案:D7. 已知数列 的值为 A11 B12 C13 D14参考答案:C略8. 已知A,B,C在球的球面上,AB=1,BC=2,直线OA与截面ABC所成的角为,则球的表面积为A.
5、B. C. D.参考答案:D中用余弦定理求得,据勾股定理得为直角,故中点即所在小圆的圆心;面,直线与截面所成的角为,故可在直角三角形中求得球的半径为;计算球的表面积为.选D.9. 下列四组函数中,表示同一函数的是( ) 参考答案:D10. 设全集,集合,则= ( ) A B C C参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数=,则不等式的解集为 参考答案:略12. 已知函数, 则_参考答案:13. (几何证明选做题)如图(3),是圆的直径,延长至,使,且,CD是圆的切线,切点为,连接,则_,_ 参考答案:、略14. 将一条长为8cm的线段分成长度为正整数的三段,
6、这三段能构成三角形的概率= 参考答案:【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】若分成的三条线段的长度均为正整数,列出三条线段的长度的所有可能种情况,找出能构成三角形,得到概率【解答】解:若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为1、1、6;1、2、5;1、3、4;2、2、4;3、3、2;一共有5种等可能情况,能够构成三角形的只有3、3、2;能构成三角形的概率P=故答案为:【点评】本题考查古典概型,考查学生分析解决问题的能力,比较基础15. 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于_cm3.参考答案:1观察三视图知该三棱锥的底面为一
7、直角三角形,右侧面也是一直角三角形故体积等于16. 是虚数单位,能使得成立的成立的最小正整数是 ;【解析】由,得,所以,即,所以最小的正整数为3。参考答案:由,得,所以,即,所以最小的正整数为3。【答案】3 17. 如果等差数列中,那么的值为 参考答案:36三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数,直线是函数的图像的任意两条对称轴,且的最小值为.(I)求的值;(II)求函数的单调增区间;(III)若,求的值.参考答案:略19. 某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品
8、单价的降低值(单位:元, )的平方成正比,已知商品单价每降低2元时,一星期多卖出24件。(1)请将一个星期的商品销售利润表示成的函数;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大,最大值是多少?参考答案:解析:1)设商品降价元,则多卖的商品数为,若记商品在一个星期的获利为,则依题意有,4分又由已知条件,于是有,5分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以7分2)根据1),我们有8分21200极小极大故时,达到极大值因为,11分所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大,最大值为11264元。14分20. 如图1,O的直径AB=4,点C、D为O上两点
9、,且CAB=45,DAB=60,F为的中点沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)(1)求证:OF平面ACD;(2)求二面角CADB的余弦值;(3)在上是否存在点G,使得FG平面ACD?若存在,试指出点G的位置,并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值;若不存在,请说明理由参考答案:考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.专题:空间角分析:(1)以O为坐标原点,以AB所在直线为y轴,以OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系,求出向量与的坐标,利用向量共线的坐标表示求证OFAC,从而说明线面平行;(2)根据,DAB=60求出D点坐标,然后求出平面ACD
10、的一个法向量,找出平面ADB的一个法向量,利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角CADB的余弦值;(3)假设在上存在点G,使得FG平面ACD,根据(1)中的结论,利用两面平行的判定定理得到平面OFG平面ACD,从而得到OGAD,利用共线向量基本定理得到G的坐标(含有参数),然后由向量的模等于圆的半径求出G点坐标,最后利用向量与平面ACD的法向量所成角的关系求直线AG与平面ACD所成角的正弦值解答:(1)证明:如图,因为CAB=45,连结OC,则OCAB以AB所在的直线为y轴,以OC所在的直线为z轴,以O为原点,作空间直角坐标系Oxyz,则A(0,2,0),C(0,0,2),点F为的中点,点F
11、的坐标为,即OFACOF?平面ACD,AC?平面ACD,OF平面ACD(2)解:DAB=60,点D的坐标,设二面角CADB的大小为,为平面ACD的一个法向量由有即取x=1,解得,= 取平面ADB的一个法向量=(0,0,1),(3)设在上存在点G,使得FG平面ACD,OF平面ACD,平面OFG平面ACD,则有OGAD设,又,解得=1(舍去1),则G为的中点因此,在上存在点G,使得FG平面ACD,且点G为的中点设直线AG与平面ACD所成角为,根据(2)的计算为平面ACD的一个法向量,因此,直线AG与平面ACD所成角的正弦值为点评:本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知
12、识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力,此题是中档题21. 某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度,对20名学生进行问卷计分调查(满分100分),得到如图所示的茎叶图:(1)计算男生打分的平均分,观察茎叶图,评价男女生打分的分散程度;(2)从打分在80分以上的同学随机抽3人,求被抽到的女生人数的分布列和数学期望.参考答案:(1)男生打的平均分为:,由茎叶图知,女生打分比较集中,男生打分比较分散;(2)因为打分在80分以上的有3女2男,的可能取值为1,2,3,的分布列为:123.22. 已知椭圆的离心率,且点在椭圆上()求椭圆的方程;()直线与椭圆交于、两点,且线段的垂直平分线经过点求(为坐标原点)面积的最大值参考答案:见解析【知识点】圆锥曲线综合椭圆解:()由已知,点在椭圆上,解得所求椭圆方程为()设,的垂直平分线过点,的斜率存在当直线的斜率时,当且仅当时,当直线的斜率时, 设消去得:由 ,的中点为由直线的垂直关系有,化简得 由得又到直线的距离为,时,由,解得;即时,;综上:;