2022年湖南省衡阳市乌此中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022年湖南省衡阳市乌此中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 参考答案： C 【详解】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，，则（舍去），当时，，则，符合题意，即，令，解得，即的单调递减区间是；故选A. 2. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于                                                    (   ) A、80            B、26           C、30            D、16 参考答案： C 3. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的最小值是(     ) A． B．1 C． D．2 参考答案： C 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论． 【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴， 等价为f（log2a）+f（﹣log2a）=2f（log2a）≤2f（1）， 即f（log2a）≤f（1）． ∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增， ∴f（log2a）≤f（1）等价为f（|log2a|）≤f（1）． 即|log2a|≤1， ∴﹣1≤log2a≤1， 解得≤a≤2， 故a的最小值是， 故选：C 【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用． 4. 参考答案： A 5. 从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A. 至少有一个黑球与都是黑球         B. 至少有一个红球与都是黑球     C. 至少有一个黑球与至少有个红球    D. 恰有个黑球与恰有个黑球 参考答案： D 6. 如表显示出函数值随自变量变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是 (　  　) 4 5 6 7 8 9 10 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型                             B.二次函数模型 C.指数函数模型                             D.对数函数模型 参考答案： A 略 7. 已知全集，且，，则       (  ▲  ) A               B                C               D  参考答案： C 略 8. 若点,直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 参考答案： C 试题分析：画出三点坐标可知，两个边界值为和,数形结合可知为。 9. 若A（－2，3），B（3，－2），C（，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（　　）　 　  Ａ．　　      Ｂ．　　     Ｃ．－2　　      Ｄ．2 参考答案： A 略 10. （5分）如图是函数f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx（a、c是不等于1的正实数），则a、b、c的大小关系是（） A． a＞b＞c    B．c＞a＞b    C．b＞a＞c    D．c＞b＞a 参考答案： B 考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质． 专题：计算题；数形结合． 分析：由已知中图示的函数f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx的图象，我们结合指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象与性质，可以分别判断出参数a，b，c的范围，进而得到答案． 解答：由已知中可得： 函数f（x）=ax中，0＜a＜1 函数g（x）=xb中，b＜0 函数h（x）=logcx中，c＞1 故c＞a＞b 故选B 点评：本题考察的知识点是指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象与性质，熟练掌握三个基本函数中参数（底数或指数）对函数图象形状的影响是解答本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知 ______. 参考答案： 12. 已知（x，y）在映射f作用下的像是（x+y，xy），则（3，4）的像为　　，（1，﹣6）的原像为　　． 参考答案： （7，12）, （﹣2，3）或（3，﹣2）. 【考点】映射． 【分析】依据映射的概念，已知原像（x，y），求像（x+y，xy），再依据映射的概念，已知像（x+y，xy），求原像（x，y）． 【解答】解：（1）由映射的定义知，x=3，y=4， ∴x+y=7，xy=12， ∴（3，4）在f作用下的像是（7，12）； （2）由x+y=1，且xy=﹣6得 解得：x=﹣2，y=3，或x=3，y=﹣2， ∴（1，﹣6）在f作用下的原像是（﹣2，3）或（3，﹣2）． 故答案为：（7，12）；（﹣2，3）或（3，﹣2）． 13. 设等差数列的前n项和为，若，则=______________． 参考答案： 190 14. 若，，则             . 参考答案： 略 15. 函数的值域是　        　． 参考答案： ﹣1 略 16. 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足：x＞0，都有f（f（x）﹣log3x）=4成立，则f（9）=　　． 参考答案： 5 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】设f（x）﹣log3x=t，根据条件求出函数f（x）的表达式，继而求出f（9）的值． 【解答】解：设f（x）﹣log3x=t， 则f（x）=log3x+t，且f（t）=4， ∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数， ∴t是常数， 则f（t）=log3t+t=4， 解得t=3， 即f（x）=log3x+3， ∴f（9）=log39+3=5， 故答案为：5． 【点评】本题考查与对数有关的复合函数的性质，值域求解．利用待定系数法先求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键． 17. 函数y=﹣的定义域是　　（用区间表示） 参考答案： 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 解：∵函数y=﹣， ∴，即，解得； 即0＜x＜，＜x≤3；∴f（x）的定义域是（0，）∪（，3]． 故答案为：．　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分10分) 已知集合。 （1）求，； （2）已知，求． 参考答案： （1） , . ................ .............. ...........2 . .................3 （2）=. ................... ................5 19. （本小题满分12分） 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式. 对于，我们有 可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式. （I）求证：； （II）请求出，即用一个的四次多项式来表示； (III)利用结论，求出的值. 参考答案： 解：（I）证法一：     (4分)    （4分） （II）   （8分） （III）， ，    （12分） 略 20. （14分）已知向量，且 ①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象． ②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间； ③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合 ④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？ ⑤当x∈[0，π]，求函数的值域 （1）列表                                     （2）作图   参考答案： 考点： 五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 综合题；三角函数的图像与性质． 分析： ①利用“五点法”得到五点，列出表格，可画图； ②由周期公式可得周期，根据正弦函数的增区间可得结果； ③根据正弦函数的最大值可求； ④根据图象的平移、伸缩变换规律可得结果； ⑤先由x的范围得x﹣的范围，从而可得答案； 解答： ①f（x）=2sin（x﹣），列表如下： 函数f（x）在一个周期内的图象如图所示： ②f（x）的最小正周期为2π， 由，得， ∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z． ③当x﹣=，即x=，k∈Z时，f（x）取得最大值为2， f（x）取得最大值时x的取值集合为：{x|x=，k∈Z}． ④先把y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sinx的图象， 然后把y=sinx的图象向右平移个单位，得到y=sin（x﹣）的图象， 把y=sin（x﹣）图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到f（x）=2sin（x﹣）的图象； ⑤当x∈[0，π]时，x﹣∈[﹣，]， 此时函数的值域为：[﹣，2]． 点评： 本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象作法、图象变换及单调性最值，本题综合性较强，但涉及知识较为基础，应熟练掌握． 21. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义． 参考答案： (1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. 【分析】 （1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可； （2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】（1）由题意知，当时， ， 即， 解得或， ∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当时， ； 当时， ； ∴； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为时，人均通勤时间最少． 【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 22. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为3元，根据以往的经验售价为4元时，可卖出280桶；若销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？ 参考答案： 定价为每桶7元，最大利润为440元. 【分析】 若设定价在进价的基础上增加元，日销售利润为元，则，其 中，整理函数，可得取何值时，有最大值，即获得最大利润 【详解】设定价在进价的基础上增加元，日销售利润为元，则 ， 由于，且，所以，； 即，． 所以，当时，取最大值． 此时售价为，