2022-2023学年山东省聊城市临清京华中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年山东省聊城市临清京华中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（　　） A．{2，3} B．? C．2 D．[2，3] 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集． 【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}， 则A∩B={2，3}． 故选：A． 2. 点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值是 A. B.             C. 或           D. 或     参考答案： D 3. 已知数列{an}的通项为，我们把使乘积a1a2a3…an为整数的n叫做“优数”，则在内最大的“优数”为（　　）． A.  510          B.   512        C.  1022       D.  1024 参考答案： C 略 4. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（    ） A．          B．          C．         D. ． 参考答案： D 略 5. 已知函数则方程的解有 A．50个     B．100个    C．150个    D．200个 参考答案： 答案:B 6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=pSn+q（n∈N*，p≠﹣1），则“a1=q”是“{an}为等比数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由等比数列的定义和递推公式即可得到{an}是以p+1为公比的等比数列，再令n=1，求出a1=q，根据充要条件的定义判断即可 【解答】解：∵an+1=pSn+q，① ∴an=pSn﹣1+q，②， 由①﹣②可得an+1﹣an=p（Sn﹣Sn﹣1）=pan， ∴an+1=（p+1）an， ∴=p+1， ∴{an}是以p+1为公比的等比数列， 当n=1时，a2=pa1+q=a1（p+1）， 解得a1=q 故“a1=q”是“{an}为等比数列”的充要条件， 故选：C 　 7. 已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（　　） A． B． C．2 D．3 参考答案： C 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S△COB=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面积之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值． 【解答】解：由于， 变为++λ（+）=0． 如图，D，E分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知+=2，λ（+）=2λ， 故=﹣λ， 在正三角形ABC中， ∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC， S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC， 且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2 得λ=2． 故选：C． 8. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（  　） A． B． C． D． 参考答案： D 根据线面垂直的性质可知选项D正确。 9. 若集合，函数的定义域为，则  (   ) A.     B.     C.      D. 参考答案： A 略 10. 已知各项均不为零的数列{an}，定义向量。下列命题中真命题是                      A．若n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等差数列       B．若n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等比数列       C．若n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等差数列        D．若n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等比数列 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，其中. 若对一切恒成立，则 ;;既不是奇函数也不是偶函数； 是的单调区间；； 存在经过点的直线与函数的图象不相交。 以上结论正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）． 参考答案： （2），（3）_（4） 略 12. 已知是两个单位向量，且，若的夹角为60°则实数___. 参考答案： 1 13. 在△ABC中，BC=，∠A=60°，则△ABC周长的最大值　　． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【分析】由正弦定理可得： ====2，因此△ABC周长=a+b+c=+2sinB+2sinC，=2sinB+2sin+，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得： ====2， ∴b=2sinB，c=2sinC， ∴△ABC周长=a+b+c=+2sinB+2sinC， =2sinB+2sin+ =2sinB+2+ =3sinB+cosB+ =2+ =2sin（B+30°）+， ∵0°＜B＜120°， ∴B+30°∈（30°，150°）， ∴sin（B+30°）∈． ∴△ABC周长≤3． 故答案为：3． 14. 不等式的解集是         。 参考答案： 15. 给出以下四个命题： ① 若，则； ② 已知直线与函数的图像分别交于 点M，N，则的最大值为； ③ 若数列为单调递增数列，则取值范围是； ④ 已知数列的通项，其前项和为，则使的的最小值为12．其中正确命题的序号为_____________________． 参考答案： ①② 略 16. 已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为　 参考答案：   17. 如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形绕圆心转动时，的最大值是_____。 参考答案： 6 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，点M为A1C1的中点，点N为AB1上一动点. （1）是否存在一点N，使得线段MN∥平面BB1C1C？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由. （2）若点N为AB1的中点且，求三棱锥的体积. 参考答案： （1）存在点，且为的中点. 证明如下： 如图，连接，，点，分别为，的中点， 所以为的一条中位线，， 平面，平面，所以平面. （2）如图，设点，分别为，的中点，连接，，，并设，则， ，， 由，得，解得， 又易得平面，， . 所以三棱锥的体积为.   19.   已知命题p:关于x的方程在有解； 命题单调递增； 若为真命题，是真命题，求实数m的取值范围．   参考答案： m∈（﹣1，） 解析：解：解：由命题p：关于x的方程x2﹣mx﹣2=0在x∈[0，1]有解；可设函数f（x）=x2﹣mx﹣2，∴f（1）≥0，解得 m≤﹣1， 由命题q得x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上恒成立，且函数y=x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上单调递增，根据x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上恒成立，得m＜， 由函数y=x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上单调递增，得m≤1，∴由命题q得：m＜， ∵?p为真命题，p∨q是真命题，得到p假q真，∴m∈（﹣1，）． ∴实数m的取值范围（﹣1，）   略 20. （本题满分12分）海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处。（假设游船匀速行驶） （1）求CD的长； （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西 方向E处，问此时游船距离海岛B多远。 参考答案：    （6分） （6分） 21. (12分) 设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求： （1）集合M，N； （2）集合，． 参考答案： （Ⅰ） （Ⅱ） 22. (本题满分14分) 设函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数； （Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 参考答案： 【解】（Ⅰ），，   ．．．．．．．1分 ①，函数在上单调递增        ．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ②，，函数的单调递增区间为 ．．．．．3分 ，函数的单调递减区间为    ．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）存在，使得成立 等价于：，．．．．．．．．．．．．．．．．5分 考察， ，        ．．．．．．．．．．．．．．．6分   递减 极（最）小值 递增           ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分   由上表可知：， ，               ．．．．．．．．．．．．．．．．9分 所以满足条件的最大整数；                      ．．．．．．．．．．．．．．．．10分   （Ⅲ）当时，恒成立 等价于恒成立，                             ．．．．．．．．．．．11分 记，所以 ，   。 记，， 即函数在区间上递增， 记，， 即函数在区间上递减， 取到极大值也是最大值             ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 所以。                                       ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 另解，， 由于，,  所以在上递减， 当时，，时，， 即函数在区间上递增， 在区间上递减，                                   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 所以，所以。                       ．．．．．．．．．．．．．．．．14分