湖北省黄冈市麻城理工中等专业学校高三数学理月考试题含解析

湖北省黄冈市麻城理工中等专业学校高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于        A．                  B．                  C．3                     D．5 参考答案： 2. 用表示非空集合中的元素个数，定义 若，设， 则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： A 略 3. 多面体MN—ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则AM的长为 A   B   C       D 2 参考答案： C【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 如图所示， E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4， 由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME== 在△AME中，AE=1，∴AM= 【思路点拨】取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长． 4. 在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出(    ) A．10  B．11  C．512  D．1 024 参考答案： D 5. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A．           B．         C．        D． 参考答案： C 6. 将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　） A． B． C．0 D． 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，可得结论． 【解答】解：将函数y=sin（2x+?）的图象沿x轴向左平移个单位后， 得到函数的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+）+?]=sin（2x++?）， 再根据所得函数为偶函数，可得+?=kπ+，k∈z． 故?的一个可能取值为， 故选：A． 【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题． 7. 在长方形中，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到点的距离不大于的概率为   A．     B．     C．    D． 参考答案： A 8. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 A．1　　　 B．2　　　　C．3　　　 D．4 参考答案： B 略 9. 不等式|x2－x|＜2的解集为________． 参考答案： (－1,2) 略 10. 已知P为直线l：2x﹣3y+4=0上一点，设点P到定点F（0，1）距离为d1，点P到y=0的距离为d2，若d1﹣d2=1，这样的P点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 参考答案： C 【考点】IU：两条平行直线间的距离． 【分析】由题意，设P（x，y），则﹣|x|=1，分类讨论，即可得出结论． 【解答】解：由题意，设P（x，y），则﹣|x|=1， x≥0，可化为（x﹣4）（2x+1）=0，∴x=4； x＜0，可化为2x2﹣11x﹣4=0，方程有一负根， 综上所述，x有两解，即P点有2个， 故选C． 【点评】本题考查两点间距离公式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.   如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为________. 参考答案：   答案：   解析： 两点,关于直线对称, ,又圆心在直线上      原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为. 12. 抛物线的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿＿. 参考答案： 13. 从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为　      　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】根据△ABD为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，E为BC的中点， ∴B=45°，当D位于E时，△ABD为直角三角形， ∴当D位于线段EC上时，△ABD为锐角三角形， ∴根据几何概型的概率公式可得△ABD为锐角三角形的概率为， 故答案为： 14. 设函数 的最大值为M，若有10个互不相等的正数满足，且，则的值为    参考答案： 答案：   15. 已知θ为第二象限角，且tan(θ﹣)=3，则sinθ+cosθ=　　． 参考答案：   【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由θ为第二象限角，且，求出sinθ=，cosθ=﹣，即可得出结论． 【解答】解：∵， ∴=3，∴tanθ=﹣2， ∵θ为第二象限角， ∴sinθ=，cosθ=﹣， ∴sinθ+cosθ=， 故答案为：． 【点评】本题考查差角的正切公式，考查同角三角函数关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 16. 设是两箱梁不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是      ． ①若则 ②若，则 ③若，则；④若，则 参考答案： ①②   17. 抛物线＝－2y2的准线方程是                         .   参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 已知数列{an}满足：，. （1）设数列{bn}满足：，求证:数列{bn}是等比数列； （2）求出数列{an}的通项公式和前n项和Sn. 参考答案： （1）证明： 又      是以2为首项，2为公比的等比数列   …………5分 （2）解：由（1）得    …………12分   19. 在平面直角坐标系下，直线（为参数），以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．111] （Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，求的值． 参考答案： （Ⅰ）直线:，曲线:；（Ⅱ）. 试题分析：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程为，由，两边同乘以，得曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，即，由直线参数的几何意义知，. 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，………………………………2分 由， 即曲线的直角坐标方程为……………………………………………5分 （Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得 ，即， 设方程的两根分别为，则 ．………………………………………10分 考点：极坐标与参数方程（互化）、直线参数几何意义． 20. （本题满分15分）已知函数（常数）. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥，求证：. 参考答案： （I）的定义域为 …………………………..………..…….2分 ①时，的增区间为，减区间为 ②时，的增区间为，减区间为 ③时，减区间为 ④时，的增区间为，减区间为…………6分   （II）由题意   又：…………………………..…………….9分 （）在上为减函数 要证,只要证 即, 即证……………....…….13分 令 ， 在为增函数 ，即 即   得证………………………..………15分 21. 已知抛物线E：x2=4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点． （1）若原点为O，求△OAB面积的最小值； （2）过A，B作抛物线E的切线，分别为l1，l2，若l1与l2交于点P，当l变动时，求点P的轨迹方程． 参考答案： 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；K8：抛物线的简单性质． 【分析】（1）由题意设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，根据函数的单调性即可求得△OAB面积的最小值； （2）求导，利用点斜式方程，求得求得切线l1，l2的方程，联立求得P点坐标，根据向量的坐标运算，即可求得的值． 【解答】解：（1）易知F（0，1）．由题意可知，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+1， 将直线AB的方程与抛物线方程联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设A（x1，），B（x2，）， 则x1+x2=4k，x1x2=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴S△AOB=×丨OF丨|x1﹣x2|=×|x1﹣x2|=×=×≥2， 当k=0时，△AOB的面积最小，最小值为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）由x2=4y，得y=，则y′=， ∴l1的方程为y﹣=（x﹣x1），即y=﹣．① 同理可得l2的方程为y=﹣，② 由①②得x==2k，y=﹣=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴点P的坐标为（2k，﹣1）， 由k∈R，则P点的轨迹方程y=﹣1． 22. (本小题满分12分)已知、、为的三个内角，其对边分别为、、，若，，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 参考答案： 命题意图：本题综合考察平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题． （Ⅰ）， ……………………………………2分 又，   ………………………………4分 ，． ……………………………………6分 （Ⅱ）由余弦定理 得 即：， ………………………9分 ……………………………12分