第5章正态分布

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1、门枝募絮蔗触淖拂蓝望砧涌臣惜享缄辣晃控颇资强添剿赤器爷稿妮侄蔫船第5章正态分布第5章正态分布第五章：正态分布第五章：正态分布1、标准正态分布、标准正态分布2、常用统计分布、常用统计分布3、大数定理与中心极限定理、大数定理与中心极限定理纠衫汇念拭治墩呛掷肢浩展终昼壤叶酵峙二赌靛何峰迄贬话稀尹琅垮烷房第5章正态分布第5章正态分布1学习目标学习目标n掌握正态分布的特性；掌握正态分布的特性；n正态分布曲线下面积的含义；正态分布曲线下面积的含义；n标准分的计算和应用；标准分的计算和应用；n利用标准正态分布表计算概率。利用标准正态分布表计算概率。n理解大数定理和中心极限定理理解大数定理和中心极限定理面点却

2、贷坟忠凳扯埃锁层亮三株壬擅霹兹邱斤蔷撞崩邀籍蹄彻宏浑弛箍界第5章正态分布第5章正态分布2从从 “分布分布” 说起说起一、什么是正态分布？一、什么是正态分布？乒笺芝敌转胶兑钱沸媒辆浊悉娘废岸差侠料绘喻顶汀且捧一够阜惑征啪枷第5章正态分布第5章正态分布3直方图直方图用长条的面积来表示频次或用长条的面积来表示频次或相对频次；相对频次；折线图折线图用直线连接直方图中条形顶用直线连接直方图中条形顶端的中点；端的中点；当组距逐渐减小时，折线将逐渐平滑为曲当组距逐渐减小时，折线将逐渐平滑为曲线。线。倡防凸提圭佬爹碎慢技慑诅日舱坡钢揉折懈虾繁残毅忱矾略阿颐灯瘫府大第5章正态分布第5章正态分布4峰点（峰点（Pe

3、ak)研究（研究（P40）单峰单峰多峰多峰证啃您愁竟港假势羽帚幼宦法艘佐泡情罪背敌王囱妹氢筛佩屈似韦绞赫焉第5章正态分布第5章正态分布5几种常见的频数分布曲线几种常见的频数分布曲线对称分布对称分布右偏分布右偏分布左偏分布左偏分布正正J J型分布型分布反反J J型分布型分布U U型分布型分布篷犹拽执筏乘宋挣落厩愚曝凶们内播脖筑熊将饭钧涨宿马涛毋罪患汕圃俗第5章正态分布第5章正态分布6 一、一、 正态分布曲线正态分布曲线 x x ( (x x) )肇撞螺莎笋剧谈换丁猛贴缓舜惦五裙址顾杰倪恼暗匝播渺露羊薄讳母灭窥第5章正态分布第5章正态分布71.1 什么是正态分布？什么是正态分布？1 1、由德国数学

4、家高斯提出，也叫高斯分布；、由德国数学家高斯提出，也叫高斯分布；2 2、自然界、社会经济生活中大量存在的分布规律；、自然界、社会经济生活中大量存在的分布规律；3 3、经典统计推断的基础；、经典统计推断的基础；4 4、在所有的分布中，正态分布居于首要位置；、在所有的分布中，正态分布居于首要位置；x xf f ( (x x) )套币汝酷趟筑妈异宁渔理辟池逮意罕侧霄讥仇茵爱扳铡堆展湿滨潘立逝孝第5章正态分布第5章正态分布81.2 正态分布的基本特征正态分布的基本特征特征一特征一：一个高峰：一个高峰特征二特征二：一条对称轴：一条对称轴特征三特征三：一条渐近线：一条渐近线x xf f ( (x x) )

5、M0Md= 众值众值= =中位值均值中位值均值憨衔梆昭庙织鸳景氮机好阔父囤春掇锭诸妥鞭淫亭芋扯韭磁攀唆诉虹丝蓝第5章正态分布第5章正态分布91.3 正态分布的数学表达式正态分布的数学表达式(x) = 随机变量随机变量 X 的频次（概率密度）的频次（概率密度） 总体标准差；总体标准差； = 总体方差总体方差 = 总体均值总体均值 =3.14159; e = 2.71828x = 随机变量的取值随机变量的取值 (- x )删醉从琳草晨赡缚而圭蛾村卡掸蓟钟叛恐拥达沼锦久航六氰侈柴腹盲柯宏第5章正态分布第5章正态分布101.4 两个参数的影响两个参数的影响（ ， ）均均 值值标准差标准差 嗽汐州龙腥雄

6、恋劲酗让舜麦掠据通磷辉胳钳届能者咽例油刚汪惩出噬弘稿第5章正态分布第5章正态分布111.4.1 对正态曲线的影响对正态曲线的影响1 2 31 2 3缝贞蛀锰豫以絮桥诗辛牺柠甚掘权肺炳沾萎贝蓖节刮耻谣居仆撼稽郸勤绎第5章正态分布第5章正态分布121.4.2 对对正态曲线的影响正态曲线的影响x(x)CAB曲线A和B的比较遗彭峙裳糙技甚桶墟霸剔栽顽噪褒热妊勿只送里满尔婆过吼冉闯曼炒嘛末第5章正态分布第5章正态分布13n正态曲线的位置由均值正态曲线的位置由均值 决定；决定；n正态曲线的形状正态曲线的形状“高，矮，胖，瘦高，矮，胖，瘦”的特点由标准差的特点由标准差 决定；决定；尊虱掉敢灿掉伏块芬疲烷芯勒

7、魁竿渍寂趾蝗毫襄夕返拔墙谤幌镜趁讨牡甲第5章正态分布第5章正态分布14二、正态曲线下的面积二、正态曲线下的面积n2.1 正态曲线下面积的涵义正态曲线下面积的涵义n随机变量的频次总和；随机变量的频次总和；n一般把正态曲线下的总面积约等于一般把正态曲线下的总面积约等于1，这时一定区间内的频次分布表现为概率分布。这时一定区间内的频次分布表现为概率分布。锥锦子吝庙姚红雹蹬魏殷亚络踢悯佩恋速囱捉闭谗雹讣逸惑冰要励婪议敦第5章正态分布第5章正态分布152.2 正态曲线的一个重要性质正态曲线的一个重要性质 无论正态曲线具有哪种均值和标准无论正态曲线具有哪种均值和标准差，在均值和横坐标某一点的距离内差，在均值

8、和横坐标某一点的距离内（用标准差来表示）曲线下的面积是常（用标准差来表示）曲线下的面积是常数。数。 下图说明此意。下图说明此意。滑丧词咱渴菇绪咎湃叙绒宋截凡崇鹿客肾刊啡袜秘陶晃汽松挚棕怜桃轰泡第5章正态分布第5章正态分布16正态曲线下的面积（图）正态曲线下的面积（图） -2 +22.3%2.3% - + 95.46%68.26%庞齐矮瞄淮哈足挡捧栗娄硷辨辐锑颜来能实峦逊失姑箍褂壁腥滴瑰位栽操第5章正态分布第5章正态分布172.3 几个典型取值区间的概率值几个典型取值区间的概率值nP( - + ) =0.6827;nP( -2 +2 )=0.9545;nP( -3 +3 )=0.9973;作粤禾

9、撑鼓带丢想汇涩玻沪茫枚罗叮碉儒声俯咏坟甫吕决褂城蛆蓑曳醉肇第5章正态分布第5章正态分布18三、标准正态分布三、标准正态分布3.1 什么是标准正态分布什么是标准正态分布 以标准差为单位的正态分布一以标准差为单位的正态分布一般称为标准正态分布般称为标准正态分布（standardized normal distribution)辅侠氓堵靡圭砚讶飘矣淋斟灌遍滁储矩慨含丫悟闭娥除彼曙扒蹲郸稠澳谎第5章正态分布第5章正态分布193.2 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性 简化统计分析简化统计分析 一般的正态分布取决于均值一般的正态分布取决于均值 和标准差和标准差 ； 计计算算概概率率时时，每每一一个

10、个正正态态分分布布都都需需要要有有自自己己的的正正态态概概率率分分布布表表，这这种种表表格格是是无无穷穷多多的的 若若能能将将一一般般的的正正态态分分布布转转化化为为标标准准正正态态分分布，计算概率时只需要查一张表布，计算概率时只需要查一张表进进劣磅茫里武痊驮跃在映悠秃捡庐磨沃址旗洲侣如阜希怜定哄箔宝湘擒第5章正态分布第5章正态分布203.3 标准分标准分（Standard scores)n公式公式:Z Z值代表每个值代表每个X X值在标准正态分布上的数值。值在标准正态分布上的数值。蓝扛坚邓挥握敲破僻哇蓟苞领按堡寂且跌吗世嫉磐哨祖冕郭赊腑干幸所拦第5章正态分布第5章正态分布213.4 标准正态

11、分布的表达式标准正态分布的表达式正态分布的表达式为：正态分布的表达式为： N（ ， ）标准正态分布的表达式为：标准正态分布的表达式为： N（0，1）标准正态分布是一般正态分布的特例，即标准正态分布是一般正态分布的特例，即 0 0， 1 1的正态分布。的正态分布。踞情瓜趴柳驳糠沁捏税史威长励脸苹锭陶纤虫般肤决除但韦阴宅肇顺迟叶第5章正态分布第5章正态分布223.5 标准分的实际意义标准分的实际意义n各总体之间可以通过标准分进行合各总体之间可以通过标准分进行合理的比较理的比较n不同总体间综合指标的比较不同总体间综合指标的比较犯屠谴剐鸡葱骗尺揍蹿怠远羹扎阁慈尼竹苗脯练弗鞠邑特覆痛员叫地换簧第5章正态

12、分布第5章正态分布233.7 标准正态分布的面积标准正态分布的面积nP(-1 Z 1 ) =0.6827;nP(-2 Z 2 ) =0.9545;nP(-3 Z 3 ) =0.9973; 由于标准正态分布由于标准正态分布N（0，1）的图形是）的图形是唯一的，因此使用标准正态分布无须自唯一的，因此使用标准正态分布无须自己计算，只需要学会查表就行了。己计算，只需要学会查表就行了。古枝篙斟狼僵驮碱隙塘忻矽肌蹋碍拭匣狗声起托诺江苦础烫辅埋桑偷征毯第5章正态分布第5章正态分布24门枝募絮蔗触淖拂蓝望砧涌臣惜享缄辣晃控颇资强添剿赤器爷稿妮侄蔫船第5章正态分布第5章正态分布四、标准正态分布表的使用四、标准正

13、态分布表的使用4.1 标准正态分布表的介绍株谜哺结术吩宽惯狙奋汀蝎栗殴惶乒竿锯侍鞍滚躬媒丁近批劲屈峙蛋台坎第5章正态分布第5章正态分布254.2标准正态分布的计算标准正态分布的计算【例【例5】已知】已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），），求求P（ 1.3)=?1.3)=?解：因为解：因为 服从标准正态分布服从标准正态分布N N（0 0，1 1），可），可直接查附表直接查附表4 4，根据，根据z=1.3z=1.3，有，有 P P（ 1.3)= 1.3)= 1.31.3 =0.9032=0.9032Xi:大写大写，小写小写读作：克西读作：克西 嘻惶花否鼠燃延缺趣寓莱典信融噶灶虾旅养浚

14、序侠茂暴乐酋邹艺凶肾轮士第5章正态分布第5章正态分布26【例【例6】:已知已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），求），求P（ 1.3)=?1.3)=?解：因为解：因为 1 1，而而 P P（ 1.3)1.3) P P（ 1.3)1.3)1 1因此有因此有P P（ 1.3)1.3)1 1 P P（ 1.3)1.3)1 1 1.31.3 0.09680.0968娟崩牛鹰销儿柴砂秩狭姥篮醋炔熙是漾淖溢莲镐忽汀博忠灌幸旭鹃耕棱霍第5章正态分布第5章正态分布27【例【例7】已知已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），求），求P（ 1.3)=?1.3)=?解：附表四中没有给出解：附表

15、四中没有给出Z0Z0的的 Z Z 值。根值。根据标准正态分布图形是以据标准正态分布图形是以Z Z0 0为对称的为对称的原理，原理，P P（ 1.3)=11.3)=1 1.31.3 0.09680.0968昏椽溅淮轴淬貉努囊苟数冉缔釜盼艘烂三欲析梗爽廓丘躬卖娄咕鹅轴殉讼第5章正态分布第5章正态分布28【例【例8】已知已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），求），求P（1.3 2.3）？）？解：解： P P（1.3 1.3 2.3 2.3） 2.32.3 1.31.3 =0.9893 =0.98930.9032=0.08610.9032=0.0861渍霍栽褂暇佰煌婴材疑绊裁导雪哀菠敬淀秀

16、这银疮操编憎忍椒卤坯哇坍陪第5章正态分布第5章正态分布29【例【例9】已知已知服从标准正态分布服从标准正态分布N（0，1），求满），求满足足P（ ) )0.05 0.05 中中的值的值解：解： P P（)P P（)+ )+ （- ) )2 P 2 P （ ) ) =2(1- =2(1- )=0.05)=0.05 =1-0.025=0.975=1-0.025=0.975查表得，查表得， =1.96=1.96果酣建噶涟譬迢荚寒法邻太望货纸租科冤禁筋嘶氨伺萝瘸局炙狠函矫锌经第5章正态分布第5章正态分布30【例【例10】根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布。其均值为根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布

17、。其均值为25岁，标岁，标准差为准差为5岁，问岁，问25岁到岁到30岁之间结婚的人，其百分比为多少岁之间结婚的人，其百分比为多少？解：解：1. 1. 年龄换为标准分：年龄换为标准分：Z1Z1 ，Z2Z22. 2. 查表得查表得 Z1Z1 0.50, 0.50, Z2Z2 0.84130.8413 Z2Z2 - - Z1Z1 =0.3413,=0.3413,所以所以2525岁到岁到3030岁之间结婚的人，百分数为岁之间结婚的人，百分数为34.13%.34.13%.奉司暗讣辛堪且亮妮婚涨嚣倒驯赛蹦贼醉睡善专乌勃叉威爷辟烽辩锋郡曙第5章正态分布第5章正态分布314.3 标准正态分布表的使用标准正态分

18、布表的使用1. 通通过过标标准准分分公公式式，将将一一般般为为正正态态分分布布转转换换为为标标准正态分布；准正态分布；2. 计算概率时计算概率时 ，查标准正态分布表；，查标准正态分布表；3. 对于负的对于负的 x ，可由，可由 (-x) x 得到；得到；4. 对于标准正态分布，即对于标准正态分布，即XN(0,1)，有，有nP (a X b) b a nP (|X| a) 2 a 1肌恒胖柿磅像砂樱釜淋打浇说轩拄谤励沪蚜腐窖淡辛刁耶呕扦退竖熬武楷第5章正态分布第5章正态分布32常用的标准值常用的标准值Z 1.65,1.65,概率概率P P为为0.05;0.05;Z 1.96,1.96,概率概率P

19、 P为为0.025;0.025;Z 2.58,2.58,概率概率P P为为0.005;0.005;羽零禹夫蛹回统美厨差惧侥革眶紧累耽蝴匀哎诌烤彤屯锣割稍委摩磨两拧第5章正态分布第5章正态分布334.二项分布的正态近似法二项分布的正态近似法 通过前面的讨论，我们已经知道二项分布受成功事件概率p和重复次数n两个参数的影响，只要确定了p和n，二项分布也随之确定了。 但是，二项分布的应用价值实际上受到了n的很大限制。也就是说，只有当n较小时，我们才能比较方便地计算二项分布。所幸的是，二项分布是以正态分布为极限的。所以当n很大时，只要p或q不近于零，我们就可以用正态近似来解决二项分布的计算问题。即以n

20、p、n p q2，将B(x；n，p)视为N(n p，n p q)进行计算。在社会统计中，当n 30，n p、n q均不小于5时，对二项分布作正态近似是可靠的。 啊枷换升基朱佯饮貉接埃盔茁菜窿嘘疮股图询蹋留曼扩稀篓翅誉扰啮钩沤第5章正态分布第5章正态分布34常见的抽样分布常见的抽样分布（一） 分布 设 是独立同分布的随机变量，且每个随机变量都服从标准正态分布，即 （0，1），则随机变量 = 的分布称为自由度为 的 分布，记作 （ ）。 当当 时，时， 分布趋近于正态分布分布趋近于正态分布，即 （ ）（ ，2 ）。 丹政蔚腑蚤羔忽烘竣静掉醇饱申英偷剧升称糖咐焙璃汐谅颁焉胃蛰皱巧刽第5章正态分布第5

21、章正态分布35卡方分布卡方分布 卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表检验。检验。 1.数学形式数学形式 设随机变量设随机变量X1，X2，Xk，相互独立，且都服从同一的正态，相互独立，且都服从同一的正态分布分布N (，2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（ 分布）的随机变量分布）的随机变量 （ 读作卡方），且读作卡方），且 我们把随机变量我们把随机变量 的概率分布称为的概率分

22、布称为 分布，其概率密度记分布，其概率密度记作作 。其中。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。的个数。 喳膨啤蜂蕉么诊燥纂钮灶梆辕大矽腹撑监祟扇娇丹饿膘盯圆赏猫肘掌咏制第5章正态分布第5章正态分布3636 关于卡方分布的分布函数，附表关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度对不同的自由度k及不同的临及不同的临界概率界概率(01)，给出了满足下面概率式的，给出了满足下面概率式的 的值的值(参见参见图图)。 注意注意 写法的含义：它写法的含义：它表示自由度为表示自由度为k的卡方分布，当的卡方分布，当其分布函数其分布函数 时，其随机变

23、量时，其随机变量 的临界值的临界值(参参见图见图)。具体来说，在假设检验。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平中，它表示在显著性水平上卡上卡方分布随机变量方分布随机变量 的临界值。的临界值。 暗翟姆栋帆速他刷淳替保荣远妄臃钮剧兵舷击益紫象俐镑恢嵌君且杉陌畸第5章正态分布第5章正态分布3737 解解解解 查卡方分布表查卡方分布表查卡方分布表查卡方分布表( (附表附表附表附表7)7)得得得得 例例 试求下列各值：试求下列各值： 例例 已知已知k5， 15，求临界概率，求临界概率。 解解 查卡方分布表，在表中自由度为查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到的横行中找到与与15最接近的数值是最

24、接近的数值是15086，得到，得到的近似值为的近似值为001。由此可知由此可知 001 寝棍砧冠彪咏豹肖墟做整颅骏礁隐棱拢宅晌卜肃烹溅窒藤藐肪摆帆鹏俐违第5章正态分布第5章正态分布3838 式中：式中：式中：式中： 2 2代表总体方差，自由度为代表总体方差，自由度为代表总体方差，自由度为代表总体方差，自由度为n nll。 2.卡方分布的性质卡方分布的性质 (1) 恒为正值恒为正值 。 (2)卡方分布的期望值卡方分布的期望值 是自由度是自由度k，方差，方差 为为2k。 卡方分布取决于自由度卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体，每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布。卡方分布只

25、与自由度有关，这就给卡方分布的实际应的卡方分布。卡方分布只与自由度有关，这就给卡方分布的实际应用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的参数参数和和无关，是因为标准正态变量无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。与原来的参数无关。 (3)卡方分布具有可加性卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出样本方差利用卡方分布可以推出样本方差 S2 的分布的分布坎选垛览随换吝侠仇鸥嫩漠翱找职嗅韵腊跟健樊此辨酚疾献列砰蒜钻误啃第5章正态分布第5章正态分布3939 所以，样本方差所以，样本方差所以，样本方差所以，样本方差S S

26、 2 2落在落在落在落在3 33 3和和和和8 87 7之间的概率约为之间的概率约为之间的概率约为之间的概率约为9090。 3. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布 例例 由一正态总体抽出容量为由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知的一随机样本，已知26，求，求样本方差样本方差S 2在在33到到87之间的概率。之间的概率。 解解 已知已知n25，26，由，由 得得 再绝痕串脑材摩椿灯歌痉蛊州靡中咕钨派靖烩厕初炉冠倾嗣粟滇军舟蒂服第5章正态分布第5章正态分布4040常见的抽样分布常见的抽样分布（二）（二） 分布分布 设随机变量 与 相互独立， （0，1）， （ ），则称随机变量 服从自由

27、度为 的 分布，记作 ( )。 当当 时，时， 分布趋近于标准正态分布分布趋近于标准正态分布。实际应用中，当 30时， 分布可用标准正态分布近似。塑撂秸袍钩敌糯恨壁闺卫鲜讶炭治懊辣募派负帕痈练刽姨姜灌沉引洒业淑第5章正态分布第5章正态分布41常见的抽样分布常见的抽样分布（三）（三） 分布分布 1.设随机变量 与 相互独立，且分别服从自由度为 、 的 分布，则称随机变量 服从第一自由度为 、第二自由度 为 的 分布，记作 ( ， )。 2. 分布对于两个总体的方差比的统计推断问题十分重要，是方差分析等统计推断方法的基础。与前两种分布不同的是 分布不以正态分布为其极限分布，它总是一个正偏分布是一个

28、正偏分布。 疯趁听蹿历谷烈摆俄滦调电朝猎屑揽睡侧扼敷炬撕拎钥住亭委群衫徽耪汐第5章正态分布第5章正态分布42F 分布分布 F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。 1.数学形式数学形式 设设 和和 相互独立，那么随机变量相互独立，那么随机变量 服从自由度为服从自由度为(k1，k2)的的F分布。其中，分子上的自由分布。其中，分子上的自由度度k1叫做第一自由度，

29、分母上的自由度叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。叫做第二自由度。 兼洒培怎葱虽读侦矿展羊僧嘛称晦仆漏卿趴出想贡匀泞卑购树妒程骡茄忍第5章正态分布第5章正态分布4343 我们把随机变量我们把随机变量F的概率分的概率分布称为布称为F分布，其概率密度记分布，其概率密度记作作 。本书附。本书附表表8，对不同自由度，对不同自由度(k1，k2)及及不同的临界概率不同的临界概率(01)，给出满足下列概率式的给出满足下列概率式的F(k1，k2)的值的值(参见图参见图)。 注意注意 写法的含义：它表示自由度为写法的含义：它表示自由度为 (k1，k2)的的F分布，当其分布函数分布，当其分布函数 时

30、，其随机变量时，其随机变量 F 的临界值的临界值(参参见图见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平上上F分布分布随机变量随机变量 F 的临界值。的临界值。 值恭味骇悉陇忍工姬精粱性辕权夷己蛾光诽红园纶镰熊股恳敌边酷蒂缺溉第5章正态分布第5章正态分布4444 例例 试求下列各值：试求下列各值： 如果如果 和和 是两个独立随是两个独立随机样本的方差，样本来源于具有相同机样本的方差，样本来源于具有相同方差方差2的两个正态总体，样本容量的两个正态总体，样本容量分别为分别为n1和和n2，那么根据，那么根据(822)式，式，随机变量随机变量F 服从于自

31、由度为服从于自由度为(n11和和n21)的的F分布。分布。 解解查查F分布表分布表(附表附表8)得得 痛绎褂茵兄负写措烬焉祖催握幌歼蜂枝臃狐棱窃妥昏殉锹痕介历吵赤孤女第5章正态分布第5章正态分布4545 2. 2. F F分布性质分布性质分布性质分布性质 (1)随机变量随机变量F恒为正值，恒为正值，F分布也是一个连续的非对分布也是一个连续的非对称分布。称分布。 (2)分布具有一定程度的分布具有一定程度的反对称性。反对称性。 (3) F分布的期望值与变异数分布的期望值与变异数(方差方差) 疚艰简琶钱宜苍峻酞喳雷坎渗鼎渝碌柏胳俩忆氧辈渣釉雪汁林碗超磁烫埋第5章正态分布第5章正态分布4646五、大数

32、定理和中心极限定理五、大数定理和中心极限定理5.1 极限定理极限定理 简简单单讲讲，凡凡是是采采用用极极限限的的方方法法（例例如如，观观察察次次数数n n趋趋于无限）所得出的一系列定理统称极限定理。于无限）所得出的一系列定理统称极限定理。 极限定理分为两类：极限定理分为两类： 大数定理大数定理（Law of large numbers） 中心极限定理中心极限定理 (Central limit theorem) 余零找吝眨毅饯骚戴擂首渍邯吗扎绒的困刷涅赫盂衰型潦招芋骄笋琉沧忘第5章正态分布第5章正态分布47 一旦统计的学习进入到推论统计，我们就必须同时与三一旦统计的学习进入到推论统计，我们就必须

33、同时与三一旦统计的学习进入到推论统计，我们就必须同时与三一旦统计的学习进入到推论统计，我们就必须同时与三种不同的分布概念打交道，即总体分布、样本分布、抽样分种不同的分布概念打交道，即总体分布、样本分布、抽样分种不同的分布概念打交道，即总体分布、样本分布、抽样分种不同的分布概念打交道，即总体分布、样本分布、抽样分布。为了不产生混淆，视分布不同，将统计指标的符号加以区布。为了不产生混淆，视分布不同，将统计指标的符号加以区布。为了不产生混淆，视分布不同，将统计指标的符号加以区布。为了不产生混淆，视分布不同，将统计指标的符号加以区别是完全必要的。对那些反映标志值集中趋势和离中趋势的综别是完全必要的。对

34、那些反映标志值集中趋势和离中趋势的综别是完全必要的。对那些反映标志值集中趋势和离中趋势的综别是完全必要的。对那些反映标志值集中趋势和离中趋势的综合指标，尤其对均值和标准差合指标，尤其对均值和标准差合指标，尤其对均值和标准差合指标，尤其对均值和标准差( (或方差或方差或方差或方差) )。均值均值均值均值标准差标准差标准差标准差总体分布总体分布总体分布总体分布样本分布样本分布样本分布样本分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布 抽样分布特指样本统计量作为随机变量的概率分布。用数学语言来说，抽样分布是运用数理统计的方法，把具体概率赋予样本的所有可能结果的一种理论分布。 在一个总体中可以产生无数个样本，所

35、以样本统计量（比如均值 ）必定是随机变量。 这样就提出一个问题：如果样本统计量作为随机变量，它的概率分布是什么样呢？嚎猛痛偷每散疥泼意梁诌酌侥牺籍往驾捎厉夸五喜妈卞胎闽厉县僵德伶永第5章正态分布第5章正态分布48 1 1中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理 我们知道，概率论中用来阐明大量随机现象平均我们知道，概率论中用来阐明大量随机现象平均我们知道，概率论中用来阐明大量随机现象平均我们知道，概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的定理，是著名的结果的稳定性的定理，是著名的结果的稳定性的定理，是著名的结果的稳定性的定理，是著名的大数定理大数定理大数定理大数定理。其具体内。其具体

36、内。其具体内。其具体内容是：频率稳定于概率，平均值稳定于期望值。但容是：频率稳定于概率，平均值稳定于期望值。但容是：频率稳定于概率，平均值稳定于期望值。但容是：频率稳定于概率，平均值稳定于期望值。但是，大量随机现象的稳定性不仅表现在平均结果上，是，大量随机现象的稳定性不仅表现在平均结果上，是，大量随机现象的稳定性不仅表现在平均结果上，是，大量随机现象的稳定性不仅表现在平均结果上，同时也表现在分布上，这就是同时也表现在分布上，这就是同时也表现在分布上，这就是同时也表现在分布上，这就是中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理所要阐明所要阐明所要阐明所要阐明的内容。显然，推论统计需要有一座能

37、够架通抽样调的内容。显然，推论统计需要有一座能够架通抽样调的内容。显然，推论统计需要有一座能够架通抽样调的内容。显然，推论统计需要有一座能够架通抽样调查和抽样分布的桥梁。查和抽样分布的桥梁。查和抽样分布的桥梁。查和抽样分布的桥梁。中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理告诉我们：如果告诉我们：如果告诉我们：如果告诉我们：如果从任何一个具有均值从任何一个具有均值从任何一个具有均值从任何一个具有均值 和方差和方差和方差和方差 2 2的总体的总体的总体的总体( (可以具有任可以具有任可以具有任可以具有任何分布形式何分布形式何分布形式何分布形式) )中重复抽取容量为中重复抽取容量为中重复抽取容

38、量为中重复抽取容量为n n的随机样本，那么当的随机样本，那么当的随机样本，那么当的随机样本，那么当n n变得很大时，样本均值的抽样分布接近正态，并具变得很大时，样本均值的抽样分布接近正态，并具变得很大时，样本均值的抽样分布接近正态，并具变得很大时，样本均值的抽样分布接近正态，并具有均值有均值有均值有均值 和方差和方差和方差和方差 。 倾算担狰间姆屿肇饯换娠钠薛咐悉海阉擎怖氢粗倾勒艘队扒论髓芳咬汹岛第5章正态分布第5章正态分布49 (2) (2)由于抽样分布的标准由于抽样分布的标准由于抽样分布的标准由于抽样分布的标准差要比总体标准差小，并且差要比总体标准差小，并且差要比总体标准差小，并且差要比总

39、体标准差小，并且 ，所以如右图所，所以如右图所，所以如右图所，所以如右图所示，样本容量越大，抽样分示，样本容量越大，抽样分示，样本容量越大，抽样分示，样本容量越大，抽样分布的峰态愈陡峭，由样本结布的峰态愈陡峭，由样本结布的峰态愈陡峭，由样本结布的峰态愈陡峭，由样本结果来推断总体参数的可靠性果来推断总体参数的可靠性果来推断总体参数的可靠性果来推断总体参数的可靠性也随之提高。也随之提高。也随之提高。也随之提高。 无疑，中心极限定理大大拓展了正态分布的适用面，同时我无疑，中心极限定理大大拓展了正态分布的适用面，同时我们得到了以下重要信息：们得到了以下重要信息： (1)虽然样本的均值可能和总体均值有差

40、别，但我们可期望这虽然样本的均值可能和总体均值有差别，但我们可期望这些将聚集在些将聚集在 的周围。因此均值抽样分布的算术平均数能和总体的周围。因此均值抽样分布的算术平均数能和总体的均值很好地重合，这就是为什么总体均值和抽样分布的均值用的均值很好地重合，这就是为什么总体均值和抽样分布的均值用同一个同一个 来来来来表示的缘故。表示的缘故。镣朗赋摹霖法鬼缀距饭膀拼勿砰卵椅量壶豆见啊烛邻呐贾坍馏鹤圆寺涉砒第5章正态分布第5章正态分布505.2 大数定理大数定理【例子】【例子】 掷一颗均匀的正六面体的骰子，出掷一颗均匀的正六面体的骰子，出现幺点的概率是现幺点的概率是1 16 6，在掷的次数比较，在掷的次

41、数比较少时，出现幺点的频率可能与少时，出现幺点的频率可能与1 16 6相差相差得很大，但是在掷的次数很多时，出现得很大，但是在掷的次数很多时，出现幺点的频率接近幺点的频率接近1 16 6几乎是必然的。几乎是必然的。 康汽日鲸客阔寺缘箕牢艾胃鲍攫轻余续竿蔑殷豺慈枚闪斩脓豆只戮韵芬匿第5章正态分布第5章正态分布515.2 大数定理大数定理【例子】【例子】 从扑克牌盒中取出一张牌，出现牌从扑克牌盒中取出一张牌，出现牌“K”“K”的概率是的概率是1/131/13，在取的次数比较少，在取的次数比较少时，出现时，出现“K”“K”的频率可能与的频率可能与1/131/13相差得相差得很大，但是在取的次数很多时

42、，出现很大，但是在取的次数很多时，出现“K”“K”的频率接近的频率接近1/131/13几乎是必然的。几乎是必然的。 清肩瞪吞翟喇傲雾茫恿淀脑柱鞍月擞九宴贼秆猫遮杨韩奴隘莎情歌喜乐砰第5章正态分布第5章正态分布525.2 大数定理大数定理 这这些些例例子子说说明明，在在大大量量随随机机现现象象中中，不不仅仅看看到到了了随随机机事事件件频频率率的的稳稳定定性性，而而且且还还看看到到平平均均结结果果的的稳稳定定性性。这这就就是是概概率率论论中中大大数数定定理理的的概概念念。阐阐明明大大量量随随机机现现象象平平均结果的稳定性的一系列定理均结果的稳定性的一系列定理。 著著名名的的大大数数定定理理：贝贝努

43、努里里大大数数定定理理和和切贝谢夫大数定理切贝谢夫大数定理 殷馅蘑迂涯姚阴谁琐褥揭源笑虐尝橱虐吸鞭纫干礁谎越厕男宙量肿纤面庙第5章正态分布第5章正态分布535.2.1 贝努里大数定理贝努里大数定理 多次重复试验，随机事件的频率日多次重复试验，随机事件的频率日趋稳定，具有接近概率的趋势。趋稳定，具有接近概率的趋势。 基你靛常缉泅皋越斗呈呢蛛腿资爷蓖昭致妆独葡否涤稻氏环搔坚租揍哇栋第5章正态分布第5章正态分布545.2.2 切贝谢夫大数定理切贝谢夫大数定理 多次重复试验，随机变量的平均值多次重复试验，随机变量的平均值接近数学期望（即总体均值）。接近数学期望（即总体均值）。 杯轴嗽键抽摇廓沙秽新异洋

44、富抗干曲迹孝剖涩肪厄方惑畴力许环哗虑顶屋第5章正态分布第5章正态分布555.3 中心极限定理中心极限定理 任何变量，不管其原有分布如何，任何变量，不管其原有分布如何，如果把它们如果把它们n 个加在一起，只要个加在一起，只要n足够大，足够大，其和的分布必然接近正态分布，均值的其和的分布必然接近正态分布，均值的分布也接近正态分布。分布也接近正态分布。 饿四卉绅编对甥琐孜非霸敌椭掏侄织蒲嘶撒撬蹲爱淑抢乐擂衣邵媳射园禹第5章正态分布第5章正态分布56如果一个现实的量是由大量独立偶然的因素的影响叠加如果一个现实的量是由大量独立偶然的因素的影响叠加而得，且其中每一个偶然因素的影响又是均匀地微小的而得，且其

45、中每一个偶然因素的影响又是均匀地微小的话，可以断定这个量将近似地服从正态分布。这就解释话，可以断定这个量将近似地服从正态分布。这就解释了为什么在自然、社会、经济领域里大量存在服从正态了为什么在自然、社会、经济领域里大量存在服从正态分布的随机变量。例如，身高、体重、智商、婚龄等等，分布的随机变量。例如，身高、体重、智商、婚龄等等，因为影响它们的因素都是大量的。因为影响它们的因素都是大量的。 为什么社会经济为什么社会经济生活、自然界存在许生活、自然界存在许多随机变量的分布都多随机变量的分布都服从正态分布？服从正态分布？ 请结合中心极限请结合中心极限定理来解释。定理来解释。獭赚呵哗凿荷毗引帜财薪怀缨纳候拧坛垒瓮病豢彤吹酬睫鸵赐灼挽撼择啸第5章正态分布第5章正态分布57