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1、安徽省滁州市冶山中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 与直线4xy+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A4xy+1=0B4xy1=0C4xy2=0D4xy+2=0参考答案：C【考点】抛物线的简单性质【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x处的导数等于切线的斜率，建立等式，求出x的值，从而求出切点坐标，最后将切线方程写出一般式即可【解答】解：y=2x2 y=4x，直线4xy+3=0的斜率为4，由4x=4得x=1，当x=1时，代入抛物线方程得y=2，切点坐标为（1，2）与直线4xy+
2、3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是 y2=4（x1）即4xy2=0故选C2. 设集合A=1，3，7，8，B=1，5，8，则AB等于（）A.1，8B.1，3，7，8C.1，5，7，8D1，3，5，7，8参考答案：D【考点】并集及其运算【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合A=1，3，7，8，B=1，5，8，AB=1，3，5，7，8故选：D3. 设函数，则f(x)零点的个数为（ ）A. 3B. 1C. 2D. 0参考答案：C【分析】在同一坐标系中作出函数和函数的图象，观察两个函数的交点个数，可得出函数的零点个数.【详解】令，得，即，则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数，在同一坐标
3、系中作出函数和函数的图象，如下图所示：由上图可知，函数和函数有两个交点，因此，函数的零点个数为，故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法：（1）代数法：解方程的根；（2）图象法：求函数的零点个数，可转化为两个函数和函数图象的交点个数.4. 设复数,若,则概率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：5. 如图长方体中，=1，则二面角的正切值为 A B C D参考答案：B6. 若，则下列不等式成立的是 （ ）A B C D参考答案：B7. 用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3
4、(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3参考答案：A 8. 函数f (x) = (x21)32的极值点是（ ）A、x=2 B、x=1 C、x=1或1或0 D、x=0参考答案：D略9. 已知P为ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，则P点在平面内的射影一定是ABC的 （ ）A内心 B外心 C垂心 D重心参考答案：B10. （多选题）若直线l与曲线满足以下两个条件：点在曲线上，直线l方程为；曲线在点附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列选项正确的是（ ）A. 直线在点处“切过”曲线B
5、. 直线在点处“切过”曲线C. 直线在点处“切过”曲线D. 直线点处“切过”曲线参考答案：AC【分析】对四个选项逐一判断直线是否是曲线在点的切线方程，然后结合图像判断直线是否满足“切过”，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，曲线，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故A选项正确.对于B选项，曲线，所以曲线在点的切线方程为，故B选项错误.对于C选项，曲线，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故C选项正确.对于D选项，曲线，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处没有“切过”曲线，故D选项错误.故选：
6、AC【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线与曲线相切,则= 参考答案： 12. 已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为_参考答案：略13. 已知函数，若对任意的x1，+）及m1，2，不等式f（x）m22tm+2恒成立，则实数t的取值范围是参考答案：，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】将问题转化为m22tm+10对?m1，2恒成立，得不等式组，解出即可【解答】解：f（x）=，令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：0x1，f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，f（
7、x）的极小值即最小值是f（1）=1；（2）由（1）可知f（x）在（1，+）上单调递增，所以m22tm+2f（x）min=f（1）=1即m22tm+10对?m1，2恒成立，所以，解得t，故答案为：，+）14. 不等式|x+1|2的解集为 参考答案：（3，1）【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】由不等式|x+1|2，可得2x+12，即可解得不等式|x+1|2的解集【解答】解：由不等式|x+1|2可得2x+12，3x1，故不等式|x+1|2的解集为 （3，1），故答案为（3，1）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解15. 已知向量，且，则_.参考答案：6
8、16. 若随机变量B（16，），若变量=51，则D= 参考答案：100【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】随机变量B（16，），可得D由变量=51，可得D=25D，即可得出【解答】解：随机变量B（16，），D=16=4，变量=51，则D=25D=254=100故答案为：10017. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，双曲线的渐近线方程为_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知函数（其中）（I）求函数的值域；（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增
9、区间参考答案：（）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为0，得，即得 9分于是有，再由，解得x.所以的单调增区间为，. 12分19. 在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.（1）求角A；（2）若，求角C的取值范围。参考答案： ， 2分又 ， 而为斜三角形，. 5分， . 8分， 13分即，.16分20. 已知函数在点处的切线方程为（1）求a，b的值；（2）求证：参考答案：（1），；（2）见解析【分析】（1）计算导函数，结合切线方程，建立等式，计算参数，即可。（2）得到，计算导函数，计算最值，建立不等关系，即可。【详解】(1)函数的导数为，函数在点处的切线斜率为，
10、由切线方程，可得，解得，；(2)证明：，导数为，易知为增函数，且.所以存在,有,即，且时，递增；时，递减，可得处取得最小值，可得成立【点睛】考查了函数导数计算方法，考查了利用导数计算最值问题，做第二问关键利用导数计算最值，难度偏难。21. 甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率参考答案： 10分故甲乙两人至少有一人入选的概率22. 如图，四棱锥PABCD中，ADBC，
11、ADDC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，APD=90，平面PAD平面ABCD，E为棱PC上的一点（1）求证：PADE；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角EBDA的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】几何法：（1）推导出CD平面PAD，从而PACD，进而PA平面PCD，由此能证明PADE（2）取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F推导出CD平面ABCD，从而EFO是二面角EBDA的平面角，由此能求出棱PC上存在一点E，使得二面角EBDA的余弦值为，并且向量法：
12、（1）取AD的中点O，连接PO，OB，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PADE（2）求出平面BDA的一个法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一点E，使得二面角EBDA的余弦值为，并且【解答】（本小题满分12分）几何法：证明：（1）平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCD=AD，CDADCD平面PAD（面面垂直的性质定理），PACD（线面垂直的定义），又PAPD，CDPD=D，PA平面PCD（线面垂直的判定定理）PADE（线面垂直的定义）解：（2）如图，取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F等腰直角三角形PAD中，POAD，平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCD=AD，CD平面ABCD（面面垂直的性质定理）POCO，POBD（线面垂直的定义）由题意知四边形BCDO是正方形，COBD，BD平面POC（线面垂直的判定定理），BDEF（线面垂直的定义），EFO是二面角EBDA的平面角，由题意知PO=1，注意到直角POC中，EFC+ECF=90，即EFCE，即故棱PC上存在一点E，使得二面角EBDA的余弦值为，并且向量法：证明：（1）取AD的中点O，连接PO，OB平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCD=AD，CD平面ABCD（面面垂直的性质定理），由题意知四边形BCDO是正
