2022年安徽省六安市霍邱县长集中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （2009辽宁卷理）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的
（A）A>0,V=S－T
(B) A<0,V=S－T
(C) A>0, V=S+T
（D）A<0, V=S+T
参考答案：
C
解析：月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0,支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T.
2. 已知与都是定义在R上的函数， ，且，且，在有穷数列
中，任意取前项相加，则前项和大于的概率是
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
A
3.
已知直线平分圆的周长，当取最小值时，双曲线的离心率是
A． B． C．2 D．3
参考答案：
答案:A
4. 在△ABC中，，，，设点D、E满足，，若，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
参考答案：
D
【分析】
将表示为利用数量积计算求解即可
【详解】因为，则，所以
.
由已知，，则.
选.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查数量积的运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题
5. 复数的共扼复数是（ ）
A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数==的共扼复数是+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6. 已知过点(1,2)的二次函数的图象如右图，给出下列论断：①，②，③，④．其中正确论断是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
参考答案：
A
从图象可得，，知①错误，②正确．
，则，那么，则，③错误．
，知，那么，而，则，一定有，④正确．
7. 某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是
A．27π B．π C．9π D．π
参考答案：
A
根据三视图可知，该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长，
故选：A
8. 口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，
从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
参考答案：
A
略
9. （5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，且b1=a2，b5=a4，则S5T5=（ ）
A．
400
B．
﹣400
C．
±400
D．
﹣200
参考答案：
C
∵等差数列{an}中，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，
∴a2+a4=﹣5，a2?a4=4，
∴S5===﹣，
∵等比数列{bn}中，b1=a2，b5=a4，
∴b1b5=（b1q2）2=a2?a4=4，
∴=±2，
∵等比数列{bn}的前n项积为Tn，
∴T5==（）5=±32，
∴S5T5=±400．
故选C．
10. 已知数列{an}是以为公差的等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，满足bn=2sin（πan+φ），φ∈（0，），则Sn不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
参考答案：
D
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】数列{an}是以为公差的等差数列，可得an=a1+（n﹣1），Sn=b1+b2+…+bn=2sin（πa1+φ）++…+2sin，φ∈（0，），S4=0．利用其周期性即可得出．
【解答】解：数列{an}是以为公差的等差数列，∴an=a1+（n﹣1），
∵bn=2sin（πan+φ）=2sin，φ∈（0，），
∴Sn=b1+b2+…+bn=2sin（πa1+φ）++…+2sin，φ∈（0，），
∴S4=0．
∴S4n+1=S1∈[﹣2，2]，S4n+2=S2=2sin（πa1+φ）∈[﹣2，2]，S4n+3=S3=2cos（πa1+φ）∈[﹣2，2]，S4n+4=S4=0．
则Sn不可能是3．
故选：D．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正四棱锥底面边长为2，表面积为12，则它的体积为___________.
参考答案：
【分析】
要求正四棱锥的体积，即求正四棱锥的底面积和高，如图所示，根据表面积可以得出的值，在中可求出正四棱锥的高，从而得出正四棱锥的体积.
【详解】解：如图所示，为底面的中心，为边上的中点，
正四棱锥的底面积为，
侧面积为，
因为正四棱锥的表面积为12，
即，
解得，
在中，，
所以正四棱锥的体积为.
12. 如图，⊙O的割线PAB
交⊙O于A,B两点，割线PCD经过圆心O，已知
PA=6，AB=PO=12，则⊙O的半径是________.
参考答案：
略
13. 复数且，则的值为_______;
参考答案：
解析：∵ 所以.
14. 已知函数的单调递增区间为 ．
参考答案：
15. 已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴端点的距离为9，则椭圆E的离心率等于 。
参考答案：
16. .命题1）若是偶函数，其定义域是，则在区间是减函数。
2）如果一个数列的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是
3）曲线过点（1,3）处的切线方程为：。
4）已知集合只有一个子集。则
以上四个命题中，正确命题的序号是__________
参考答案：
①②
17. C． 如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为 .
参考答案：
6
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=sin2x+sin(－2x)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值；
（Ⅱ）设函数 g(x)=f(x)，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值．
参考答案：
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）化简函数（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值；
（Ⅱ）化简函数g（x），过D作MD⊥x轴于D，根据三角函数的对称性求出∠PMN=90°，再求cos∠MPN的值．
【解答】解：（Ⅰ）函数
=sin2x+cos2x﹣sin2x…
=
=；…
∴f（x）的最大值为f（x）max=1，…
此时，…
解得；…
（Ⅱ）函数=sin=sin（x+），…
过D作MD⊥x轴于D，如图所示；
∵PD=DM=1，
∴∠PMN=90°，…
计算PM=，MN=2PM=2，PN==，…
∴．…
19. 已知椭圆的焦点，，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，并且，椭圆上不同的两点，满足条件：，，成等差数列.
（1）求椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标.
参考答案：
解：（1）由题意可知.
所以，又，
所以，
所以椭圆方程为：
.
（2）由点在椭圆上，得
.
由，，成等差数列，得
①
点在椭圆上，
得
所以
②
同理可得③
将②③代入①式，得：
所以
设中点坐标为，则横坐标：
.
20. 数列{an}是单调递增的等差数列，是方程的两实数根；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求{bn}的前n项和Sn.
参考答案：
（1），，，又是递增的等差数列，
所以， ，公差，所以. ……………6分
（2），. ……………12分
21. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3．若点P（x0，2）满足||=||，求x0的值．
参考答案：
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由已知得半长轴长和半焦距，进一步得到b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得m的范围，再利用|AB|=3求得m的值．结合椭圆可得点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．
然后由求得的m的值分类求得AB的中垂线方程，进一步得到x0的值．
解答： 解：（Ⅰ）由已知得，c=2，
∴b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0 ①
∵直线l与椭圆C交于不同两点A、B，
∴△36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，得m2＜16．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，
则．
∴
=．
又由|AB|=3，得，解之m=±2．
据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．
设AB的中点为E（x0，y0），则，，
当m=2时，E（）．
∴此时，线段AB的中垂线方程为，即y=﹣x﹣1．
令y=2，得x0=﹣3．
当m=﹣2时，E（）．
∴此时，线段AB的中垂线方程为，即y=﹣x+1．
令y=2，得x0=﹣1．
综上所述，x0的值为﹣3或﹣1．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求解，要求学生具有较强的计算能力，是压轴题．
22. 已知各项均为正数的数列满足：，其中.
(1)若a2－a1＝8，a3＝a，且数列{an}是唯一的.①求a的值；
②设数列满足，是否存在正整数m，n（1
0,所以 ∴，此时--------------------------------5分
②由①知，所以，若成等比数列，则，可得所以，解得：又，且1
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